Pengikut

Diberdayakan oleh Blogger.
RSS

Kata-Kata Mutiara

  • Among cases what sold,the imation love very expensiv
  • Diantara hal yang diperjual belikan,cinta palsu lebih mahal harganya.
  • A fruitlees life is uselees life
  • Hidup yang tidak menghasilkan apa-apa adalah hidup yang sia-sia.
  • All wealth is the product of labuor
  • Kemakmuran adalah hasil jerih payah.
  • All the wor is stage
  • Dunia adalah dunia sandiwara.
  • A word once files everywhere 
  • Sekali ucapan keluar akan menyebar kemana-mana.
  • A good name is bettr than riches
  • Nama yang harum lebih berharga dari kekayaan
  • A good book is gread friend
  • Buku yang bermanfaat merupakan temen yang berarti
  • A good neigbor is wort more than a far family
  • Tetangga yang baik lebih baik berharga dari pada

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments0

buku Matematika


i
ii
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika
untuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI
Program Ilmu Pengetahuan Alam
Penulis : Wahyudin Djumanta
R. Sudrajat
Penyunting : Tim Setia Purna Inves
Pewajah Isi : Tim Setia Purna Inves
Pewajah Sampul : Tim Setia Purna Inves
Pereka Ilustrasi : Tim Setia Purna Inves
Ukuran Buku : 17,6 × 25 cm
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang
Hak cipta buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional
dari Penerbit PT Setia Purna Inves
510.71
DJU DJUMANTA, Wahyudin
m Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas /
Madrasah Aliyah / Wahyudin Djumanta; R. Sudrajat;
editor Tim Setia Purna Inves, -- Jakarta: Pusat Perbukuan,
Departemen Pendidikan Nasional, 2008.
vi, 250 hlm.: tab., ilus., 25 cm
Bibliografi: hal. 245
Indeks.
ISBN 979-462-978-2
1. Matematika – Studi dan Pengajaran I. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika
II. Sudrajat, R
Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Tahun 2008
Diperbanyak oleh ...
iii
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah,
dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku
teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs
internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah
ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam
proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit
yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional
untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departe¬men Pendidikan
Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih¬mediakan, atau difotokopi
oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus
memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran
ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah
Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan
selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih
perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.
Jakarta, Juli 2008
Kepala Pusat Perbukuan
Kata Sambutan
iv
Matematika adalah ilmu dasar yang dapat digunakan sebagai alat bantu memecahkan masalah
dalam berbagai bidang ilmu, seperti: Ekonomi, Akuntansi, Astronomi, Geografi, dan Antropologi.
Oleh karena itu, matematika patut mendapat sebutan “Mathematics is Queen and Servant of Science”
yang artinya Matematika adalah ratu dan pelayan ilmu pengetahuan.
Sesuai dengan misi penerbit untuk memberikan kontribusi yang nyata bagi kemajuan
ilmu pengetahuan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggung jawab tersebut dengan
menyediakan buku bahan ajar matematika yang berkualitas, sesuai dengan tuntutan kurikulum
yang berlaku.
Buku ini disusun berdasarkan kurikulum yang berlaku dan disajikan secara sistematis,
komunikatif, dan integratif, serta adanya keruntutan antar bab. Pada awal setiap bab, disajikan pula
Tes Kompetensi Awal sebagai materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan.
Di akhir setiap bab, terdapat Rangkuman dan Refleksi yang bertujuan untuk lebih meningkatkan
pemahaman siswa tentang materi yang telah siswa pelajari. Buku ini dilengkapi juga
dengan beberapa materi dan soal pengayaan, yaitu Informasi untuk Anda (Information for You),
Tantangan untuk Anda, Hal Penting,Tugas dan Situs Matematika.
Untuk menguji pemahaman siswa terhadap suatu konsep, pada setiap subbab diberikan
Tes Kompentensi Subbab dan beberapa Soal Terbuka. Pada akhir setiap bab, juga diberikan
Tes Kompetensi Bab. Pada akhir semester siswa diberikan Tes Kompetensi Semester. Di dalam
buku ini juga dilengkapi dengan Kunci Jawaban soal terpilih sebagai sarana menguji pemahaman
siswa atas materi yang telah dipelajari.
Kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah
membantu pembuatan buku ini.
Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan.
Bandung, Juli 2008
Penulis
Kata Pengantar
v
Bab 4
Lingkaran􀀁 􀁴 95
A. Persamaan Lingkaran􀀁 􀁴 97
B. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran􀀁 􀁴 104
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 112
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 112
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀕􀀁 􀁴 112
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀴􀁆􀁎􀁆􀁔􀁕􀁆􀁓􀀁􀀒􀀁 􀁴 115
Bab 1
Statistika􀀁 􀁴􀀁 1
A. Penyajian Data􀀁 􀁴􀀁 3
B. Penyajian Data Statistik 􀁴 11
C. Penyajian Data Ukuran menjadi
Data Statistik Deskriptif􀀁 􀁴 20
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴􀀁 36
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴􀀁 36
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀒􀀁 􀁴 37
Bab 2
Peluang􀀁 􀁴 41
A. Kaidah Pencacahan􀀁 􀁴 43
B. Peluang Suatu Kejadian􀀁 􀁴 57
C. Kejadian Majemuk􀀁 􀁴 63
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 71
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 71
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀓􀀁 􀁴 72
Bab 3
Trigonometri􀀁 􀁴 75
A. Rumus Trigonometri untuk
Jumlah dan Selisih Dua
Sudut􀀁 􀁴 77
B. Rumus Trigonometri untuk Sudut
Ganda􀀁 􀁴 82
C. Perkalian, Penjumlahan,
serta Pengurangan Sinus dan
Kosinus􀀁 􀁴 86
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 91
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 91
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀔􀀁 􀁴 92
Daftar Isi
􀀬􀁂􀁕􀁂􀀁􀀴􀁂􀁎􀁃􀁖􀁕􀁂􀁏􀀁 􀁴􀀁 􀁊􀁊􀁊
􀀬􀁂􀁕􀁂􀀁􀀱􀁆􀁏􀁈􀁂􀁏􀁕􀁂􀁓􀀁 􀁴􀀁 􀁊􀁗
vi
Bab 8
Turunan Fungsi dan
Aplikasinya􀀁 􀁴 193
􀀢􀀏􀀁 􀀬􀁐􀁏􀁔􀁆􀁑􀀁􀀵􀁖􀁓􀁖􀁏􀁂􀁏􀀁 􀁴 195
B. Menentukan Turunan
􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁 􀁴 202
C. Persamaan Garis Singgung pada
􀀬􀁖􀁓􀁗􀁂􀀁􀁴 213
D. Fungsi Naik dan Fungsi
􀀵􀁖􀁓􀁖􀁏􀀁 􀁴 215
E. Maksimum dan Minimum
􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁 􀁴 218
F􀀏􀀁 􀀵􀁖􀁓􀁖􀁏􀁂􀁏􀀁􀀬􀁆􀁅􀁖􀁂􀀁 􀁴 224
G􀀏􀀁 􀀯􀁊􀁍􀁂􀁊􀀁􀀴􀁕􀁂􀁔􀁊􀁐􀁏􀁆􀁓􀀁 􀁴 228
H. Menggambar Grafik Fungsi
􀀢􀁍􀁋􀁂􀁃􀁂􀁓􀀁 􀁴 232
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 235
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 235
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀙􀀁 􀁴 236
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀴􀁆􀁎􀁆􀁔􀁕􀁆􀁓􀀁􀀓􀀁 􀁴 239
Tes Kompetensi Ujian Akhir
􀀵􀁂􀁉􀁖􀁏􀀁􀀁 􀁴 243
􀀥􀁂􀁇􀁕􀁂􀁓􀀁􀀱􀁖􀁔􀁕􀁂􀁌􀁂􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀕􀀖
􀀥􀁂􀁇􀁕􀁂􀁓􀀁􀀴􀁊􀁎􀁃􀁐􀁍􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀕􀀗
􀀪􀁏􀁅􀁆􀁌􀁔􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀕􀀘
􀀴􀁆􀁏􀁂􀁓􀁂􀁊􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀕􀀙
􀀬􀁖􀁏􀁄􀁊􀀁􀀫􀁂􀁘􀁂􀁃􀁂􀁏􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀖􀀑
Bab 6
Fungsi Komposisi dan
Fungsi Invers􀀁 􀁴 145
􀀢􀀏􀀁 􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁􀁅􀁂􀁏􀀁􀀴􀁊􀁇􀁂􀁕􀁏􀁚􀁂􀀁 􀁴 147
􀀣􀀏􀀁 􀀢􀁍􀁋􀁂􀁃􀁂􀁓􀀁􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁 􀁴 152
􀀤􀀏􀀁 􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁐􀁔􀁊􀁔􀁊􀀁 􀁴 154
D􀀏􀀁 􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁􀀪􀁏􀁗􀁆􀁓􀁔􀀁 􀁴 160
E. Invers dari Fungsi
􀀬􀁐􀁎􀁑􀁐􀁔􀁊􀁔􀁊􀀁 􀁴 164
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 166
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 167
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀗􀀁 􀁴 167
Bab 7
Limit􀀁 􀁴 171
􀀢􀀏􀀁 􀀭􀁊􀁎􀁊􀁕􀀁􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁 􀁴 173
􀀣􀀏􀀁 􀀭􀁊􀁎􀁊􀁕􀀁􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁􀀵􀁓􀁊􀁈􀁐􀁏􀁐􀁎􀁆􀁕􀁓􀁊􀀁 􀁴 184
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 189
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 189
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀘􀀁 􀁴 190
Bab 5
Suku Banyak􀀁 􀁴 119
􀀢􀀏􀀁 􀀱􀁆􀁏􀁈􀁆􀁓􀁕􀁊􀁂􀁏􀀁􀀴􀁖􀁌􀁖􀀁􀀣􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌􀀁 􀁴 121
B. Menentukan Nilai Suku
􀀣􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌􀀁 􀁴 123
C􀀏􀀁 􀀱􀁆􀁎􀁃􀁂􀁈􀁊􀁂􀁏􀀁􀀴􀁖􀁌􀁖􀀁􀀣􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌􀀁 􀁴 127
D􀀏􀀁 􀀵􀁆􀁐􀁓􀁆􀁎􀁂􀀁􀀴􀁊􀁔􀁂􀀁 􀁴 133
E􀀏􀀁 􀀵􀁆􀁐􀁓􀁆􀁎􀁂􀀁􀀧􀁂􀁌􀁕􀁐􀁓􀀁 􀁴 138
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 141
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 141
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀖􀀁 􀁴 142
Bab1
1
Statistika Sumber: farm2.static.fl ickr.com
dengan konsep statistika, seperti permasalahan berikut.
Selama dua tahun berturut-turut, supermarket Amencatat
keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai
berikut.
43, 35, 57, 60, 51, 45, 60, 43, 48, 55, 57, 45, 43, 35, 48,
45, 55, 65, 51, 43, 55, 45, 65, 55.
Dalam jangka waktu yang sama, supermarket B mencatat
keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai
berikut.
67, 78, 70, 83, 80, 56, 70, 81, 45, 50, 81, 56, 70, 55, 70,
61, 51, 75, 55, 83, 67, 54, 68, 54.
Pada Maret tahun berikutnya, pengusaha supermarket A
memperoleh keuntungan 75 juta. Sedangkan supermarket
B memperoleh keuntungan 84 juta. Pengusaha mana yang
berhasil?
Untuk mengetahui jawabannya, Anda harus mempelajari
bab ini dengan baik.
A. Penyajian Data
B. Penyajian Data
Statistik
C. Penyajian Data Ukuran
menjadi Data Statistik
Deskriptif
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu melakukan
pengolahan, penyajian dan penafsiran data dengan cara membaca
dan menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang,
garis, lingkaran, dan ogive serta pemaknaannya, dan menghitung
ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data,
serta menafsirkannya.
2 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Jelaskan langkah-langkah yang Anda
lakukan untuk membuat diagram garis.
2. Urutkan data berikut dari yang terkecil.
Kemudian, urutkan lagi dari yang terbesar.
Jelaskan pula cara mengurutkan data
tersebut.
78, 23, 45, 58, 41, 89, 45, 12, 12, 13, 54,
85, 74, 41, 41.
3. Tentukan mean, median, kuartil bawah,
dan kuartil atas dari data berikut.
a. 8, 7, 7, 9, 8, 6, 7, 8, 9, 6, 7
b. 4, 3, 8, 5, 11, 9, 3, 16, 5, 15, 9, 11, 12,
9, 10, 8, 7, 5, 4, 8
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Statistika
Pengumpulan Pengolahan
Tabel Diagram
berhubungan dengan
Ukuran Statistika
Penyajian
berhubungan dengan
mempelajari
Data
Garis Lingkaran Batang terdiri atas
Ukuran Pemusatan Ukuran Penyebaran Ukuran Letak
Mean Median Modus Pencilan Desil
Simpangan
Rataan
Hitung
Ragam Simpangan
Baku
Jangkauan Simpangan
Kuartil
Jangkauan
Antarkuartil
disajikan dalam bentuk
dapat berupa
terdiri atas
terdiri atas terdiri atas
Statistika 3
A. Penyajian Data
Statistika berkaitan erat dengan data. Oleh karena itu,
sebelum dijelaskan mengenai pengertian statistika, terlebih
dahulu akan dijelaskan mengenai data.
1. Pengertian Datum dan Data
Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum
dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.
Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43
kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari
kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk.
Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55
kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil
pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta
dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan
datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.
2. Pengertian Populasi dan Sampel
Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan ratarata
siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau. Kemudian, ia
kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di
Kabupaten Lubuklinggau. Data tinggi badan seluruh siswa
SMA di Kabupaten Lubuklinggau disebut populasi.
Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan
waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa
SMA di Kabupaten Lubuklinggau akan sulit diperoleh.
Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan
dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau
yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten
Lubuklinggau.
Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan,
sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek
penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku
secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan
agar sampel dapat mewakili populasi.
Berikut ini skema pengambilan sampel dari populasi.
Populasi mencakup seluruh siswa SMA yang ada di Kabupaten Lubuklinggau.
SMA 1
SMA 7
SMA 13
SMA 2
SMA 8
SMA 14
SMA 3
SMA 9
SMA 15
SMA 4
SMA 10
SMA 16
SMA 5
SMA 11
SMA 17
SMA 6
SMA 12
SMA 18
4 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
3. Pengumpulan Data
Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu
sebagai berikut.
1) Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau
bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu
data cacahan dan data ukuran.
a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh
dengan cara membilang. Misalnya, data tentang
banyak anak dalam keluarga.
b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh
dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang
ukuran tinggi badan murid.
2) Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan.
Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas
objek. Data seperti ini disebut atribut. Sebagai contoh, data
mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dan
kurang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan
wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery),
melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data
yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.
4. Datum Terkecil, Datum Terbesar, Kuartil
Bawah, Median, dan Kuartil Atas
Data berikut adalah tinggi badan 12 anak (dalam cm).
164 166 170 167 171 172
162 164 168 165 163 160
Dari data tersebut Anda dapat mengetahui hal-hal
berikut.
a) Anak yang paling pendek tingginya 160 cm.
b) 50% dari kedua belas anak itu tingginya tidak lebih dari
165,5 cm.
c) 25% dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.
Kerapkali data yang Anda
peroleh merupakan bilangan
desimal. Agar perhitungan
mudah dilakukan, bilangan
tersebut dibulatkan. Adapun
aturan pembulatan sebagai
berikut.
1) Jika angka yang
dibulatkan lebih dari
atau sama dengan 5,
pembulatan dilakukan
dengan menambah 1
angka di depannya.
2) Jika angka yang akan
dibulatkan kurang dari 5,
angka tersebut dianggap
tidak ada atau nol.
Sekarang, coba cari di buku
petunjuk penggunaan atau
tanya ke kakak kelas cara
membulatkan bilangan
dengan menggunakan
kalkulator ilmiah.
Ingatlah
SMA 2
SMA 10
SMA 5
SMA 14
SMA 7
SMA 17
Sampel dapat diambil dari beberapa siswa SMA yang ada di Kabupaten
Lubuklinggau yang mewakili.
Statistika 5
Untuk mengetahui hal-hal tersebut diperlukan statistik
lima serangkai, yaitu data statistik x1, Q1, Q2, Q3, dan xn
dengan x1 datum terkecil, Q1= kuartil bawah, Q2 = median,
Q3 = kuartil atas, dan xn datum terbesar (x1 dan xn dapat
diketahui).
Untuk menentukan datum terkecil dan datum terbesar
Anda perlu menyusun data tersebut dalam suatu urutan
berdasarkan nilainya, yaitu sebagai berikut.
160 162 163 164 164 165
166 167 168 170 171 172
Amati bahwa setelah data diurutkan Anda dapat menemukan
datum terkecil dan datum terbesar dengan mudah,
yaitu datum terkecil = 160 cm dan datum terbesar = 172 cm.
Jika data yang telah diurutkan itu dibagi menjadi 2
bagian yang sama, diperoleh urutan berikut:
160 162 163 164 164 165 166 167 168 170 171 172
Q2
Tampak bahwa median membagi data ini menjadi dua
bagian yang sama, yaitu enam datum kurang dari median dan
enam datum lebih dari median. Median untuk data tersebut
adalah Q2 =
165 166
2
􀀋
= 165,5. Dengan demikian, Anda
dapat mengatakan bahwa 50% dari data itu tingginya tidak
lebih dari 165,5 cm. Bagaimana menentukan median jika
banyak data ganjil?
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus menentukan
median? Cobalah nyatakan rumus tersebut dengan
kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari
tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.
Misalkan diketahui data terurut
x1, x2, x3, ..., xn
dengan n = banyak datum.
1) Untuk n genap maka mediannya adalah Q x x n n 2
2 2
+1
1
2
+
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂶
􀂶􀂶􀂶
2) Untuk n ganjil maka mediannya adalahQ x2 n+ n 1
2
Jika data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian
yang sama, diperoleh
160 162 163 164 164 165 166 167 168 170 171 172
Q1 Q2 Q3
6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tampak bahwa kuartil membagi data menjadi empat
bagian yang sama, yaitu tiga datum kurang dari kuartil bawah
(Q1), tiga datum antara Q1 dan Q2, tiga datum antara Q2 dan
kuartil atas (Q3), dan tiga datum lebih dari Q3. Kuartil bawah
dan kuartil atas dapat ditentukan, yaitu
Q1 = 163 164
2
􀀋 = 163,5 dan Q3 =
168 170
2
􀀋
= 169.
Dengan demikian, Anda dapat mengatakan bahwa 25%
dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menemukan
langkah-langkah cara menentukan kuartil? Cobalah tentukan
langkah-langkahnya dengan menggunakan kata-kata Anda
sendiri.
Berikut ini adalah langkah-langkah menentukan kuartil.
1. Data diurutkan dari datum terkecil ke datum terbesar.
x1, x2, x3, ..., xn.
2. Tentukan kuartil kedua atau median (Q2) dengan
membagi data menjadi dua bagian sama banyak.
3. Tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data di
bawah Q2 menjadi dua bagian sama banyak.
4. Tentukan kuartil atas (Q3) dengan membagi data di atas
Q2 menjadi dua bagian sama banyak.
Statistik lima serangkai, yaitu
􀁴 􀁅􀁂􀁕􀁖􀁎􀀁􀁕􀁆􀁓􀁌􀁆􀁄􀁊􀁍􀀁x1
􀁴 kuartil bawah Q1
􀁴 􀁎􀁆􀁅􀁊􀁂􀁏􀀁Q2
􀁴 kuartil atas Q3
􀁴 􀁅􀁂􀁕􀁖􀁎􀀁􀁕􀁆􀁓􀁃􀁆􀁔􀁂􀁓􀀁xn
Ingatlah
Tentukan datum terkecil, datum terbesar, median, kuartil bawah,
dan kuartil atas dari data berikut:
a. 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4
b. 9, 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4
Jawab:
a. Banyak data (n) sama dengan 7. Jika data ini diurutkan dari
yang terkecil, diperoleh
No. Urut Data x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Nilai Data 4 4 5 6 7 8 9
• Datum terkecil adalah x1 = 4.
• Datum terbesar adalah x7 = 9.
• Median merupakan datum tengah setelah data diurutkan.
Jadi, median (Q2) = x4 = 6. Jika menggunakan rumus
Q2 = xn􀀋1
2
=x x n􀀋1
2
4
= 6
Contoh 1.1
Statistika 7
Pembahasan Soal
Hasil dari suatu pengamatan
adalah sebagai berikut.
12 11 9 8 9 10 9 12
Median dari pengamatan
tersebut adalah ....
Jawab:
Data diurutkan dari yang
terkecil.
8 9 9 9 10 11 12 12
Mediannya adalah
9 10
2
􀀋
= 9,5
Soal PPI 1982
• Kuartil bawah (Q1)
Q1 = median dari 4 4 5
Jadi, Q1 = 4 (nilai paling tengah)
• Kuartil atas (Q3)
Q3 = median dari 7 8 9
Jadi, Q2 = 8 (nilai paling tengah)
b. Banyak datum (n) sama dengan 8. Jika data diurutkan,
diperoleh
No. Urut Data x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
Nilai Data 4 4 5 6 7 8 9 9
• Datum terkecil adalah x1 = 4.
• Datum terbesar adalah x8 = 9.
Median tidak dapat ditentukan dengan cara seperti soal
(a). Median untuk data genap (n = 8) ditentukan dengan
menggunakan rumus sebagai berikut.
Q2 =
1
2 2
1
2
x x
n n􀀋 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂶
􀂶􀂶􀂶 􀀋
= 1
2 8
2
8 1
2
x x 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂶
􀂶􀂶􀂶 􀀋
=
1
2
(x4 + x5) =
1
2
(6 + 7) = 6,5
Dengan cara yang sama, coba Anda tentukan Q1 dan Q2. Jika
Anda menyelesaikannya dengan benar, diperoleh Q1 = 4,5 dan
Q3 = 8,5.
5. Jangkauan Data, Jangkauan
Antarkuartil, dan Simpangan Kuartil
a. Jangkauan Data
Jangkauan data atau disebut juga rentang data adalah
selisih antara datum terbesar dan datum terkecil. Jika jangkauan
data dinotasikan J, datum terbesar xn, dan datum terkecil x1
maka
J = xn – x1
Jangkauan antarkuartil atau disebut juga rentang interkuartil
adalah selisih kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1).
Jika jangkauan antarkuartil dinotasikan JK maka
JK = Q3 – Q1
8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Perbedaan antara jangkauan data dan jangkauan antarkuartil
diperlihatkan pada Gambar 1.1. Dari gambar tersebut
tampak bahwa jangkauan antarkuartil merupakan ukuran
penyebaran data yang lebih baik daripada rentang sebab JK
mengukur rentang dari 50% data yang di tengah.
Selain jangkauan dan jangkauan antarkuartil, dikenal pula
simpangan kuartil atau rentang semi-interkuartil. Simpangan
kuartil (SK) adalah setengah dari jangkauan antarkuartil
(JK).
SK =
1
2
JK =
1
2
(Q3 – Q1)
Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungai
yang berbeda untuk diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalam
mg) adalah
193 282 243 243 282 214 185 128 243 159
218 161 112 131 201 132 194 221 141 136
Dari data tersebut tentukan:
a. jangkauan data;
b. jangkauan antarkuartil;
c. simpangan kuartil.
Jawab:
Data diurutkan hasilnya sebagai berikut:
No. Urut Data x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Datum 112 128 131 132 136 141 159 161 185 193
No. Urut Data x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
Datum 194 201 214 218 221 243 243 243 282 282
• Datum terkecil (x1) adalah 112.
• Datum terbesar (xn) adalah 282.
• Median (Q2) =
1
2
(x10 + x11) = (193 + 194) = 193,5.
• Kuartil bawah (Q1)
= median dari
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
112 128 131 132 136 141 159 161 185 193
=
1
2
(x5 + x6) =
1
2
(136 + 141) = 138,5.
Contoh 1.2
Gambar 1.1
Q1
QJK 2
50% data
J
Statistika 9
• Kuartil atas (Q3)
= median dari
x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
194 201 214 218 221 243 243 243 282 282
=
1
2
(x15 + x16) =
1
2
(221 + 243) = 232
a. Jangkauan data (J)
J = xn – x1 = 282 – 112 = 170
b. Jangkauan antarkuartil (JK)
JK = Q3 – Q1 = 232 – 138,5 = 93,5
c. SK =
1
2
JK =
1
2
(93,5) = 46,75.
b. Pencilan (Outlier)
Nilai statistik jangkauan (J) dan jangkauan antarkuartil
(JK) dapat digunakan untuk memperoleh gambaran tentang
penyebaran data dengan cepat. Untuk keperluan tersebut
didefinisikan satu langkah sebagai berikut.
Definisi 1.1
Satu langkah (L) adalah satu setengah kali panjang jangkauan
antarkuartil (JK). Secara matematis, ditulis L = 1
1
2
JK.
Nilai yang letaknya satu langkah di bawah Q1 dinamakan
pagar dalam (PD). Adapun nilai yang letaknya satu langkah
di atas Q3 dinamakan pagar luar (PL)
PD = Q1 – L dan PL = Q3 + L
Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau
lebih dari pagar luar disebut pencilan. Pencilan adalah datum
yang memiliki karakteristik berbeda dari datum lainnya.
Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yang
tidak konsisten dalam kumpulan data.
Hasil tes matematika dari 20 siswa tercatat sebagai berikut.
70, 68, 71, 68, 66, 73, 65, 74, 65, 64, 78, 79, 61, 81, 60, 97, 44,
64, 83, 56.
Jika ada data pencilan, tentukan datum tersebut.
Contoh 1.3
10 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jawab:
Data setelah diurutkan menjadi
44, 56, 60, 61, 64, 64, 65, 65, 66, 68, 68, 70, 71, 73, 74, 78, 79,
81, 83, 97
Q1 Q2 Q3
• Q1 =
64 + 64
2
= 64 • JK = Q3 – Q1 = 76 – 64 = 12
• Q2 =
68 + 68
2
= 68 • L = 1
1
2
JK = 1
1
2
. 12 = 18
• Q3 =
74 + 78
2
= 76
PD = Q1– L = 64 – 18 = 46
PL = Q3 + L = 76 + 18 = 94
Dengan demikian, ada dua pencilan dalam data ini, yaitu 44 dan
97.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Ali ingin membeli sebotol minyak
wangi. Sebelum transaksi dilakukan,
ia meneteskan dua tetes minyak wangi
itu pada pakaiannya untuk mengetes
keharumannya. Tentukan populasi dan
sampelnya.
2. Menurut BPS, banyak sekolah di setiap
provinsi di Indonesia pada tahun 2004/2005
tercatat sebagai berikut.
48, 476, 91, 43, 39, 119, 33, 139, 493, 398,
547, 128, 708, 61, 25, 55, 16, 55, 30, 34,
56, 51, 39, 134, 21, 26, 24.
Dari data itu, tentukan
a. datum terkecil dan datum terbesar;
b. kuartil bawah, median, dan kuartil
atas;
c. jangkauan data jangkauan antarkuartil,
dan simpangan kuartil;
d. apakah ada data outlier? Jika ada,
tentukan data tersebut.
3. Jelaskan apa yang dimaksud dengan data
kualitatif dan data kuantitatif.
4. Data ulangan nilai matematika siswa kelas
XI B sebagai berikut.
75, 55, 52, 50, 78, 80, 85, 86, 80, 55, 75,
80, 48.
Selain data tersebut, masih terdapat tujuh
data lagi yang belum tercatat akibat datanya
terhapus. Akan tetapi, berdasarkan catatan
kecil yang sempat terbaca, diketahui
bahwa median data setelah ditambah data
yang hilang adalah 70,5, dan kuartil bawah
data yang hilang adalah 60. Tentukan tujuh
data yang hilang itu jika pada tujuh data
yang hilang terdapat tiga kelompok data
yang setiap kelompok bernilai sama.
5. Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,
cara mengecek apakah dalam data ada
pencilan atau tidak.
Statistika 11
B. Penyajian Data Statistik
Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu
a) daftar atau tabel,
b) grafik atau diagram.
1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas
XI SMA 3 disajikan dalam tabel di samping.
Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penyajian data
sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat menentukan banyak
siswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa
orang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang
paling banyak diperoleh siswa?
Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu disajikan
dengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh
tabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel
1.2 dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.
2. Penyajian Data dalam Bentuk
Diagram
Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit
untuk dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam
bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami
data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara
visual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat.
Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan,
yaitu pada umumnya diagram tidak dapat memberikan
gambaran yang lebih detail.
a. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan
data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah
bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yang
dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius.
Ada dua jenis diagram batang, yaitu
1) diagram batang vertikal, dan
2) diagram batang horizontal.
Nilai Frekuensi
2 7
4 3
5 5
6 4
7 10
9 7
10 1
Jumlah 37
Tabel 1.1
Tabel 1.2. Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas Turus Frekuensi
1–2 7
3–4 3
5–6 8
7–8 10
9–10 8
Jumlah 37
12 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Diagram Garis
Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap
rupiah atau pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu
disebut diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk
menggambarkan m data tentang keadaan yang berkesinambungan
(sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiap
tahun, perkembangan berat badan bayi setiap bulan, dan suhu
badan pasien setiap jam.
Selama 1 tahun, toko "Anggo" mencatat keuntungan setiap bulan
sebagai berikut.
Keuntungan Toko "Anggo" per Bulan (dalam jutaan rupiah)
Bulan ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Keuntungan 2,5 1,8 2,6 4,2 3,5 3,3 4,0 5,0 2,0 4,2 6,2 6,2
a. Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut.
b. Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Toko "Anggo"
selama 1 tahun?
c. Kapan Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama
selama dua bulan berturut-turut?
Jawab:
a. Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak pada
gambar berikut.
b. Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan terbesar
yang diperoleh Toko "Anggo" selama 1 tahun adalah sebesar
Rp6.200.000,00.
c. Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama selama
dua bulan beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.
Tabel 1.3
1
1 2 3 4 5 6
Bulan ke
Keuntungan
7 8 9 10 11 12
2
3
4
5
6
Sumber: Koran Tempo, 2005
Gambar 1.2
Grafik nilai tukar dolar
terhadap rupiah pada
26 Januari 2005 sampai
dengan 1 Februari 2005.
Contoh 1.4
Statistika 13
Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan
sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak
(vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar
biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan
berat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data.
Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat
diagram garis adalah sebagai berikut.
1) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan
sumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak
menunjukkan data pengamatan.
2) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data
pengamatan pada waktu t.
3) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titiktitik
koordinat tersebut dengan garis lurus.
Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau
sejak lahir sampai berusia 9 bulan.
Usia (bulan) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Berat Badan
(kg)
3,5 4 5,2 6,4 6,8 7,5 7,5 8 8,8 8,6
a. Buatlah diagram garisnya.
b. Pada usia berapa bulan berat badannya menurun?
c. Pada usia berapa bulan berat badannya tetap?
Jawab:
a. Langkah ke-1
Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalam
bulan) dan sumbu tegak yang menunjukkan berat badan anak
(dalam kg).
Langkah ke-2
Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan
pada waktu t bulan.
Langkah ke-3
Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik
koordinat tersebut dengan garis lurus.
Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh diagram garis dari
data tersebut tampak pada Gambar 1.3.
b. Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayi
menurun pada usai 8 sampai 9 bulan.
c. Berat badan bayi tetap pada usia 5 sampai 6 bulan. Darimana
Anda memperoleh hasil ini? Jelaskan.
Contoh 1.5
Gambar 1.3
Berat badan bayi sejak usia
0 bulan–9 bulan
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Keadaan gizi bayi dapat dipantau
dari kartu KMS.
Gambar 1.4
Usia (Bulan)
Berat (kg)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Contoh 1.6
Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten
menurut tingkat sekolah pada tahun 2007.
Tingkat Pendidikan Banyaknya Siswa
SD
SMP
SMA
175
600
225
Observasi: Interpolasi dan Ekstrapolasi Data
Anda dapat melakukan observasi terhadap kecenderungan
data yang disajikan pada suatu diagram garis. Dari observasi
ini, Anda dapat membuat perkiraan-perkiraan dengan cara
interpolasi dan ekstrapolasi. Hal ini ditempuh dengan mengganti
garis patah pada diagram garis menjadi garis lurus.
Interpolasi data adalah menaksir data atau memperkirakan
data di antara dua keadaan (misalnya waktu) yang berurutan.
Misalkan, dari gambar grafik Contoh 1.7 dapat diperkirakan
berat badan bayi pada usia 5,5 bulan. Coba Anda amati grafik
tersebut, kemudian tentukan berat badan bayi pada usia 5,5
bulan.
Ekstrapolasi data adalah menaksir atau memperkirakan
data untuk keadaan (waktu) mendatang. Cara yang dapat
dilakukan untuk ekstrapolasi adalah dengan memperpanjang
ruas garis terujung ke arah kanan. Misalkan, dari gambar
grafik Contoh 1.7 dapat diperkirakan berat badan bayi pada
usia 10 bulan. Jika garis lurus sudah ditentukan, Anda dapat
menentukan interpolasi data. Untuk ekstrapolasi data, Anda
harus berhati-hati. Menurut diagram garis, berapa kira-kira
berat badan bayi pada usia 10 bulan? Berikan alasan Anda.
c. Diagram Lingkaran
Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap
keseluruhan, suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk
diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk
penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi
menjadi beberapa juring lingkaran.
Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran
adalah sebagai berikut.
1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring
lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya
telah diubah ke dalam derajat.
Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut.
Tugas
1. Bersama tiga orang
teman, catatlah nilai
tukar dolar terhadap
rupiah selama seminggu.
Kemudian, buatlah
diagram garis serta
analisisnya. Dari diagram
garis tersebut, dapatkah
Anda memprediksi
nilai tukar untuk hari
berikutnya? Hasilnya
laporkan dan bacakan di
depan kelas.
2. Buatlah kelompok yang
terdiri atas 5 orang. Cari
informasi ke posyandu
atau dokter spesialis anak,
bagaimana cara membaca
KMS (kartu menuju
sehat). KMS dijadikan
acuan untuk memantau
apakah gizi seorang
balita baik atau tidak.
Kamu pun dapat mencari
informasi tersebut di buku
atau majalah. Tulis dan
kumpulkan. Beberapa
perwakilan kelompok
membacakan hasilnya di
depan kelas.
Statistika 15
a. Buatlah diagram lingkaran untuk data tersebut.
b. Berapa persen siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada
tingkat SMP?
c. Berapa persen siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada
tingkat SMA?
Jawab:
a. Jumlah seluruh siswa adalah 1.000 orang. Seluruh siswa
diklasifikasikan menjadi 5 katagori: SD = 175 orang,
SMP = 600 orang, dan SMA = 225 orang.
• Siswa SD =
175
1.000
× 100% = 17,5%
Besar sudut sektor lingkaran = 17,5% × 360° = 63°
• Siswa SMP =
600
1.000
× 100% = 60%
Besar sudut sektor lingkaran = 60% × 360° = 216°
• Siswa SMA=
225
1.000
× 100% = 22,5%
Besar sudut sektor lingkaran = 22,5% × 360° = 81°
Diagram lingkaran ditunjukkan pada Gambar 1.5.
b. Persentase siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada
tingkat SMP adalah 60%.
c. Persentase siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada
tingkat SMAadalah 22,5%.
SMA
22,5%
SD
17,5%
SMP
60%
Gambar 1.5
3. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi
Relatif dan Kumulatif, Histogram,
Poligon Frekuensi, dan Ogive
a. Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan
dalam tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data
yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi
adalah sebagai berikut.
• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan
rumus "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah
banyak data.
Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil
pembulatan.
• Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan
menggunakan rumus:
I =
J
K
Menentukan banyak kelas
interval dengan aturan
Sturges dimaksudkan
agar interval tidak terlalu
besar sebab hasilnya
akan menyimpang dari
keadaan sesungguhnya.
Sebaiknya, jika interval
terlalu kecil, hasilnya tidak
menggambarkan keadaan
yang diharapkan.
Ingatlah
16 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Interval Kelas Turus Frekuensi
16–25 5
26–35 3
36–45 9
46–55 10
56–65 6
66–75 2
35
Tabel 1.6
Interval Kelas Turus Frekuensi
15–24 3
25–34 5
35–44 9
45–54 8
55–64 8
65–74 2
35
Tabel 1.7
Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari
35 orang.
Data hasil penelitian itu (dalam kg) diberikan berikut ini:
48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36
21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56
50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39
Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.
Jawab:
1. Jangkauan (J) = Xm- Xn = 74 – 16 = 58.
2. Banyak kelas (K) = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 35 = 6,095.
Banyak kelas dibulatkan menjadi "6".
3. Panjang interval kelas (I) adalah I
J
K
􀀝 􀀝 􀀝
58
6
9, 67.
Panjang interval kelas dibulatkan menjadi "10". Dengan
panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas = 6, diperoleh tabel
distribusi frekuensi seperti pada Tabel 1.6 atau Tabel 1.7
Cara I: Batas bawah kelas pertama diambil datum terkecil.
Amati Tabel 1.6. Dari tabel tersebut tampak bahwa frekuensi
paling banyak dalam interval 46–55. Artinya, berat badan
kebanyakan berkisar antara 46 kg dan 55 kg.
Cara II: Batas atas kelas terakhir diambil datum terbesar.
Amati Tabel 1.7.
Dari tabel tampak frekuensi paling sedikit dalam interval
65–74. Artinya, berat badan antara 65 kg dan 74 kg ada 2
orang. Perhatikan interval kelas yang pertama, yaitu 15–24.
15 disebut batas bawah dan 24 disebut batas atas. Ukuran 15–24
adalah hasil pembulatan, ukuran yang sebenarnya terletak pada
14,5–24,5. 14,5 disebut tepi bawah kelas (batas bawah nyata)
dan 24,5 disebut tepi atas kelas (batas atas nyata) pada interval
kelas 15–24.
Dalam menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas
pada setiap interval kelas, harus diketahui satuan yang dipakai.
Dengan demikian, untuk tepi bawah kelas adalah batas bawah
kelas dikurangi
1
2
satuan ukuran. Jadi, tepi kelas dari interval
kelas 15–24 menjadi 14,5–24,5.
Contoh 1.7
• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil
harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau
data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.
• Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas
yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas
dengan sistem turus.
• Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian
dengan banyak turus.
Statistika 17
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi
frekuensi bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari
suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada
interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam
persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total
data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas
ini adalah 20
80
1
4
􀀝 , sedangkan frekuensi relatifnya adalah
1
4
× 100% = 25%.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan rumus
frekuensi relatif? Cobalah nyatakan rumus frekuensi relatif
dengan kata-kata Anda sendiri.
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi relatif kelas ke-k =
frekuensi kelas ke
banyak data
-k
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi
pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas
sebelumnya.
Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu
1) frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil
terhadap tepi atas kelas);
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil
terhadap tepi bawah kelas).
Tepi atas = batas atas +
1
2
satuan pengukuran
Tepi bawah = batas bawah –
1
2
satuan pengukuran
Dari Tabel 1.6 untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah
a. frekuensi relatif;
b. frekuensi kumulatif "kurang dari";
c. frekuensi kumulatif "lebih dari".
Jawab:
a. Frekuensi relatif kelas ke-4
= frekuensi kelas ke-4
banyak datum
􀁲100
10
35
%􀀝 􀁲1
100% 28, 57%
b. Frekuensi kumulatif "kurang dari" untuk interval kelas 46 – 55
= 5 + 3 + 9 + 10 = 27 (kurang dari tepi atas kelas 55,5)
c. Frekuensi kumulatif "lebih dari" untuk interval kelas 46 – 55
= 10 + 6 + 2 = 18 (lebih dari tepi bawah kelas 45,5).
Contoh 1.8
Kata histogram berasal dari
bahasa Yunani, yaitu histo
yang berarti kertas dan gram
yang berarti menulis atau
menggambar.
The root of “histogram” is from
the Greek, histo which means
tissue, gram which means write
or draw.
Sumber:www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Informations
for You
18 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Kelas Interval Frekuensi
21–30 2
31–40 3
41–50 11
51–60 20
61–70 33
71–80 24
81–90 7
100
Tabel 1.8 Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMA
Cendekia di Kalimantan Barat diberikan pada Tabel 1.8. Buatlah
histogram dan poligon frekuensinya.
Jawab:
Contoh 1.9
Dari histogram tersebut tampak bahwa kebanyakan siswa
memperoleh nilai antara 60,5 dan 70,5. Coba Anda ceritakan hal
lain dari histogram tersebut.
c. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang
bentuknya seperti diagram batang. Batang yang berdekatan
harus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap
interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini
digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang dapat
ditulis sebagai berikut.
Titik tengah kelas =
1
2
(tepi atas kelas + tepi bawah kelas)
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan
titik-titik tengah setiap puncak persegipanjang dari histogram
secara berurutan. Agar poligon "tertutup" maka sebelum kelas
paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing
ditambah satu kelas.
Poligon
Frekuensi
10,5 20,5 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
10
Jumlah Siswa
Hasil Ujian
30
20
0
Histogram
Statistika 19
d. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang
dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon
kumulatif.
Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak
ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi
kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif.
Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif
positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif
negatif.
Tabel 1.9 dan 1.10 berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi
kumulatif "kurang dari" dan "lebih dari" tentang nilai ulangan
Biologi Kelas XI SMA 3.
a. Buatlah ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut.
b. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang
dari 85?
c. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai berat badan lebih
dari 40?
Jawab:
a. Ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut tampak pada
gambar 1.6.
b. Dari kurva ogif positif, tampak siswa yang mempunyai nilai
kurang dari 85 adalah sebanyak 93 orang.
c. Dari kurva ogif negatif, tampak siswa yang mempunyai nilai
lebih dari 40 adalah sebanyak 96 orang.
Contoh 1.10
Nilai Frekuensi
< 20,5 0
< 30,5 2
< 40,5 5
< 50,5 16
< 60,5 36
< 70,5 69
< 80,5 93
< 90,5 100
Tabel 1.9
Nilai Frekuensi
> 20,5 100
> 30,5 98
> 40,5 95
> 50,5 84
> 60,5 64
> 70,5 31
> 80,5 7
> 90,5 0
Tabel 1.10
10
10 20 30 40 4550 60 70 808590 100
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Jumlah siswa
Lebih dari
(ogif negatif)
Kurang dari
(ogif positif)
Nilai
ujian
Gambar 1.6
20 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab B
1. Buatlah daftar distribusi frekuensi dari
data berikut.
79, 15, 90, 84, 48, 84, 76, 89, 78, 60, 43,
74, 62, 88, 72, 64, 54, 83, 71, 41, 67, 81,
98, 80, 25, 78, 75, 64, 10, 52, 76, 55, 85,
92, 65, 41, 95, 81, 77, 80, 23, 60, 79, 32,
57, 74, 52, 70, 82, 36.
2. Misalkan, berat badan seorang bayi yang
dipantau sejak lahir sampai berusia 9 bulan,
menunjukkan data sebagai berikut.
Umur
(Bulan)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Berat
(kg)
3,2 3,8 4,2 4,0 4,6 4,6 5,8 5,6 7,1 8,2
a. Buatlah diagram garis.
b. Pada usia berapa bulankah berat
badannya menurun?
c. Pada usia berapa bulankah berat
badannya tetap?
3. Data berikut adalah data tinggi badan dari
40 siswa SMA HEBAT, diukur sampai
sentimeter terdekat.
168 165 176 159 163 175 158 170 170 155
156 169 170 160 160 164 153 154 150 158
147 151 150 167 168 160 150 148 161 174
176 163 149 166 175 158 166 164 167 159
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya.
b. Buatlah histogram poligonnya.
4. Data berikut adalah berat badan dari 16
anak (dalam kg).
36 30 28 33 42 32 37 35
32 34 41 32 30 40 32 42
Buatlah diagram batang dari data ter sebut.
Tentukan pula kecenderungan penyebaran
data.
5. Diagram berikut menunjukan data produksi
padi di setiap desa di kecamatan
Sukajaya
Desa A
151,2°
Desa B
90°
Desa C
36°
Desa D
72°
Desa E
a. Tentukan persentase produksi padi
yang dihasilkan desa E.
b. Jika produksi padi yang dihasilkan
kecamatan Sukajaya 180 ton, tentukan
produksi padi pada setiap desa.
C. Penyajian Data Ukuran menjadi
Data Statistik Deskriptif
1. Rataan Hitung (Mean)
Masih ingatkah Anda cara menghitung rataan hitung?
Misalnya, seorang guru mencatat hasil ulangan 10 orang
siswanya, sebagai berikut.
6 5 5 7 7,5 8 6,5 5,5 6 9
Dari data tersebut, ia dapat menentukan nilai rataan
hitung, yaitu
6 5 5 7 75 8 65 55 6 9
10
6 55
􀀋􀀋􀀋 􀀋 7 5 6 5􀀋 􀀋􀀋
􀀝
, 􀀋􀀋6, ,
,
Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,55.
Statistika 21
Secara umum, apabila nilai data kuantitatif tidak dikelompokkan
dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn (terdapat n
buah datum), nilai rataan hitung (mean) x ditentukan oleh
rumus berikut.
x
x x
n
􀀝 1 2 n 􀀋x 􀀋... 􀀋 atau x
x
n
i
i
n
􀀝􀂣 =1
Perhitungan nilai rataan hitung akan menjadi lain jika
guru tersebut mencatat hasil ulangan 40 orang siswanya
sebagai berikut:
3 orang mendapat nilai 4
4 orang mendapat nilai 5
6 orang mendapat nilai 5,5
8 orang mendapat nilai 6
7 orang mendapat nilai 7
10 orang mendapat nilai 8
2 orang mendapat nilai 9
Nilai rataan hitung siswa dapat dicari sebagai berikut:
3 4 6 8 7 10 2
40
􀀈4􀀉􀀋 􀀈5􀀉􀀋 􀀈5 5􀀉􀀋 􀀈6􀀉􀀋 􀀈7􀀉􀀋 􀀈8􀀉􀀋 􀀈9􀀉 260
􀀝
40
􀀝 6, 5
Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,5.
Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif
dinyatakan dengan x1, x2, …, xn (terdapat n buah datum)
dengan setiap nilai datum mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , …, f
n maka rataan hitung ( x ) ditentukan oleh rumus berikut.
x
x f + x f
+...+ x f
f + f + f
+...f
n n n = 1 1 2 2 1 2 3 atau x
x f
f
i i i=
n
i i=
n = 1
1
􀂣
􀂣
x = rataan hitung dari suatu
sampel
Ingatlah
1. Seorang peneliti mencatat banyak bayi yang lahir selama setahun
di 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut.
136 140 220193 130 158 242 127 184 213
200 131 111 160 217 281 242 242 281 192
a. Hitunglah rataan hitung (mean) data tersebut.
b. Tentukan jangkauan datanya.
c. Tentukanlah jangkauan antarkuartil.
2. Nilai rataan hitung (rata-rata) ujian matematika dari 38 orang
siswa adalah 51. Jika nilai dari seorang siswa lain yang bernama
Rahman digabungkan dengan kelompok itu maka nilai rataan
hitung ujian matematika dari 39 orang siswa sekarang menjadi
52. Tentukanlah nilai yang diperoleh Rahman.
Contoh 1.11
22 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sumber: www.upload.wikimedia.org
Gambar 1.8
Untuk data yang banyak, Anda
dapat menggunakan kalkulator
ilmiah untuk menghitung mean
data.
Jawab:
1. a. Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan dua
cara, yaitu tanpa menggunakan kalkulator dan dengan
menggunakan kalkulator.
• Tanpa kalkulator (dengan rumus):
x 􀀝
􀀋 􀀋 􀀋
􀀝 􀀝
136 140 192
20
3 800
20
190
... .
.
• Dengan kalkulator (fx–3600Pv), tahapan perhitungan
sebagai berikut:
1) kalkulator "ON"
2) MODE 3 x program SD
3) masukkan data
136 data
140 data



192 data
4) tekan tombol x
x = 190
Untuk kalkulator jenis lainnya, coba Anda cari informasi
cara menghitung mean dengan kalkulator tersebut.
b. Jangkauan datanya adalah: J = xn – x1 = 281 – 111 = 170.
c. Setelah data diurutkan, diperoleh Q1 = 138 dan Q3 = 231.
Jangkauan antarkuartil adalah JK= Q3 – Q1 = 93.
2. Diketahui:
Nilai rataan hitung 38 siswa adalah 51. Nilai rataan hitung 39
siswa adalah 52.
Ditanyakan:
Nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman.
Pengerjaan:
Misalkan,
x i = nilai ujianmatematika dari siswa ke-i dengan i = 1, 2, ..., 38
x39 = nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman
Dengan menggunakan rumus rataan hitung, berlaku:
x x 1 2 38
38
51
􀀋 x 􀀋 􀀋
􀀝
...
.... (1)
x x 1 2 39
39
52
􀀋 x 􀀋 􀀋
􀀝
... .... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh
51
39
39 52 􀀈38􀀉􀀋
􀀝
x 􀂙 x39 = 52(39) – 51(38) = 90
Jadi, nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman adalah 90.
Pembahasan Soal
Jika 30 siswa kelas XI A1 mempunyai
nilai rata-rata 6,5; 25
siswa kelas XI A2 mempunyai
nilai rata-rata 7; dan 20 siswa
kelas XI A3 mempunyai nilai
rata-rata 8, tentukan rata-rata
nilai tujuh puluh lima siswa
kelas XI tersebut.
Jawab:
x
n x n x
n n
􀀝
􀀋n x 􀀋
􀀋n 􀀋
1 1 2 2 3 3 1 2 3
=
30 6 5 25 7 20 8
75
􀁲6,5􀀋 􀁲􀀋
=
530
75
= 7,067 7,07
Soal UMPTN 1997
Statistika 23
2. Menghitung Rataan Hitung dengan
Menggunakan Rataan Hitung Sementara
Selain menggunakan rumus di Subbab C.1, rataan hitung
dapat pula ditentukan dengan menggunakan rataan hitung
sementara (xs). Untuk kumpulan data berukuran besar,
biasanya rataan hitung ditentukan dengan menggunakan
rataan hitung sementara sebab apabila dihitung dengan rumus
di Subbab C.1, perhitungannya akan rumit.
Langkah pertama dalam menentukan rataan hitung
dengan menggunakan rataan hitung sementara adalah menentukan
rataan sementara dari nilai tengah salah satu kelas
interval. Kemudian, semua nilai tengah pada setiap kelas
interval dikurangi rataan hitung sementara tersebut.
Setiap hasil pengurangan tersebut disebut simpangan
terhadap rataan hitung sementara itu (di). Adapun rumus untuk
mencari rataan hitung sementara adalah sebagai berikut.
x = x
f d
f
s
i i i + 􀂣
􀂣
Dalam hal ini f i = frekuensi kelas ke-i
xs = rataan hitung sementara
di = simpangan dari titik tengah kelas ke-i
dengan rataan hitung sementara.
Contoh 1.12
Tabel 1.11 menunjukkan hasil ulangan Fisika dari 71 siswa Kelas
XI SMA Merdeka. Tentukanlah rataan hitung dengan menggunakan
rataan hitung sementara.
Jawab:
Lengkapilah Tabel 1.11 dengan langkah-langkah sebagai
berikut.
1. Tentukan nilai tengah dari setiap kelas seperti berikut.
batas bawah kelas + batas atas kelas
2
2. Pilih nilai tengah dari suatu kelas sebagai rataan sementara.
Misalnya, kita pilih rataan sementara adalah nilai tengah ke-6.
Jadi, xs 􀀝
􀀋
􀀝
65 69
2
67 .
3. Untuk setiap kelas, tentukan simpangan nilai tengahnya
terhadap xs , yaitu di = xi – xs .
Interval Kelas Frekuensi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
3
4
6
8
10
11
15
6
4
2
2
Tabel 1.11
Pembahasan Soal
Perhatikan data berikut.
nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9
frekuensi 3 5 12 17 14 6 3
Seorang siswa dinyatakan
lulus jika nilai ujiannya lebih
tinggi dari nilai rata-rata
dikurangi 1. Dari data di atas,
yang lulus adalah
Jawab:
x
f x
f
i i i
k
i i
k 􀀝 􀀝
􀀝
􀂣
􀂣
1
1
=9 20 60 102 98 48 27
60
􀀋􀀋 􀀋􀀋 􀀋􀀋
= 6,07
Siswa dinyatakan lulus jika
nilainya lebih dari
6,07 – 1 = 5,07.
Jadi, jumlah yang lulus adalah
= 17 + 14 + 6 + 3 = 40 orang.
Soal Sipenmaru 1985
24 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Hasilnya tampak pada tabel berikut.
Kelas
Interval
f
i Nilai
Tengah (xi) di f i di
40–44 3 42 –25 –75
45–49 4 47 –20 –80
50–54 6 52 –15 –90
55–59 8 57 –10 –80
60–64 10 62 –5 –50
65–69 11 67 0 0
70–74 15 72 5 75
75–79 6 77 10 60
80–84 4 82 15 60
85–89 2 87 20 40
90–94 2 92 25 50
Σf = 71 Σ f i di = –90
4. Tentukan hasil kali f i di dan f d i i 􀂣 .
5. Hitung x dengan rumus x x
f d
f
s
i i i 􀂣
􀂣
x
f d
f
s
i i i 􀀝 x 􀀋 􀀝 􀀋
􀀍
􀀝 􀂣
􀂣 67
90
71
65, 73
3. Modus, Median, Kuartil, dan Desil
a. Modus (Mo)
Seorang guru ingin mengetahui nilai manakah yang
paling banyak diperoleh siswanya dari data hasil ulangan
matematika. Tentunya, ia akan menentukan datum yang paling
sering muncul. Misalnya, data hasil ulangan 10 orang siswa
sebagai berikut
7 4 6 5 7 8 5,5 7 6 7
Data yang paling sering muncul disebut modus. Modus
dari data itu adalah 7 sebab nilai yang paling sering muncul
adalah 7. Modus mungkin tidak ada atau jika ada modus
tidak tunggal (lihat Contoh 1.16).
Jika data yang diperoleh berukuran besar, data perlu
dikelompokkan agar penentuan modus mudah dilakukan.
Modus dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan
menggunakan rumus berikut.
Mo =L i
d
d +d
+ 1 1 2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
Statistika 25
dengan L = batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelas
modus
d1 = selisih antara frekuensi dari kelas yang
mengandung modus dan frekuensi dari kelas
yang mendahuluinya (sebelumnya).
d 2 = selisih antara frekuensi dari kelas yang
mengandung modus dan frekuensi dari kelas
berikutnya
i = interval kelas/panjang kelas.
Telah Anda ketahui modus adalah datum yang paling
sering muncul. Prinsip ini digunakan untuk menentukan kelas
modus pada data yang dikelompokkan. Kelas modus adalah
kelas yang frekuensinya paling banyak.
1. Tentukan modus dari data berikut ini.
a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80
b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90
c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60
2. Tabel 1.2 menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71
siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari data
ter sebut.
Jawab:
1. a. Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga
kali muncul), modusnya adalah 70.
b. Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu
dua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidak
tunggal).
c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus
(mengapa?).
2. Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar
(frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.
i = 44,5 – 39,5 = 5
L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)
d1
= 15 – 11 = 4
d2 = 15 – 6 = 9
Jadi, Mo L i
d
d d
􀀝 􀀋
􀀋
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂵 􀂵 􀂵 1 1 2
= 69,5 + (5)
4
4􀀋9
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
= 69,5 + 1,54 = 71,04
Cobalah tentukan nilai modus tersebut dengan menggunakan
kalkulator. Apakah hasilnya sama?
Contoh 1.13
Interval Kelas Frekuensi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
2
2
6
8
10
11
15
6
4
4
3
Tabel 1.12
26 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Median dan Kuartil
Dari data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan
dinyatakan oleh x1, x2, …, xn, (dengan x1 < x2 < … < xn)
untuk n yang berukuran besar (yang dimaksud n berukuran
besar yaitu n ≥ 30) maka nilai ketiga kuartil, yaitu Q1 (kuartil
bawah),Q2 (median), danQ3 (kuartil atas) ditentukan dengan
rumus berikut.
• Q = x
1 1 4
􀀈n+1􀀉 • Q = x
3 3 4
􀀈n+1􀀉 • Q = x
2 1 2
􀀈n+1􀀉
Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data
berikut.
67 86 77 92 75 70
63 79 89 72 83 74
75 103 81 95 72 63
66 78 88 87 85 67
72 96 78 93 82 71
Jawab:
Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut.
No. Urut Data (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nilai Data 63 63 66 67 67 70 71 72 72 72
No. Urut Data (xi) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nilai Data 74 75 75 77 78 78 79 81 82 83
No. Urut Data (xi) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nilai Data 85 86 87 88 89 92 93 95 96 103
• Kuartil bawah (Q1) = x x x
n
1
4
1
1
4
30 1 7
3
4
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉
􀀝 􀀝 = x x x 7 8 7
3
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 71
3
4
72 71 71
3
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉􀀝
• Median (Q2) = x x x x x x
n
1
2
1
1
2
30 1 15
1
2
15 24 15
1
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉 2
􀀝 􀀝 􀀝 􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 78
1
2
􀀋 􀀈78􀀍78􀀉􀀝 78
• Kuartil atas (Q3) =x x x x x x
n
3
4
1
3
4
30 1 23
1
4
23 24 23
1
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉 4
􀀝 􀀝 􀀝 􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 87
1
4
88 87 87
1
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉􀀝
Contoh 1.14
Statistika 27
Untuk data yang dikelompokkan, nilai median (Me) dan
kuartil (Q) ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
• Q L
i
n F
f
1 1 1 1 1
􀀋 4 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
• Q L
i
n F
f
2 2 2 2 1
􀀋 2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
• Q L
i
n F
f
3 3 3 3 3
􀀋 4 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
dengan: Li = batas bawah nyata dari kelas Qi
Fi = jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas
kuartil ke-i
f i = frekuensi kelas kuartil ke-i
n = banyak data
i = panjang kelas/interval kelas
1. Q2= median
2. i pada F i dan f i
adalah sebagai indeks.
i yang berdiri sendiri
adalah sebagai panjang
kelas.
Ingatlah
Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada
Tabel.1.12.
Jawab:
Q1 =x x x 1
4
1
4
18 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q1 ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)
Q2 = x x x 1
2
1
2
36 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q2 ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)
Contoh 1.15
40 – 44 2 2
45 – 49 2 4
50 – 54 6 10
55 – 59 8 18
60 – 64 10 28
65 – 69 11 39
70 – 74 15 54
75 – 79 6 60
80 – 84 4 64
85 – 89 4 68
90 – 94 3 71
Kelas Interval Frekuensi Frekuensi Kumulatif
Q1
􀁬
Q2
􀁬
Q3
􀁬
Interval Kelas
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
2
2
6
8
10
11
15
6
4
4
3
Frekuensi
Tabel 1.12
28 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Q3 =x x x 3
4
3
4
54 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q3 ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74)
Dengan demikian, Q1, Q2, Q3 dapat ditentukan sebagai berikut.
Q L
i
n F
f
1 1 1 1 1
􀀋 4 54 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀋 􀀋
􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
1
4
8
= 54 5
5
8
, 59 34
􀀋 􀀈7, 75􀀉 ,
Q L
i
n F
f
2 2 2 2 1
􀀋 2 64 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀉 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
1
2
11
= 64 5
7 5
11
,
,
􀀋 􀀈5􀀉= 64,5 + 3,4 = 67,9
Q L
i
n F
f
3 3 3 3 3
􀀋 4 69 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀉 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
3
4
15
= 69 5
14 25
15
,
,
􀀋 􀀈5􀀉= 69,5 + 4,75 = 74,25
c. Desil
Untuk data sebanyak n dengan n ≥ 10, Anda dapat
membagi data tersebut menjadi 10 kelompok yang memuat
data sama banyak. Ukuran statistik yang membagi data
(setelah diurutkan dari terkecil) menjadi 10 kelompok sama
banyak disebut desil. Sebelum data dibagi oleh desil, data
harus diurutkan dari yang terkecil.
Oleh karena data dibagi menjadi 10 kelompok sama
banyak maka didapat 9 desil. Amati pembagian berikut.
xmin D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 xmak
Terdapat 9 buah desil, yaitu desil pertama(D1), desil
kedua (D2), ..., desil kesembilan (D9).
Letak desil ditentukan dengan rumus berikut.
Letak ( D i) = data kei
10
􀀈n + 1􀀉
atau Di =
xi
10
􀀈n+1􀀉
Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9 dan n = banyak data.
Tugas
Coba bersama kelompok
belajar Anda selidiki,
mengapa untuk menentukan
desil, banyak data (n) harus
lebih besar dari atau sama
dengan 10 (n ≥ 10). Tuliskan
hasil penyelidikan, kemudian
kumpulkan kepada guru
Anda.
Statistika 29
Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut.
47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45
Jawab:
Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42,
43, 45, 46, 47.
Banyak data adalah n = 13.
D1 = data ke-
1 13 1
10
􀀈 􀀋 􀀉
= data ke–1, 4
= x1 + 0,4(x2 – x1)
= 33 + 0,4 (35–33)
= 33 + 0,8 = 33,8.
D5 = data ke-
5 13 1
10
􀀈 􀀋 􀀉
= data ke–7
= x7 = 40.
Jadi, desil ke -1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.
Contoh 1.16
1 + 1 + 5 + 7 dapat dilihat
pada kolom frekuensi
kumulatif (kelas 45 – 49)
Ingatlah
Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi
frekuensi, nilai desil ditentukan sebagai berikut.
Di = ( t b )Di +
i n
10
F
f
p
1 1 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9
(t b )Di = tepi bawah kelas Di
Fi = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di
f i = frekuensi kelas Di
p = panjang kelas
Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel 1.13.
Jawab:
Diketahui i = 3 maka
i􀁲n
􀀝
􀁲
􀀝
10
3 40
10
12.
Desil ketiga (D3) terletak di kelas: 51–60 (karena kelas 51–60
memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).
D3 = 50,5 +
12 8
5
􀀍
.10 = 50,5 + 8 = 58, 5.
Contoh 1.17
Nilai f
i Frekuensi
Kumulatif
31–40
41–50
51–60
61–70
71–80
81–90
91–100
5
3
5
6
9
8
4
5
8
13
19
28
36
40
Tabel 1.13
30 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut:
12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11
Jawab:
x
n
􀀝 􀀈 x 􀀉
n x 􀀋 􀀋 􀀝
1 1 8
(12 + 3 + 11 + 3 + 4 + 7 + 5 + 11) = 7
S R 􀀝
12􀀍7 􀀋􀀋 3􀀍7 􀀋􀀋 11􀀍􀀍7 􀀋 3􀀍􀀍7 􀀋 4􀀍􀀍7 􀀋 7􀀍􀀍7 􀀋􀀋 5􀀍􀀍􀀍􀀍7 􀀋 11􀀍7
8
􀀝
􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋
􀀝
5 4􀀋􀀋 4􀀋􀀋 43 0􀀋􀀋2 4
8
3, 25
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.
Coba Anda tentukan simpangan rata-rata tersebut dengan
menggunakan kalkulator. Apakah hasilnya sama?
Contoh 1.18
4. Simpangan Rata-Rata, Ragam,
dan Simpangan Baku
a. Simpangan Rata-Rata
Sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan
dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data tersebut dapat
ditentukan simpangan rata-rata (S R ) dengan menggunakan
rumus:
S =
n
x
x R i i=
1 n
1 􀂣
Simpangan rataan hitung
menunjukkan rataan hitung
jauhnya datum dari rataan
hitung.
Ingatlah
Untuk sekumpulan data yang dinyatakan oleh x1, x2, …,
xn dan masing-masing nilai data tersebut mempunyai frekuensi
f 1 , f 2 , …, f n diperoleh nilai simpangan rata-rata (S R ) dengan
menggunakan rumus:
S
=
f x
x
f
R i i i=
n
i 􀂣 􀀍
􀂣
1
Contoh 1.19
Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas
XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.11 Contoh 1.11.
Jawab:
Dari Contoh 1.15, diperoleh x = 65,7 (dibulatkan).
Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)
Seorang ahli matematika
Jerman, Carl Friedrich Gauss,
mempelajari penyebaran
dari berbagai macam data. Ia
menemukan istilah “Standar
deviasi” untuk menjelaskan
penye baran yang terjadi.
Para ilmuwan sekarang,
menggu na kan standar deviasi
untuk mengestimasi akurasi
pengukuran data.
Sumber: Ensiklopedi Matematika, 2002
Tokoh
Matematika
Statistika 31
Kelas
Interval
Nilai
Tengah
(xi)
f i x x i f i x x i
40 – 44 42 3 23,7 71,1
45 – 49 47 4 18,7 74,8
50 – 54 52 6 13,7 82,2
55 – 59 57 8 8,7 69,6
60 – 64 62 10 3,7 37
65 – 69 67 11 1,3 14,3
70 – 74 72 15 6,3 94,5
75 – 79 77 6 11,3 67,8
80 – 84 82 4 16,3 65,2
85 – 89 87 2 21,3 42,6
90 – 94 92 2 26,3 52,6
f i 􀂣 􀀝 71 f i x x i 􀂣 􀀝 671, 7
Jadi, simpangan rata-rata (S R ) = 671 7
71
, = 9,46.
Untuk menghitung
simpangan baku dari data
kuantitatif: 2, 5, 7, 4, 3, 11, 3
dengan kalkulator ilmiah
(fx–3600Pv) adalah sebagai
berikut.
1) Kalkulator “ON”
2) MODE 3 􀁬 Program SD
3) Masukkan data
2 data
5 data
………3
data
4) Tekan tombol x 􀁓n􀀍1.
􀁓 = 2,878491669 = 2,88
Coba Anda hitung simpangan
baku untuk Contoh Soal 1.26
dengan kalkulator. Apakah
hasilnya sama?
Ingatlah
Contoh 1.20
Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi
badannya, diperoleh data berikut:
165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.
Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.
Jawab:
x = 166
S
n
i
n
􀀝
􀀈x x􀀉 i
􀀝 􀂣
2
1
b. Simpangan Baku
Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan
dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data
tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang
ditentukan oleh rumus berikut.
S =
n
i=
n
􀀈x x􀀉 i
􀀍
􀂣 2
1
1
􀁓 􀀝
􀀈 􀀍􀁍􀀉
􀀝 􀂣
n
i
n
2
1
untuk sampel untuk populasi
dan
32 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan,
dapat dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing data
mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , …, f n . Simpangan baku (S) dari
data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus
untuk sampel untuk populasi
dan
S =
f
n
i 2
i=
n
􀀈x x􀀉 i 􀀍
􀀍
􀂣1
1
􀁓 =
f
n
i 2
i=1
n
􀀈x 􀁍􀀉 i 􀂣 􀀍
Pada Contoh 1.20, dengan
x = 166.
1. Hitunglah
i
􀀈x x 􀀉 i
􀀝 􀂣
2
1
9
.
2. Hitunglah
i
􀀈x 􀀉 i 􀀍
􀀝 􀂣
2
1
9
.
3. Hitunglah
i
􀀈x 􀀉 i 􀀍
􀀝 􀂣
2
1
9
.
4. Hitunglah
i
􀀈x 􀀉 i 􀀍
􀀝 􀂣
2
1
9
.
5. Amatilah hasil-hasil
perhitungan 1 sampai
dengan 4. Buatlah
suatu dugaan umum
(kesimpulan).
6. Uji kesimpulan Anda
dengan menghitung
i
􀀈x 􀀉 i 􀀍
􀀝 􀂣
2
1
9
.
Tantangan
untuk Anda
Hitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswa
kelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel 1.11.
Jawab:
Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh 􀁍 = 65,7.
xi f i xi 􀀍􀁍 􀀈x 􀀉 i 􀀍 2 f i 􀀈x 􀀉 i 􀂣 􀀍 2
42 3 –23,7 561,69 1.685,07
47 4 –18,7 349,69 1.398,76
52 6 –13,7 187,69 1.126,14
57 8 – 8,7 75,69 605,52
62 10 –3,7 13,69 136,9
67 11 1,3 1,69 18,59
72 15 6,3 39,69 595,35
77 6 11,3 127,69 766,14
82 4 16,3 265,69 1.062,76
87 2 21,3 453,69 907,38
92 2 26,3 691,69 1.383,38
f i 􀂣􀀝 60 f i 􀂣􀀈x 􀀉 i 􀀍 􀀝 2 9.685,99
Jadi, simpangan bakunya 􀁓􀀝 􀀝
9 685 99
71
11 68
.685,
, .
Contoh 1.21
􀀝
􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋
􀀝
1169 100 36 81 16 9
9􀀍1
272
8
􀀝 5,83
Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.
Statistika 33
c. Variansi (Ragam)
Untuk data yang tidak dikelompokkan ataupun data
yang dikelompokkan, diperoleh nilai variansi (v) dengan
menggunakan rumus:
untuk sampel untuk populasi
v = S2 dan v = 􀁓2
Hitunglah variansi dari data Contoh 1.26.
Jawab:
Dari hasil perhitungan Contoh 1.23 diperoleh S = 5,83 maka
v = S2 = (5,83)2 = 33,99.
Contoh 1.22
d. Koefisien Keragaman (KK)
Rumus koefisien keragaman (KK) dari sekumpulan data
x1, x2, x3, ..., xn adalah
KK
S
x
􀀝 􀁲100
Dalam hal ini S = simpangan baku
x = rataan
Pak Murtono seorang pengusaha. Bidang usaha yang ia jalani
adalah penerbitan, tekstil, dan angkutan. Dalam 5 bulan terakhir,
ia mencatat keuntungan bersih ketiga bidang usahanya. Hasilnya
tampak pada Tabel 1.14.
Bidang Usaha
Penerbitan
Tekstil
Angkutan
60 116 100 132 72
144 132 108 192 204
80 260 280 72 116
Keuntungan Bersih (dalam puluhan juta rupiah)
Tabel 1.14 Keuntungan Bersih Usaha Pak Murtono Selama 5 Bulan Terakhir.
Jika Pak Murtono berpendapat bahwa bidang usaha yang akan
dipertahankan hanya dua bidang usaha dengan kriteria bidang
usaha dengan keuntungan bersih yang stabil, tentukanlah bidang
usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Jawab:
Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal
tersebut.
Diketahui : • keuntungan bersih selama 5 bulan terakhir yang
disajikan pada Tabel 1.14.
Contoh 1.22
Situs Matematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang
Statistika melalui internet
dengan mengunjungi situs
berikut.
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁆􀁍􀁆􀁂􀁓􀁏􀁊􀁏􀁈􀀏􀁈􀁖􀁏􀁂􀁅􀁂􀁓􀁎􀁂􀀏
ac.id
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁘􀁘􀁘􀀏􀁔􀁕􀁂􀁕􀁄􀁂􀁏􀀏􀁄􀁂
34 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
• bidang usaha yang dipertahankan adalah yang
memiliki keuntungan bersih yang stabil.
Ditanyakan: bidang usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalammenyelesaikan soal.
Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rataan, simpangan baku,
dan koefisien keragaman.
Langkah ke-3
Menghitung rataan, simpangan baku, dan koefisien keragaman
dari setiap bidang usaha.
􀂜 Bidang usaha penerbitan
x
x
n
􀀝 􀀝
􀀋 􀀋 􀀋 􀀋
􀀝 􀂣 60 116 100 132 72
5
96
S
n
􀀝
􀀈x x􀀉 i
􀀍
􀂣 2
1
􀀝
􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉
􀀋 2 2 2 2 5 1
2 􀀈72􀀍96􀀉
􀀝 􀀝
3584
4
29, 93
KK
S
x
􀀝 􀀝 􀀝
29 93
96
0 31
,
,
􀂜 Bidang usaha tekstil
x 􀀝156
S = 40,69
KK
S
x
􀀝 􀀝 􀀝
40 69
156
0 26
,
,
􀂜 Bidang usaha angkutan
x 􀀝161,6
S = 100.58
KK
S
x
􀀝 􀀝 􀀝
100 58
161 6
0 62
,
,
,
Jadi, sebaiknya Pak Murtono tidak melanjutkan usaha angkutan
karena keuntungannya tidak stabil (nilai KK paling besar).
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁎􀁆􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁎􀁐􀁅􀁖􀁔
􀁴􀀁 􀁎􀁆􀁅􀁊􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁔􀁊􀁎􀁑􀁂􀁏􀁈􀁂􀁏 􀁓􀁂􀁕􀁂􀀎􀁓􀁂􀁕􀁂
􀁴􀀁 􀁔􀁊􀁎􀁑􀁂􀁏􀁈􀁂􀁏 􀁃􀁂􀁌􀁖
􀁴􀀁 􀁅􀁆􀁔􀁊􀁍
􀁴􀀁 􀁌􀁖􀁂􀁓􀁕􀁊􀁍
􀁴􀀁 􀁅􀁊􀁂􀁈􀁓􀁂􀁎
Statistika 35
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Dari data berikut ini, tentukanlah
a. modus, median, kuartil bawah, dan
kuartil atas;
b. rataan hitung, simpangan rataan hitung,
simpangan baku, dan variansinya.
1) 5, 8, 10, 4, 8, 7, 5, 6, 3, 4
2) 55, 62, 70, 50, 75, 55, 62, 50, 70,
55, 75, 80, 48, 62
3) 165, 155, 160, 156, 168, 174, 180, 160,
165, 155, 166, 170, 156, 178, 175, 172
4) 203, 235, 224, 207, 205, 215, 230,
220, 225, 224, 230, 207, 215, 235,
225, 220, 215, 203, 220, 205
2. Tabel berikut memperlihatkan data hasil
ulangan bahasa Indonesia Kelas XI SMA
Hebat.
Interval Kelas
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
1
2
1
3
5
8
26
18
18
10
5
Frekuensi
Tentukanlah rataan hitungnya menggunakan
rataan hitung sementara.
3. Kelas XI A, XI B, dan XI C masingmasing
terdiri atas 40 orang, 39 orang,
dan 38 orang. Jika nilai rataan hitung ujian
Biologi kelas XI A, XI B, XI C masingmasing
50, 65, dan 68, hitunglah nilai
rataan hitung ujian Biologi dari seluruh
siswa kelas XI itu.
4. Nilai rataan hitung ujian Matematika
dari sekelompok siswa yang berjumlah
42 orang adalah 62,5. Jika siswa dari
kelompok itu yang bernilai 70 dan 75
tidak dimasukkan dalam perhitungan nilai
rataan hitung, berapa nilai rataan hitung
ujian matematika yang baru?
5. Nilai rataan hitung ujian Fisika Kelas XI A
yang terdiri atas 39 orang adalah 60. Jika
seorang siswa mengikuti ujian susulan,
berapakah nilai yang harus diperoleh siswa
itu agar nilai rataan hitungnya naik 0,25?
6. Hitunglah simpangan rataan hitung dari
data nilai Bahasa Indonesia kelas XI SMA
Megah pada soal nomor 2.
7. Hitunglah simpangan baku dan variansi
dari data tinggi badan siswa Kelas XI SMA
Megah pada soal nomor 7.
8. Selama dua tahun supermarket A mencatat
keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan
rupiah) sebagai berikut.
43, 35, 57, 60, 51, 45, 60, 43, 48, 55, 57, 45,
43, 35, 48, 45, 55, 65, 51, 43, 55, 45, 65, 55
Dalam jangka waktu yang sama supermarket
B mencatat keuntungan setiap
bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai
berikut.
67, 78, 70, 83, 80, 56, 70, 81, 45, 50, 81, 56,
70, 55, 70, 61, 51, 75, 55, 83, 67, 54, 68, 54
Jika pada bulan tertentu pengusaha supermarket
A memperoleh keuntungan 75 juta,
sedangkan supermarket B memperoleh
keuntungan 84 juta, pengusaha mana yang
berhasil? Jelaskan.
9. Dari 50 orang siswa diambil sampel secara
acak 15 orang untuk diukur tinggi badannya,
diperoleh data sebagai berikut.
157 172 165 148 173 166 165 160
155 172 157 162 164 165 170
Hitunglah:
a. rataan hitung,
b. simpangan baku, dan
c. variansinya.
10. Pak Amran dan Pak Kadi masing-masing
memiliki lima ekor kambing. Berat
rataan hitung kambing Pak Amran 36 kg,
sedangkan berat rataan hitung kambing
Pak Kadi hanya 34 kg. Seekor kambing
36 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Pak Kadi ditukarkan dengan seekor
kambing Pak Amran sehingga berat rataan
hitung kambing Pak Kadi sama dengan
berat rataan hitung kambing Pak Amran.
Tentukan selisih berat kambing yang
ditukarkan itu.
11. Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,
apa yang dimaksud modus, mean, median,
kuartil, dan desil. Jelaskan pula perbedaan
dan manfaatnya.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 1,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda amat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Refleksi
• Rataan dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi
oleh banyak data.
Rumus rataan sebagai berikut.
- Untuk data tunggal
x
x
n
= i
Sx , dengan xi = data ke-i
x = rataan
n = banyak data
- Untuk data yang dikelompokkan x
f x
f
i i i =
Sf
Sf
,
dengan f i = frekuensi data xi.
• Modus adalah datum yang paling sering muncul.
Rumus modus sebagai berikut. Untuk data yang dikelompokkan
Mo = L +
d
d d
1
1 2 Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
i
Dalam hal ini,
Mo = modus
L = tepi bawah dari kelas modus.
d1 = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung
modus dan frekuensi dari kelas sebelumnya.
d 2 = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung
modus dan frekuensi dari kelas berikutnya.
i = interval kelas.
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Statistika 37
Tes Kompetensi Bab 1
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Nilai rataan hitung sekelompok siswa
yang berjumlah 40 orang adalah 51. Jika
seorang siswa dari kelompok itu yang
mendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalam
perhitungan rataan hitung tersebut maka
nilai rataan hitung ujian akan menjadi ....
a. 50 d. 47
b. 49 e. 46
c. 48
2. Nilai Bahasa Indonesia dari 10 orang
siswa yang diambil secara acak adalah 3,
4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Pernyataan berikut
yang benar adalah ....
(1) rataan hitungnya = 6
(2) mediannya = 6,5
(3) modus = 7
(4) jangkauan = 6
Pernyataan yang benar adalah ....
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. Semua benar
3. Simpangan rataan hitung data 10, 10, 9,
8, 8, 7, 7, 6, 6, 5 adalah ....
a. 7,6 d. 2,2
b. 6,6 e. 1,4
c. 2,8
4. Simpangan rataan hitung data x1, x2, ... ,
x10 adalah 2,29. Jika setiap data ditambah
satu maka simpangan rataan hitungnya
adalah ....
a. 0,29 d. 2,39
b. 1,29 e. 4,58
c. 2,29
5. Tes Matematika diberikan kepada tiga
kelas siswa berjumlah 100 orang. Nilai
rataan hitung kelas pertama, kedua, dan
ketiga adalah 7,8, dan 7,5. Jika banyaknya
siswa kelas pertama 25 orang dan kelas
ketiga 5 orang lebih banyak dari kelas
kedua, nilai rataan hitung seluruh siswa
adalah ....
a. 7,65 d. 7,68
b. 7,66 e. 7,69
c. 7,67
6. Nilai rataan hitung pada tes Matematika
dari 10 siswa adalah 55 dan jika digabung
lagi dengan 5 siswa, nilai rataan hitung
menjadi 53. Nilai rataan hitung dari 5
siswa tersebut adalah ....
a. 49 d. 50,5
b. 49,5 e. 51
c. 50
7. Dari empat bilangan diketahui bilangan
yang terkecil adalah 30 dan yang terbesar
58. Rataan hitung hitung keempat bilangan
itu tidak mungkin ....
(1) < 37 (3) > 51
(2) < 40 (4) > 48
Pernyataan yang benar adalah ....
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. Semua benar
8. Untuk kelompok bilangan
2, 3, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11
(1) modus lebih dari rataan hitung
(2) median kurang dari rataan hitung
(3) modus = median
(4) modus = rataan hitung
Pernyataan yang benar adalah ....
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. Semua benar
38 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
9. Untuk memudahkan perhitungan, semua
nilai data pengamatan dikurangi 1300.
Nilai-nilai baru menghasilkan jangkauan
28, rataan hitung 11,7, simpangan kuartil
7,4 dan modus 12. Data aslinya mempunyai
....
(1) rataan hitung = 1311,7
(2) jangkauan = 28
(3) modus = 1312
(4) simpangan kuartil = 657,4
Pernyataan yang benar adalah ....
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. Semua benar
10. Tabel berikut memperlihatkan distribusi
frekuensi yang salah satu frekuensinya
belum diketahui.
Data
0
2
3
4
5
1
3
2
?
1
Frekuensi
Rataan hitung yang mungkin dari data itu
adalah ....
a. 0 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
11. Pernyataan yang benar berdasarkan tabel
distribusi frekuensi berikut adalah ....
Data
2
4
6
8
4
3
2
2
Frekuensi
a. modus < median < mean
b. mean = median
c. modus < mean < median
d. mean < median < modus
e. median < modus < mean
12. Jika jangkauan data 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4,
x sama dengan rataan hitungnya maka
nilai x adalah ....
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
13. Diketahui data 1, 2, 3, 3, 4, 1, x.
Jika mean = median = 2 maka nilai x
adalah ....
a. 0 d. 1,5
b. 0,5 e. 2
c. 1
14. Median dari data yang disajikan histogram
berikut adalah ....
a. 60,5 d. 67,5
b. 65 e. 70,5
c. 65,5
15. Empat kelompok siswa yang masingmasing
terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orang
menyumbang korban bencana alam.
Rataan hitung sumbangan masing-masing
kelompok adalah Rp4.000,00; Rp2.500,00;
Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Rataan
hitung sumbangan setiap siswa seluruh
kelompok itu adalah ....
a. Rp2.025,00 d. Rp1.625,00
b. Rp1.925,00 e. Rp1.550,00
c. Rp1.750,00
16. Diketahui data x1, x2, ..., x10. Jika setiap
nilai data ditambah 10 maka ....
(1) rataan hitungnya ditambah 10
(2) simpangan rataan hitungnya tetap
(3) mediannya ditambah 10
(4) modusnya tetap
Pernyataan yang benar adalah ....
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
30,5
4
6
20
18
14
45
40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5
Frekuensi
Statistika 39
d. (4)
e. semua benar
17. Data tinggi badan 30 siswa sebagai
berikut.
168 159 159 161 158 158 161 158
162 159
155 169 163 159 157 156 161 161
163 162
187 162 158 159 154 188 160 187
162 168
Rataan hitung dari data di atas adalah ....
a. 163,13 d. 166,20
b. 164,13 e. 167,5
c. 165,03
18. Gaji rataan hitung pegawai suatu
perusahaan Rp250.000,00. Gaji rataan
hitung pegawai prianya Rp260.000,00,
sedangkan gaji rataan hitung pegawai
wanitanya Rp210.000,00. Berapakah
perbandingan jumlah pegawai pria dan
pegawai wanita perusahaan itu?
a. 1 : 9 d. 3 : 2
b. 1 : 4 e. 4 : 1
c. 2: 3
19.
Frekuensi 20 40 70 a 10
Nilai Ujian Matematika 4 5 6 8 10
Dalam tabel di atas, nilai rataan hitung
ujian matematika adalah 6. Oleh karena
itu, a adalah ....
a. 0 d. 20
b. 5 e. 30
c. 10
20. Kuartil bawah dari data pada tabel distribusi
frekuensi berikut adalah ....
Nilai
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
1
3
11
21
43
32
9
Frekuensi
a. 66,9 d. 66,1
b. 66,6 e. 66,0
c. 66,2
21. Tabel berikut memperlihatkan suatu
pengukuran. Rataan hitungnya adalah ....
xi
5 3 1 10
f i 2 3 1 2
a. 1 d. 8
b. 3 e. 9
c. 4
22. Rataan hitung dari data berikut adalah ....
Nilai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11
Frekuensi 1 2 1 3 1 1 2 1 2 1
a. 4,5 d. 6
b. 5,0 e. 6,5
c. 5,5
23. Simpangan baku dari data 3, 6, 6, 2, 6, 2,
1, 1, 5, 3 adalah ....
a. 1,6 d. 2,3
b. 1,9 e. 2,4
c. 2,1
24. Simpangan kuartil dari data tabel berikut
adalah ....
a. 1,2 d. 4,8
b. 2,5 e. 5,9
c. 3,4
Nilai
1 – 10
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
2
4
25
47
17
5
Frekuensi
40 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Dari data berikut, tentukan ukuran terkecil,
ukuran terbesar, median, kuartil bawah,
kuartil atas, jangkauan data, dan jangkauan
antarkuartil.
a. 75, 65, 50, 48, 72, 60, 75, 80, 48, 70, 55
b. 165, 158, 164, 173, 168, 160, 172,
156, 170, 164, 169, 155, 168
c. 212, 225, 220, 217, 224, 208, 222,
205, 220, 210, 205, 215
d. 315, 300, 306, 325, 320, 315, 330,
312, 325, 310, 320, 318, 305, 317
2. Suatu keluarga mempunyai lima orang anak.
Anak termuda berumur t tahun dan yang
tertua 2(2t – 1) tahun. Tiga anak yang lain
masing-masing berumur (t + 2) tahun, (2t
+ 1) tahun, dan (3t – 1) tahun. Jika rataan
hitung umur mereka 8,8 tahun, tentukan
umur anak termuda dan tertua.
3. Tabel berikut menunjukkan data tinggi
badan Kelas XI SMA Megah.
Interval Kelas
147 – 151
152 – 156
157 – 161
162 – 166
167 – 171
172 – 176
9
5
10
28
27
12
Frekuensi
Tentukanlah:
a. modus
b. median, kuartil bawah, dan kuartil
atas
c. rataan hitungnya.
4. Tabel berikut menunjukkan data tabungan
domestik (dalam triliun rupiah) per
triwulan dari tahun 1993–1998.
Tri
wulan
I
II
III
IV
18,9
25,2
25,5
29,9
1993
Sumber: BPS, 1998
23,7
24,4
29,1
32,7
1994
28,6
29,1
38,5
43,8
1995
34,5
39,1
39,5
39,4
1996
46,9
50,7
69,6
61,6
1997 1998
Tahun
19,0
19,6
21,3
23,5
a. Buatlah diagram garisnya (tidak
setiap tri wulan).
b. Pada triwulan dan tahun berapa
tabungan domestik terbesar?
Jelaskan.
c. Pada triwulan dan tahun berapa
tabungan domestik terkecil?
Jelaskan.
d. Berapa kali tabungan domestik
mengalami penurunan? Jelaskan.
5. Dalam suatu ujian yang diikuti 42 orang
diperoleh rataan nilai ujian 30, median
35, dan simpangan baku 8. Oleh karena
rataannya terlalu rendah, semua nilai
dikalikan 2, kemudian dikurangi 5.
a. Hitung rataan nilai yang baru.
b. Hitung median yang baru.
c. Hitung simpangan baku baru.
Bab2
41
Peluang Sumber: Dokumentasi Penerbit
Anda telah mempelajari konsep peluang di Kelas IX.
Pada pembahasan tersebut telah dipelajari tentang ruang
sampel dan menghitung peluang suatu kejadian. Pada bab ini,
materi akan dikembangkan sehingga Anda memahami konsep
permutasi, kombinasi, dan peluang kejadian majemuk.
Teori peluang, lahir pada abad pertengahan di Prancis.
Saat ini teori peluang banyak digunakan di berbagai bidang,
seperti asuransi, bisnis, biologi, olahraga, dan kesehatan.
Salah satunya dapat Anda simak pada uraian berikut ini.
Dari hasil penelitian di suatu kota "X" terhadap 1.000
anak diperoleh data sebagai berikut.
• Peluang anak yang diberi ASI adalah 90%.
• Peluang anak yang mendapatkan imunisasi campak
adalah 60%.
• Peluang anak yang mendapatkan vaksin Polio adalah
80%.
Dengan menggunakan konsep peluang, Anda dapat
menentukan anak yang mendapatkan imunisasi Campak
dan vaksin Polio.
A. Kaidah Pencacahan
B. Peluang Suatu
Kejadian
C. Kejadian Majemuk
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
kaidah pencacahan untuk menentukan peluang suatu kejadian
dan penafsirannya dengan cara menggunakan sifat dan aturan
perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah,
menentukan ruang sampel suatu percobaan, serta menentukan
peluang suatu kejadian dan menafsirkannya.
42 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Hitunglah
a. 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3
b.
1
2
4
25
3
25
􀀋 􀀍
c. 3
4
3
4
3
4
3
4
􀁲 􀁲 􀁲
2. Faktorkanlah suku tiga berikut.
a. n2 – n – 56
b. n2 + 3n – 70
3. Jabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini.
a. (x + y)2 c. (x + y)4
b. (x + y)3 d. (x + y)5
4. Peluang seorang penduduk di suatu Rukun
Warga (RW) menjadi anggota koperasi
adalah 75%. Jika jumlah penduduk RW
itu ada 2.000 orang, berapa orang yang
menjadi anggota koperasi?
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Peluang
Pencacahan
berhubungan dengan terdiri atas
terdiri atas
Aturan
Perkalian Permutasi
Kejadian
Majemuk
Kejadian
Sederhana
menggunakan
Perkalian
Peluang
Peluang
Komplemen
Peluang
Gabungan
Saling
Bebas
Saling
Bergantung
Saling
Lepas
Tidak Saling
Lepas
terdiri atas
jenisnya jenisnya
P(A B)
= P(A) + P(B)
– P(A B)
P(A B)
= P(A) + P(B)
P(A B)
= P(A) × P(B | A)
P(A B)
= P(A) × P(B)
rumus rumus rumus rumus
Kombinasi
Teori
Peluang
Peluang 43
A. Kaidah Pencacahan
1. Aturan Perkalian
Misalkan, dari 3 orang siswa, yaitu Algi, Bianda, dan
Cahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris,
dan bendahara dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh
merangkap jabatan pengurus kelas. Banyak cara 3 orang
dipilih menjadi pengurus kelas tersebut akan dipelajari
melalui uraian berikut.
Amati Gambar 2.1.
a. Untuk ketua kelas (K)
Posisi ketua kelas dapat dipilih dari 3 orang, yaitu Algi
(A), Bianda (B), atau Cahyadi (C).
Jadi, posisi ketua kelas dapat dipilih dengan 3 cara.
b. Untuk Sekretaris (S)
Jika posisi ketua kelas sudah terisi oleh seseorang maka
posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 orang yang
belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 2 cara.
c. Untuk Bendahara (H)
Jika posisi ketua kelas dan sekretaris sudah terisi maka
posisi bendahara hanya ada satu pilihan, yaitu dijabat oleh
orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi bendahara dapat dipilih dengan 1 cara.
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk
memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah
3 × 2 × 1 = 6 cara.
Uraian tersebut akan lebih jelas apabila mengamati skema
berikut.
C A BCA
A B CAB
C
B A CBA
3 × 2 × 1 = 6
C B ACB
A C BAC
K S H Hasil yang Mungkin
B C ABC
A
B
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan aturan
perkalian? Cobalah nyatakan aturan perkalian itu dengan
kata-kata Anda sendiri.
Gambar 2.1
Algi (A) Bianda (B) Cahyadi (C)
Ketua kelas
(K)
Sekretaris
(S)
Bendahara
(H)
44 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Faktorial
Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan
untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat
adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.
Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca
3 faktorial). Jadi,
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Dengan penalaran yang sama
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720
Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.
Aturan Perkalian
Misalkan,
• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;
• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;
• operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.
Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalah
n = n1 × n2 × n3 ... × nk.
Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang
tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas
SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah
pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).
Jawab:
• Untuk posisi tekong.
Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas
yang tersedia.
• Untuk posisi apit kiri.
Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet
lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).
• Untuk posisi apit kanan.
Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13
atlet yang ada ( 2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi
tekong dan apit kiri).
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih
posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730
cara.
Contoh 2.1
Apabila terdapat n buah
tempat yang akan diduduki
oleh n orang, terdapat:
n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1
cara orang menduduki
tempat tersebut.
Ingatlah
Peluang 45
Definisi 2.1
a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli,
untuk n ≥ 2.
b. 1! = 1
c. 0! = 1
1. Hitunglah
a. 7! b. 17
0 6
!
!16!
c. 12
2
!
!8!
d. 8
5
!
!
2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial:
a. 157 × 156 × 155 b. 8!(9 × 10) c. n(n – 1)(n – 2)
3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!
Jawab:
1. a. 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040
b. 17
0 6
17 16
1 16
17
!
!6!
!
!
􀀝
􀂕
􀀝
c. 12
2
12 11 10 9
8
2
12 11 10 9
1 2
5 9
!
!8!
!
!8!
􀀝
􀁲􀁲 􀀝
􀁲􀁲 􀁲
􀀝 40
d.
8
5
8 7
6 5
5
8 7 6 336
!
!
!
!
􀀝
􀁲􀀝 􀁲􀀝
2. a. 157 × 156 × 155 =
157 156 155 1
154 153 1
157
154
􀁲􀁲􀁲 􀁲
􀁲􀁲 􀁲
􀀝
...
...
!
!
b. 8!(9 × 10) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)(9 × 10) = 10!
c. n(n – 1)(n – 2) =
n􀀈n􀀍 􀀉􀀈n 􀀉􀀈n􀀍 􀀉 n
􀀈n 􀀉􀀈n 􀀉
􀀝
􀀈n 􀀉
1
􀀍 1 􀀍
...
...
!
!
3. (n + 3)! = 10(n + 2)! 􀂙 (n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)!
􀂙 n + 3 = 10 0
􀂙 n = 7
Contoh 2.2
3. Permutasi
Dalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih
3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara.
Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan
sebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A,
B, C, dan D. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisi
sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendahara
dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan
untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidat
adalah 4 × 3 × 2 = 24 cara. Uraian tersebut akan lebih jelas
apabila Anda mengamati skema berikut.
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 2.2
Calon pengurus kelas
46 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Gambar 2.3
Diagram pohon untuk pemilihan
3 pengurus kelas dari 5 calon
yang ada.
Urutan ABC berbeda dengan
urutan ACB. Dalam urutan
ABC, sekretaris adalah B.
Dalam urutan ACB, sekretaris
adalah C.
Ingatlah
Ketua Sekretaris Bendahara Hasil yang mungkin
B
A
A
A
C
C
B
B
A
B
C
D
D
D
D
C
C
C
B
B
D
D
D
C
B
A
A
A
D
D
D
C
B
A
A
A
C
C
B
B
ABC
BAC
CAB
DAB
ABD
BAD
CAD
DAC
ACB
BCA
CBA
DBA
ACD
BCD
CBD
DBC
ADB
BDA
CDA
DCA
ADC
BCD
CDB
DCB
Peluang 47
Dari skema tersebut diperoleh 24 susunan 3 unsur,
yaitu
ABC ABD ACB ACD ADB ADC
BAC BAD BCA BCD BDA BCD
CAB CAD CBA CBD CDA CDB
DAB DAC DBA DBC DCA DCB
Tampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikan
urutannya. ABC adalah suatu permutasi, ACB juga suatu
permutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 24 susunan
itu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannya
disebut permutasi. Dari uraian tersebut dapatkah Anda
menduga pengertian permutasi? Cobalah nyatakan pengertian
permutasi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah
Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 2.2
Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang
berbeda tanpa adanya pengulangan.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur
adalah
4 × 3 × 2 = 24.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur
dapat ditulis
P(4 , 3) = 4 × 3 × 2 =
4 3 2 1
2 1
􀁲 4
􀀝
􀀈4 3􀀉
!
!
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat
dipelajari melalui Tabel 2.1.
Tabel 2.1
Tempat ke- 1 2 3 ... r ...
Banyak Cara n n(n – 1) n(n – 1) (n – 2) ... n(n – 1) (n – 2)...(n – (r – 1)) ...
Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yang
diambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalah
P(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))
Untuk r = 1, maka
P(n, 1) = n
Untuk r = 2, maka
P(n, 2) = n (n – 1)
=
n􀀈n􀀍 􀀉􀀈n 􀀉􀀈n􀀍 􀀉 􀀈 􀀉􀀈 􀀉􀀈
􀀉
􀀈n 􀀉 􀀈n 􀀉
􀀍
...
... ...
!
􀀈3􀀉􀀈2􀀉􀀈1􀀉 !
􀀝
􀀈 2􀀉
n
Soal Terbuka
Buatlah sebuah soal
permutasi yang berbeda
dengan soal yang ada di buku
ini. Berikan soal ini ke teman
untuk diselesaikan dan beri
komentar.
Notasi P(n, k) dapat juga
ditulis dengan Pk Pn .
Ingatlah
48 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Untuk r = 3 maka
P(n, 3) = n (n – 1)(n – 2)
= n􀀈n 􀀉 􀀍 􀀈n 􀀉􀀈n􀀍 􀀉􀀈n 􀀉 􀀈 􀀉􀀈
􀀉􀀈 􀀉
􀀈n 􀀉
􀀉􀀈􀀍 ... ...􀀈n􀀍4􀀉 􀀈3􀀉􀀈2􀀉􀀈1􀀉
􀀝
... 􀀈 􀀍3􀀉
!
!
n
Untuk r = k, diperoleh
P(n, k) = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) … (n – (k – 1))
=n􀀈n􀀍 􀀉􀀉􀀈􀀈n 􀀉􀀈n􀀍 􀀉􀀉...􀀈􀀈n 􀀈k􀀍 􀀉􀀉􀀈n k􀀉􀀈n 􀀈k 􀀋 􀀉􀀉...
...
􀀈3􀀉􀀈2􀀉􀀈1􀀉
􀀈 􀀍 􀀉􀀈 􀀍􀀈􀀈 􀀋1􀀉􀀉 􀀈3􀀉􀀈2􀀉􀀈1􀀉
= n!
􀀈n k􀀉!
Untuk r = n, diperoleh
P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n!
Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur
adalah
P =
n 􀀈n, k􀀉
􀀈n - k􀀉
!
!
dengan k ≤ n
1. Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan
jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara
untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga
tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.
Jawab:
P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak
wiraniaga terpilih).
P
n
P
!
!
!
! !
􀀈n, k􀀉􀀝
􀀈n k􀀉
􀂙 􀀈 , 􀀉􀀝
􀀈 􀀉
􀀝
􀁲
􀀝
3
􀀍
3􀁲2 1
6
Jadi, terdapat 6 cara.
Coba Anda tentukan ke-6 susunan yang mungkin tersebut.
2. Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri
atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilanganbilangan
tersebut yang kurang
a. dari 500 b. dari 600
Jawab:
a. Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka
angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu
angka 4. Salah satu susunan yang mungkin dapat Anda
lihat pada Gambar 2.4.
Amati gambar 2.5.
Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8.
Ini berarti Anda harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu
P(4,2) =
4 4
2
12
!
!
!
􀀈4 2􀀉 !
􀀝 􀀝 .
Contoh 2.3
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 2.4
Salah satu susunan yang
mungkin. Dapatkah Anda
menentukan susunan lainnya?
puluhan
satuan
diisi
4
Gambar 2.5
Peluang 49
Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500.
Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.
Sekarang, coba Anda buktikan hal ini dengan menggunakan
kartu angka. Tentukan pula susunan-susunan yang mungkin.
b. Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka
ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5.
4 􀁬 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6,
7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).
5 􀁬 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4, 6,
7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).
Banyak bilangan yang kurang dari 600 adalah
2 × P(4,2) = 2
4
2
4 3 2 1
2 1
􀁲 24
􀀈4 2􀀉
􀀝
􀂕
􀀝
!
.
Jadi, terdapat 24 bilangan yang kurang dari 600.
a. Permutasi Beberapa Unsur yang Sama
Pada kata "BUKU" terdapat dua huruf yang sama, yaitu
U. Permutasi huruf-huruf pada kata "BUKU" dapat Anda
amati pada diagram pohon di samping.
Coba Anda buat diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K,
dan U. Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram
pohon tersebut adalah sebagai berikut.
1. BUKU 6. BUUK 11. UBUK 16. KBUU 21. UUBK
2. BUUK 7. UKBU 12. UBKU 17. KUUB 22. UUKB
3. BKUU 8. UKUB 13. KUBU 18. KUBU 23. UKBU
4. BKUU 9. UUBK 14. KUUB 19. UBUK 24. UKUB
5. BUKU 10. UUKB 15. KBUU 20. UBKU
Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak ada
beberapa susunan huruf yang sama sehingga permutasinya
menjadi:
1. BUKU 4. UKBU 7. UUKB 10. KUBU
2. BUUK 5. UKUB 8. UBUK 11. KUUB
3. BKUU 6. UUBK 9. UBKU 12. KBUU
Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU”
adalah 12 atau 12 = 4 × 3 =
4 3 2 1
2 1
4
2
􀁲
􀀝
!
!
.
Sekarang, selidikilah permutasi untuk kata MAMA dengan
menggunakan diagram pohon. Jika Anda melakukan dengan
benar, terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu MAMA,
MAAM, MMAA, AMMA, AMAM, dan AAMM, karena kata
“MAMA” mempunyai dua pasang huruf yang sama.
Banyak permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasang
unsur sama, yaitu M dan dua unsur lainnya, yaitu A adalah
6 3 3 2 1
4 3 2 1
4
4 3 2 1 4
2 2
􀀝 􀁲 􀀝
􀁲
􀀝
􀁲
􀀈2 1􀀉􀀈2 1􀀉
! 􀀝
!
! !
.
B
K U BUKU
U
U K BUUK
U U BKUU
K
U U BKUU
K U BUKU
U
U K BUUK
50 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l1 unsur
jenis pertama, l2 unsur jenis kedua, l3 unsur jenis ketiga, dan
lk unsur jenis ke-k yang sama adalah
P(n, l1, l 2 ... l k ) =
n
I Ik
!
!I
!... ! 1 2 Tentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari katakata
berikut.
1. JAYAPURA 2. MATEMATIKA
Jawab:
1. Pada kata "JAYAPURA", terdapat 3 buah A yang sama
sehingga permutasinya adalah P(8, 3) =
8
3
!
!
= 6.720.
2. Pada kata "MATEMATIKA" terdapat 2 buah M, 3 buah A,
dan 2 buah T yang sama sehingga permutasinya adalah
P(10, 2, 3, 2)=
10
2 3 2
!
!3! !
=
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
151
􀁲 􀁲 􀁲
􀀈2 1􀀉􀀈3 2􀁲1􀀉􀀈2􀁲1􀀉
􀀝 .200
Contoh 2.4
b. Permutasi Siklis
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara
melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasi
siklis.
Pada Gambar 2.6 posisi 1 dan posisi 2 menunjukkan
permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran
jarum jam. Coba Anda amati Gambar 2.5, apakah susunan
pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2? Apabila
Anda mengamati dengan saksama maka
posisi 1 = posisi 2
Jadi, permutasi siklis dua unsur mempunyai satu cara.
Pada permutasi siklis dua unsur, satu unsur ditetapkan
sebagai titik acuan. Sementara, satu unsur yang lainnya
ditempatkan dalam 1! cara atau (2 – 1)! cara.
Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajari
uraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orang
masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang
tersebut sedang membaca di meja bundar. Banyak cara
keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat
diterangkan sebagai berikut.
Posisi 1
A B
Posisi 2
B A
Gambar 2.6
Peluang 51
Keterangan: huruf yang diwarnai dianggap sebagai titik pangkal.
A
B
C D
A
C
D B
A
D
C B
A
B
D C
A
D
B C
A
C
B D
A
B C
D
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 2.7
Contoh permutasi siklis
Dengan cara yang sama, Anda dapat membuat formasi
lingkaran untuk titik pangkal B, C, dan D. Hasil dari seluruh
formasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.
1. ABCD 7. BACD 13. CABD 19. DABC
2. ABDC 8. BADC 14. CADB 20. DACB
3. ACBD 9. BCAD 15. CBAD 21. DBAC
4. ACDB 10. BCDA 16. CBDA 22. DBCA
5. ADBC 11. BDAC 17. CDAB 23. DCAB
6. ADCB 12. BDCA 18. CDBA 24. DCBA
Amati bahwa ada susunan-susunan yang sama, yaitu
ABCD=BCDA =CDAB =DABC ACDB =BACD =CDBA= DBAC
ABDC=BDCA = CABD =DCAB ADBC= BCAD =CADB =DBCA
ACBD = BDAC = CBDA = DACB ADCB = BADC = CBAD = DCBA
Dengan demikian, dari 24 susunan tersebut terdapat 6
susunan yang berbeda, yaitu ABCD, ABDC, ACBD, ACDB,
ADBC, dan ADCB. Jadi, banyak permutasi siklis dari 4 unsur
ada 6.
Pada permutasi siklis dari 4 unsur, ditetapkan satu unsur
sebagai titik pangkal, kemudian 3 unsur lainnya ditempatkan
dalam 3! cara atau (4 – 1)! cara. Permutasi siklis 4 unsur
adalah (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara.
Susunan manik-manik pada kalung mirip susunan
melingkar, tetapi berbeda dengan permutasi siklis. Pada
permutasi siklis, arah putaran diperhatikan, sedangkan pada
susunan manik-manik dalam kalung arah putaran tidak
diperhatikan. Amati Gambar 2.7.
Dari gambar, susunan manik-manik pada posisi 1 adalah
ABC atau ditulis ACB. Adapun susunan manik-manik pada
posisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC.
B
A C
D
Susunan pada gambar (a) dan
gambar (b) adalah sama karena
unsur A dekat dengan D dan B,
meskipun titik acuan berbeda.
Ingatlah
A
D
B
C
52 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Posisi (2)
Posisi (1)
A
B
C
A
C
B
Gambar 2.8
Susunan manik-manik pada Gambar 2.8 adalah sama.
Oleh karena itu, banyak cara menyusun 3 manik-manik
dalam kalung adalah 1 susunan. Banyaknya cara yang
digunakan untuk menyusun 3 manik-manik dalam kalung
adalah setengah dari banyak permutasi siklis 3 unsur, yaitu
1 susunan atau
2
􀀈3 1􀀉!.
Untuk n unsur, apabila disusun seperti manik-manik
dalam kalung terdapat 􀀈n􀀍 􀀉
2
! susunan yang berbeda.
1. Delapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah meja
bundar untuk membahas sebuah proyek tertentu. Berapa
banyak cara agar para ilmuwan dapat duduk melingkar dengan
urutan yang berbeda?
2. Dua puluh lima mutiara akan dibuat sebuah kalung. Ada
berapa cara mutiara-mutiara itu dapat disusun?
Jawab:
1. Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8–1)! = 7! = 5.040
cara.
2. Banyaknya cara mutiara itu dapat disusun menjadi sebuah
kalung adalah
2
24
2
􀀈25􀀍1􀀉
􀀝
!
cara.
Contoh 2.5
Kombinasi ABC sama dengan
kombinasi CBA atau ACB.
Ingatlah
4. Kombinasi
Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari
5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain
halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk
mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang
tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua,
sekretaris, dan bendahara. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian
berikut.
Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk
mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang
tersebut dapat diterangkan sebagai berikut.
Dari Subbab A.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur
dari 5 unsur, yaitu
ABC ADE BCD CAB CDE DBC EAB ECD
ABD AEB BCE CAD CEA DBE EAC EDA
ABE AEC BDA CAE CEB DCA EAD EDB
ACB AED BDC CBA CED DCB EBA EDC
Peluang 53
ACD BAC BDE CBD DAB DCE EBC
ACE BAD BEA CBE DAC DEA EBD
ADB BAE BEC CDA DAE DEB ECA
ADC BCA BED CDB DBA DEC ECB
Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba
debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan
itu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan
tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD,
BCE, BDE, dan CDE.
Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut
kombinasi.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian
kombinasi? Cobalah nyatakan pengertian kombinasi
dengan kata-kata Anda sendiri.
Konsep pengertian kombinasi yang telah Anda pelajari
tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 2.3
Kombinasi r unsur dari n unsur ialah himpunan bagian r unsur
yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan
penyusunan unsur tidak diperhatikan.
Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur dilambangkan
dengan Cn
r atau
n
r
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 atau C =(n, r).
a. Menentukan Banyak Kombinasi
Telah diketahui bahwa banyaknya kombinasi 5 unsur
berlainan jika disusun sebanyak 3 unsur adalah 5 4
2
= 10
cara .
Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur ditulis
C5
3 5 4
2
5 4 3 2 1
2 3 2 1
5
3
􀀝 􀀝
􀁲 􀁲
􀁲
􀀝
􀀈5 3􀀉
!
!3!
Uraian tersebut memberi gambaran mengenai banyaknya
kombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsur
yang dirumuskan
C =
n
r
=
n!
r! ! 5
3 􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂵 􀂵 􀂶 􀂵􀂵 􀀈 􀀉 n
r
dengan r < n
Soal Terbuka
Jelaskan perbedaan antara
permutasi dan kombinasi. Beri
contoh untuk memperjelas
uraian Anda.
54 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Binomial Newton
Di SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkan
bentuk perpangkatan berikut.
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2+ 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya.
Bagaimana menjabarkan (a+b)15? Untuk menyelesaikannya
Anda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatan
tersebut.
Pembahasan Soal
Suatu pertemuan dihadiri
oleh 15 orang undangan.
Jika mereka saling berjabat
tangan, banyak jabat
tangan yang terjadi dalam
pertemuan itu adalah ....
Jawab:
Banyak jabat tangan = C(15,2)
=
15
2
105
!
!13!
􀀝
Soal Ebtanas 2000
Pembahasan Soal
Banyaknya segitiga yang
dapat dibuat dari 7 titik tanpa
ada tiga titik yang terletak
segaris adalah ....
Jawab:
Membuat segitiga dengan
memilih 3 titik dari 7 titik
yang tersedia adalah masalah
kombinasi C(7, 3). Jadi,
banyaknya segitiga = C(7,3)
=
7
3
7 6 5 4
3 2 1 4
35
!
!4!
!
!
􀀝
􀁲
􀁲
􀀝
Soal UMPTN 2000
Kerjakan soal-soal berikut.
1. Diketahui Cn
2 = 4n, tentukanlah nilai n.
2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas
11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.
Jawab:
1. C n
n
n n
2 4
2
􀀝 􀂙 4
􀀈 􀀉
􀀝
!
!n 2!
􀂙
􀀈
􀀍 􀀉􀀈 􀀉
􀀈 􀀉
􀀝
nn
􀀍
2
4
!
!􀀈􀀈 􀀍 !
􀂙
􀀈
􀀍 􀀉
􀀝
nn
1􀂕 2
4
􀂙 n(n – 1) = 8n
􀂙 n2 – n = 8n
􀂙 n2 – 9n = 0
􀂙 n(n – 9) = 0
Oleh karena n ≥ r maka yang memenuhi adalah n = 9.
2. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi
karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11
orang siswa dari 20 siswa, yaitu C20
11.
C20
11 20
11
20
11 9
20 19 18 17 1
􀀝
􀀈 􀀉
􀀝
􀀝
􀁲􀁲􀁲 􀁲
!
!20􀀍11!
!
!9!
6 15 14 13
12 11
11
􀀈9 8􀁲7 6 5􀁲4 3􀁲2 1􀀉
!
!
= 167.960
Coba Anda tentukan susunannya dengan diagram pohon.
Contoh 2.6
Peluang 55
Amati dengan saksama koefisien-koefisien bentukbentuk
perpangkatan tersebut. Apabila koefisien-koefisien
dari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram,
diperoleh
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
dan seterusnya.
Diagram itu dikenal dengan nama Segitiga Pascal. Amati
pola Segitiga Pascal tersebut.
Baris ke-1:
Baris ke-2:
Baris ke-3:
Baris ke-4:
Baris ke-5:
dan seterusnya.
Karena
0
0
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
1
0
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
1
1
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵=
2
0
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
2
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
3
0
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
3
3
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵= 1,
2
1
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
= 2, dan
3
1
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵=
3
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 = 3 maka pola Segitiga Pascal tersebut
dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasi
berikut.
0
0
1
0
1
1
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
0
2
1
2
2
3
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤􀂤􀂥 􀂥
􀂥 􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴 􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
0
3
1
3
2
􀂤 3
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 3
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
dan seterusnya.
Dari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat dituliskan
sebagai berikut.
(a + b)0 =
0
0
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤 􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
(a + b)1 =
1
0
1
1
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂦􀂦 􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂴􀂵 􀂵 􀂶
􀂵
a􀂵b 􀂥
􀂥
􀂵
􀂵
Tokoh
Matematika
Omar Khayyam
(1049–1123)
Untuk n = 2, Teorema
Binomial telah ditemukan
oleh Euclid pada tahun
300 Sebelum Masehi. Akan
tetapi, untuk yang lebih
umum ditemukan oleh
matematikawan dan ahli
astronomi Irak, yaitu Omar
Khayyam.
Sumber: Precalculus, 1999
1
1 1
1 2 1
1 (1 + 2) (2 + 1) 1
1 (1 + 1 + 2) (1 + 2) + (2 + 1) (2 + 1 + 1) 1
56 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
(a + b)2 =
2
0
2
1
2
2
2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥􀂦
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
a a 􀀋􀂥 􀂥
􀂥 􀂵 b
􀂶􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂶􀂶􀂶 􀂵b2
(a + b)3 =
3
0
3
1
3
2
3 2 􀂤 􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂤􀂤
􀂦􀂦 􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂴􀂴􀂵 􀂵 􀂶
􀂵
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
a a3 􀀋􀂥 􀂥
􀂥 􀂵
􀂵 b
􀂴􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂴􀂴􀂴 􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂤􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂴􀂴 􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
ab2 􀂵b3
􀂤
􀂥
􀂤􀂥 􀂥 􀂴
􀂵
􀂵b
3
3
dan seterusnya.
Secara umum bentuk (a + b)n dapat ditulis menjadi
n
a b
n
r
􀀈a􀀋b􀀉n 􀀝 n
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂵
0
1
􀂵􀂵􀂵􀂵􀂵􀂵
􀂵􀂶􀂶􀂵􀂵􀂵􀂵 􀀋 􀀋
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥 a b 􀀍
n
n
ab
n
n
n r 􀀍 r n 􀀋􀂥 􀂥 􀀋􀂥􀂥 􀂵􀂵􀂵􀂵􀂵 bn
1
1
􀂥􀂥􀂦􀂦􀂦􀂦 􀂥􀂥􀂥 􀂦􀂦􀂦􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵bn
dengan
n
r
C
n
r n
r 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀝 􀀝
􀀈 􀀉
!
!n􀀍r!
Dengan demikian,
C C a b C a b C b n n
n
n
n bn n
0 􀂕 an 􀀋C1 1 􀂕 b1 􀀋 􀀋 1 􀂕 1 􀀋Cn 􀂕 bn 􀀍Cn
(a + b)n = C a b n
i n ibi
i
i n
􀀍
􀀝 􀂣0
Bentuk tersebut dinamakan binomial Newton (ekspansi
binomial).
Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x2 + 2y)5.
Jawab:
(x2 + 2y)5 =
5
0
5
1
􀂤 5 4
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀈 􀀉 2 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥􀂦
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀈 􀀉 2 􀀈 􀀉 2 􀀋􀂥 􀂥
􀂥 1 5 3 2
2
5
3
􀀋
􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂦􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂵 􀂵 􀂵 􀂶
􀂵􀀈 􀀉 2 􀀈2
􀀉 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
2 3 5 1 4
4
5
5 􀀈x2 􀀉 􀀈2 􀀉 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥􀂦
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵􀂵 􀂶􀀈 2 􀀉 􀀈2 􀀉 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀀋􀂥 􀂥
􀂥 􀂵
􀂵 􀂵􀀈
􀂦􀂦􀂦􀂦 􀂥􀂥􀂥 􀂦􀂦􀂦􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀈 􀀉5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Contoh 2.7
Mari, Cari Tahu
Carilah di perpustakaan buku petunjuk penggunaan kalkulator, cara
menghitung faktorial, permutasi, dan kombinasi dengan kalkulator
scientific. Anda juga dapat menanyakan hal tersebut ke kakak kelas.
Demonstrasikan dan laporkan hasilnya di depan kelas termasuk
jenis kalkulator yang digunakan.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Dalam sebuah perkumpulan panjat tebing
ada 5 calon untuk ketua, 4 calon untuk wakil
ketua, 3 calon untuk sekretaris, dan 4 calon
untuk bendahara. Apakah masalah ini adalah
kombinasi atau permutasi? Ada berapa cara
keempat posisi tersebut dapat diisi?
Peluang 57
2. Dengan menggunakan 5 huruf pertama
dalam abjad, dibuat kata yang terdiri atas
3 huruf. Berapa banyak kata yang dapat
dibuat jika:
a. tidak ada huruf boleh diulang,
b. huruf-huruf boleh diulang, dan
c. hanya huruf-huruf pertama tidak
boleh diulang.
3. Ketua dan wakil OSIS harus dipilih di
antara 8 orang laki-laki dan 4 orang perempuan.
Dalam berapa cara hal itu dapat
dilakukan jika
a. ketua harus laki-laki, sedangkan wakilnya
boleh laki-laki atau perempuan;
b. ketua harus perempuan, sedangkan
wakilnya boleh laki-laki atau
perempuan;
c. wakilnya harus laki-laki;
d. wakilnya harus perempuan.
4. Empat orang siswa masuk ruang rapat.
Tempat yang masih kososng ada 5 kursi,
berapa cara mereka dapat mengambil
tempat duduk?
5. Hitung nilai n dari persamaan berikut.
a. (n + 4)! = 9(n + 3)!
b. (n + 3)! = 20(n + 1)!
6. Bilangan yang terdiri atas tiga angka
berbeda, disusun dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7,
dan 8. Tentukan banyak bilangan dengan
angka-angka yang berlainan dan lebih
kecil dari 500.
7. Tentukan berapa cara yang berbeda dapat
dituliskan dari hasil kali x4 y3 z2 tanpa
menggunakan eksponen.
8. Tentukan suku keempat dari penjabaran
dan penyederhanaan bentuk (3x2 – 4y3)7.
9. Dalam pertemuan untuk menentukan
tanggal kelulusan siswa, 20 orang guru
diundang, setelah memutuskan tanggal
kelulusan, mereka saling berjabat tangan.
Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
10. Jika 5P(n, 3) = 24 C(n, 4), berapa nilai n?
Untuk soal nomor 11–16, tentukan banyak
cara yang dapat dilakukan.
11. Mengatur susunan tempat duduk dalam
suatu rapat yang disusun melingkar dan
dihadiri oleh 8 orang serta ada 2 orang yang
selalu berdampingan.
12. Memilih 5 orang dari 15 orang siswa untuk
menjadi pelaksana upacara bendera Senin
pagi.
13. Menentukan tiga orang pemenang juara 1,
2, dan 3 dari 15 orang finalis.
14. Menentukan lima orang pemain cadangan
dari 16 orang anggota kesebelasan
sepakbola.
15. Menyusun lima buku Matematika yang
sama, tiga buku Fisika yang sama, tiga
buku Kimia yang sama, dan dua buku
Biologi yang sama dalam rak buku.
(Petunjuk: buku-buku yang berjudul sama
harus berdampingan)
B. Peluang
Sebuah uang logam yang bentuknya simetris ditos
(dilempar ke atas sambil diputar) dan dibiarkan jatuh ke
lantai. Oleh karena uang itu bentuknya simetris maka tidak
beralasan munculnya gambar lebih sering atau kurang
daripada munculnya angka. Secara matematika, nilai peluang
munculnya gambar adalah salah satu dari dua atau 1
2
, dan
dengan sendirinya nilai peluang munculnya angka adalah
1
2
juga.
58 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. Peluang Suatu Kejadian
a. Kejadian Sederhana
Dalam seperangkat kartu remi terdapat 13 kartu merah
bergambar hati, 13 kartu merah bergambar diamond, 13 kartu
hitam bergambar wajik, dan 13 kartu hitam bergambar kriting.
Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu
tersebut.
Misalkan, kartu yang terambil bergambar hati. Kejadian
muncul kartu bergambar hati pada pengambilan tersebut dinamakan
kejadian sederhana karena muncul kartu bergambar
hati pasti berwarna merah. Lain halnya jika kartu yang
terambil berwarna merah. Kejadian muncul kartu berwarna
merah dinamakan kejadian bukan sederhana karena muncul
kartu berwarna merah belum tentu bergambar hati, tetapi
mungkin bergambar diamond.
b. Ruang Sampel
Jika sekeping uang logam ditos, akan muncul muka
angka (A) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A
dan G dinamakan titik sampel, sedangkan {A, G} dinamakan
ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah
mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya
adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan
pengertian ruang sampel? Cobalah nyatakan pengertian ruang
sampel dengan kata-kata Anda sendiri.
Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
definisi berikut.
Definisi 2.4
Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan
semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel
dinotasikan dengan S.
Gambar 2.9
Seperangkat kartu remi.
(a) Kartu hati yang berwarna
merah.
(b) Kartu wajik yang berwarna
hitam.
(c) Kartu diamond yang berwarna
merah.
(d) Kartu kriting yang berwarna
hitam.
Tentukan ruang sampel percobaan berikut.
a. Tiga keping uang logam ditos bersamaan.
b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan.
Contoh 2.8
(d)
(c)
(b)
(a)
Peluang 59
Mari, Cari Tahu
Bersama dengan teman sebangku, cari di internet atau di buku
terbitan luar negeri artikel yang ber hubung an dengan materi
peluang. Kemudian, kumpulkan hasilnya pada guru Anda.
c. Peluang
Misalkan, sekeping uang logam yang bentuknya simetris
ditos sebanyak 50 kali, kejadian munculnya muka gambar
sebanyak 23 kali sehingga
23
50
􀀝 0, 46 dinamakan frekuensi
relatif muncul muka gambar. Jika pengetosan uang logam
tersebut dilakukan berulang-ulang dalam frekuensi yang
besar, frekuensi relatif kejadian muncul muka gambar akan
mendekati suatu bilangan tertentu, yaitu 1
2
. Bilangan tersebut
dinamakan peluang dari kejadian muncul angka.
Pada pengetosan sekeping uang logam yang bentuknya
simetris, kemungkinan yang muncul hanya dua, yaitu
permukaan gambar dan permukaan angka. Peluang muncul
permukaan gambar atau permukaan angka sama. Secara
matematika, peluang munculnya permukaan gambar adalah
satu dari dua kemungkinan atau 1
2
sehingga peluang
munculnya permukaan angka juga 1
2
.
1. Tiga keping uang logam
dilemparkan secara
bersamaan. Tentukan
a. ruang sampel,
b. kejadian muncul dua
angka.
2. Sebuah tas berisi
5 kelereng merah,
5 kelereng putih, dan
9 kelereng hijau. Apabila
diambil 3 kelereng
sekaligus secara acak,
tentukan peluang yang
terambil:
a. semua hijau;
b. semua putih;
c. 2 merah dan 1 hijau.
Tantangan
untuk Anda
Gambar 2.11
Hasil yang mungkin dari
pelemparan sebuah uang logam
Rp500,00.
Gambar 2.10
Diagram pohon pelemparan 3
keping uang logam.
A AAA
A
G AAG
A AGA
G
G AGG
A
A GAA
A
G GAG
A GGA
G
G GGG
G
Jawab:
a. Perhatikan diagram pohon pada Gambar 2.10 di samping
dengan saksama. Dari diagram ter sebut, jika tiga keping uang
logam ditos bersamaan, ruang sampelnya adalah {AAA, AAG,
AGA, AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.
b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos, ruang sampelnya
(amati Tabel 2.3) adalah { AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6,
AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2, GA3, GA4,
GA5, GA6, GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6}.
Tabel 2.3
AA
AG
GA
G G
1 Dadu
2 Uang Logam
1 2 3 4 5 6
AA1 AA2 AA3 AA4 AA5 AA6
AG 1 AG2 AG3 AG4 AG5 AG6
GA1 GA2 GA3 GA4 GA5 GA6
GG1 GG2 GG3 GG4 GG5 GG6
60 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
d. Kisaran Nilai Peluang
Di Kelas IX Anda telah mengetahui bahwa nilai peluang
suatu percobaan adalah antara 0 dan 1 atau 0 ≤ P(x) ≤ 1 dengan
x adalah kejadian pada percobaan tersebut.
Dalam pengetosan sebuah dadu yang seimbang, tentukan
a. peluang muncul angka prima;
b. peluang muncul kelipatan 2;
Jawab:
Pada pengetosan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 􀁬 n (S) = 6.
a. Peluang muncul angka prima.
Ruang sampel mata dadu angka prima adalah P = {2, 3, 5}
maka n (P) = 3, Dengan demikian, peluang muncul angka
prima adalah
P(prima) = n
N
􀀈P􀀉
􀀈S􀀉
􀀝 􀀝
3
6
1
2
.
b. Peluang muncul kelipatan 2.
Ruang sampel mata dadu angka kelipatan 2 adalah
K = {2, 4, 6} maka n (K) = 3. Dengan demikian, peluang
muncul kelipatan 2 adalah
P(K) = n
N
􀀈K􀀉
􀀈S􀀉
􀀝 􀀝
3
6
1
2
.
Contoh 2.9
Pada 2000 tahun Sebelum
Masehi, orang kaya dan
penyihir menggunakan dadu
sebagai permainan. Dadu
yang digunakan berbentuk
bangun bersisi empat. Bentuk
dadu sekarang dikenal
beberapa waktu kemudian.
Dadu yang kali pertama
digunakan dalam permainan
tersebut terbuat dari tulang
rusa, sapi, atau kerbau.
At least as far back as 2000 BC, the
rich and the mystical have had dice
to play with. Very early dice were
often in the shape of a tetrahedron.
The modern cube shape came later.
The first dice like objects to be used
for games were made from the
astralagus of deer, cow or oxen.
Sumber: www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Informations
for You
Mata uang yang bentuknya
simetris artinya tidak lebih
berat ke arah gambar atau ke
arah angka.
Ingatlah Misalkan, sebuah kotak berisi 8 bola, yaitu 3 bola merah,
1 bola putih, dan 4 bola hijau. Dari kotak tersebut, akan
diambil sebuah bola. Peluang terambil 1 bola dari kotak yang
berisi 8 bola tersebut adalah
1
8
. Peluang terambilnya 1 bola
merah adalah
3
8
. Adapun peluang terambilnya 1 bola putih
adalah
1
8
, dan peluang terambil 1 bola hijau adalah
4
8
.
Diketahui, N adalah banyak titik sampel pada ruang
sampel S dari sebuah percobaan. Kejadian A adalah salah
satu kejadian pada percobaan tersebut sehingga peluang A
adalah P(A) =
1
N
.
Apabila banyak kejadian A yang terjadi dari percobaan
tersebut adalah n, peluang terjadinya kejadian A adalah P(A)
=
n
N
.
Peluang 61
Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.
1. Ikan dapat hidup di darat.
2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah.
3. Lumut tumbuh di daerah gurun.
4. Muncul kartu as pada pengambilan seperangkat kartu remi.
Jawab:
1. Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga
peluangnya sama dengan 0.
2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan
suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.
3. Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan
sehingga peluangnya sama dengan 0.
4. Muncul kartu as pada kartu remi bukan merupakan suatu
kemustahilan dan bukan pula suatu kepastian sehingga
peluangnya di antara 0 dan 1, yaitu
1
13
.
Contoh 2.10
Tokoh
Matematika
Pierre de Fermat
(1601–1665)
Pierre de Fermat adalah
seorang hakim. Kemahiran
matematikanya luar biasa
memungkinkannya memberi
sumbangan besar pada
matematika tingkat tinggi,
antara lain teori bilangan dan
kalkulus diferensial. Ketika ia
mengklaim bahwa ia telah
membuktikan beberapa
teorema matematika, ia selalu
berkata benar. "Teorema Akhir
Fermat" yang menyebabkan
ia terkenal, akhirnya terbukti
300 tahun kemudian, yaitu
pada tahun 1994 oleh Andrew
Willes.
Sumber: Finite Mathematics and its
Application, 1994
• Apabila P(x) = 0, kejadian x mustahil terjadi.
• Apabila P(x) = 1, kejadian x pasti terjadi.
Jadi, jika Anda mengetahui bahwa suatu kejadian
kemungkinan kecil terjadi maka peluangnya mendekati
nilai nol. Sebaliknya, jika peluang suatu kejadian yang
kemungkinan besar dapat terjadi, peluangnya mendekati
nilai 1.
2. Frekuensi Harapan
Anda telah mempelajari bahwa peluang muncul
permukaan gambar pada pengetosan uang logam adalah
1
2
. Apabila pengetosan dilakukan 100 kali, harapan akan
muncul permukaan angka adalah 50 kali atau setengah dari
100. Banyak muncul permukaan angka sebanyak 50 kali dari
100 kali pengetosan dinamakan frekuensi harapan.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian
frekuensi harapan suatu kejadian? Cobalah nyata kan
pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dengan katakata
Anda sendiri.
Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
definisi berikut.
62 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. Peluang seorang anak
terjangkit penyakit
demam berdarah adalah
0,087. Tentukan peluang
seorang anak tidak
terkena demam berdarah.
2. Dalam suatu percobaan
diambil sebuah kartu
secara acak dari satu set
kartu remi, kemudian
mengembalikannya (satu
set kartu remi terdiri atas
52 kartu). Tentukanlah
frekuensi harapan yang
terambil adalah kartu jack
jika percobaan dilakukan
117 kali.
3. Dalam percobaan
melempar dua keping
logam secara bersamaan,
tentukan frekuensi
harapan muncul
sedikitnya satu muka jika
percobaan dilakukan 200
kali.
Tantangan
untuk Anda
1. Sebuah dadu ditos sebanyak 100 kali, tentukan
a. harapan muncul mata dadu 5,
b. harapan muncul mata dadu yang habis dibagi 3,
c. harapan muncul mata dadu prima ganjil,
d. harapan muncul mata dadu prima genap, dan
e. harapan muncul mata dadu ganjil.
2. Di sebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang
terkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkena
penyakit liver adalah 0,17. Jika sebanyak 25.000 orang dewasa
di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena
penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena
penyakit liver?
3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil
penyilangan diperoleh hasil 1.000 bunga dengan warna yang
berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3 merah muda : 1
merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan
putih yang dihasilkan?
Jawab:
1. a. f H (mata dadu 5) = 100
1
6
100
6
50
3
􀁲 􀀝 􀀝
b. f H (habis dibagi 3) = 100
2
6
100
3
􀁲 􀀝
c. f H ( prima ganjil) = 100
2
6
100
3
􀁲 􀀝
d. f H ( prima genap) = 100
1
6
100
6
50
3
􀁲 􀀝 􀀝
e. f H (ganjil) = 100
3
6
􀁲 􀀝 50
2. f H (orang terkena serangan jantung) = 25.000 × 0,07 = 1.750
f H (orang terkena penyakit liver) = 25.000 × 0,17 = 4.250
3. Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1, maka banyaknya bunga yang
diperoleh adalah
Contoh 2.11
Frekuensi harapan suatu kejadian ialah frekuensi yang diharapkan
terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan tersebut. Frekuensi
harapan dirumuskan sebagai berikut.
fH = n × P(A)
Dalam hal ini, n : banyak percobaan
P(A) : peluang terjadinya kejadian A
Definisi 2.11
Peluang 63
Sediakan sebuah dadu. Kemudian, bersama kelompok belajar Anda
lemparkanlah ke atas (sambil diputar) dadu itu sebanyak 100 kali.
Catatlah berapa kali muncul
a. mata dadu bilangan 5,
b. mata dadu bilangan yang habis dibagi 3,
c. mata dadu bilangan prima ganjil,
d. mata dadu bilangan prima genap, dan
e. mata dadu bilangan ganjil.
Coba Anda bandingkan dengan penyelesaian Contoh 2.11(1). Apa
yang dapat Anda simpulkan? Presentasikan kesimpulan Anda di
depan kelas.
Aktivitas Matematika
• bunga putih =
1
5
􀁲1.000 􀀝 200 bunga
• bunga merah muda =
3
5
􀁲1.000 􀀝 600 bunga
• bunga merah =
1
5
􀁲1.000 􀀝 200 bunga
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan ruang sampel percobaan berikut.
a. Pengetosan 3 keping uang logam
sekaligus.
b. Pengetosan dua keping uang logam
dan sebuah dadu.
c. Penelitian jenis kelamin tiga bayi.
d. Penelitian warna kulit (putih, sawo
matang, dan hitam) dari tiga orang.
e. Penelitian golongan darah dari empat
orang pasien (untuk memudahkan,
golongan darah AB ditulis A2).
2. Lima puluh dua kartu diberi angka 1, 2,
,3, 4, 5, ..., 52. Kemudian, diambil sebuah
kartu secara acak. Tentukan peluang:
a. terambil kartu berangka ganjil;
b. terambil kartu berangka prima;
c. terambil kartu berangka habis dibagi
tiga;
d. terambil kartu berangka kelipatan
lima;
e. terambil kartu berangka kelipatan dua
dan tiga;
f. terambil kartu berangka memiliki 4
faktor.
3. Di suatu daerah, peluang bayi terkena polio
adalah 0,03 dan peluang terkena campak
adalah 0,05. Jika 1.500 bayi di daerah itu
diperiksa, be rapakah:
a. bayi yang terkena polio;
b. bayi yang tidak terkena polio;
c. bayi yang terkena campak;
d. bayi yang tidak terkena campak?
64 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
C. Kejadian Majemuk
Misalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3
bola hijau. Dari kotak tersebut, Anda akan mengambil 1 buah
bola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1
buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadian
majemuk.
1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Diketahui, A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel,
sedangkan A’ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat
pada ruang sampel tersebut.
Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga komplemen
kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A),
dan peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkan
dengan P(bukan A) atau P(A’).
Amati diagram Venn pada Gambar 2.11. Gambar 2.11
menunjukkan ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan
kejadian bukan A. Peluang ruang sampel sama dengan 1
sehingga
P(A) + P(bukan A) = 1
atau
P(bukan A) = 1 – P(A)
A
bukan A
Gambar 2.11
SitusMatematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang
Peluang melalui internet
dengan mengunjungi situs
berikut.
http://mathword.wolfram.com
2. Peluang Gabungan Dua Kejadian
yang Saling Lepas
Sebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, A
adalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan
B adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A dan
B merupakan kejadian saling lepas sebab irisan dari dua
kejadian tersebut adalah himpunan kosong.
Tentukan peluang komplemen dari peluang berikut.
a. Peluang kereta datang terlambat adalah 0,03.
b. Peluang Indra meraih juara kelas adalah 0,25.
Jawab:
a. Komplemen kejadian kereta api datang terlambat adalah
kejadian kereta api datang tepat waktu. Peluang kereta api
datang tepat waktu adalah (1 – 0,03) = 0,97.
b. Peluang gagal menjadi juara kelas adalah (1 – 0,25) = 0,75.
Contoh 2.12
Peluang 65
A dan B saling lepas
P(A􀂆 B) = P(A) + P(B)
A dan B tidak saling lepas
P(A􀂆 B) = P(A) + P(B) – P(A􀂅 B)
1. Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan Ingatlah
kejadian A adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadian
B adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah
kejadian A dan B saling lepas?
2. Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uang
logam, tentukan peluang munculnya:
a. mata dadu < 3 atau angka;
b. mata dadu prima genap atau gambar;
Jawab:
1. Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan
hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas
dari muncul kartu hitam. Jadi, kejadian A dan B saling
lepas.
2. a. Ruang sampel pelemparan dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Misalkan, A = kejadian muncul dadu < 3 sehingga P(A) =
2
6
1
3
􀀝 .
Ruang sampel pelemparan satu keping uang logam =
{A, G}.
Misalkan, B = kejadian muncul angka sehingga
P(B) =
1
2
P􀀈A􀂆 B􀀉 P􀀈A􀀉􀀋 P􀀈B􀀉􀀍 􀀋 􀀍 􀀋 􀀍
1
3
1
2
2
6
3
6
5
6
.
b. A = kejadian muncul mata dadu prima genap sehingga
P(A) =
1
6
.
B = kejadian muncul gambar sehingga P(B) =
1
2
.
P􀀈A􀂆 B􀀉 P􀀈A􀀉􀀋 P􀀈B􀀉􀀝 􀀋􀀋 􀀝 􀀝
1
6
1
2
4
6
2
3
.
Contoh 2.13
Tugas
Bersama kelompok belajar
Anda, buatlah tiga contoh dua
kejadian yang saling lepas
dalam kehidupan seharihari.
Kemudian, jelaskan
(presentasikan) di depan kelas
mengapa contoh yang Anda
buat merupakan dua kejadian
yang saling lepas.
Diketahui, himpunan A melambangkan kejadian A dan
himpunan B melambangkan kejadian B. Apabila P(A) dan
P(B) setiap peluang kejadian A dan kejadian B yang saling
lepas, peluang gabungan 2 kejadian tersebut yang dinyatakan
oleh P(A􀂆B) adalah P(A) + P(B) – P(A􀂅B). Oleh karena A􀂅
B = Ø maka tentunya P(A􀂅B) = 0 sehingga
P(A􀂆B) = P(A) + P(B)
Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang saling
lepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah
penjumlahan peluang dua kejadian tersebut.
Tiga puluh kartu diberi nomor
1, 2, 3, ..., 30. Kartu dikocok,
kemudian diambil secara
acak. Tentukan:
a. peluang kartu yang
terambil adalah kartu
yang bernomor bukan
kelipatan 3,
b. peluang kartu yang
terambil adalah kartu
yang bernomor bukan
kelipatan 3 dan 5, dan
c. peluang kartu yang
terambil adalah kartu
yang bernomor bukan
kelipatan 6.
Tantangan
untuk Anda
66 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Pembahasan Soal
Suatu kelas terdiri atas
40 siswa, 25 siswa gemar
matematika, 21 siswa gemar
IPA, dan 9 siswa gemar
matematika dan IPA. Peluang
seorang tidak gemar matematika
maupun IPA adalah ....
Jawab:
n(S) = 40; n(M) = 25; n(I) = 21;
n(M􀂅 I) = 9
n(M􀂆 I) = n(M) + n(I) – n(M􀂅 I)
= 25 + 21 – 9 = 37
P(M􀂆 I)’ = 1– P(M􀂆 I)
= 1􀀍
􀀈
􀂆 􀀉
􀀈
􀀉
nn= 1
37
40
3
40
􀀍 􀀝
Soal Ebtanas 2000
Dua puluh buah kartu diberi nomor 1 sampai 20. Kemudian,
dikocok dan diambil secara acak. Tentukanlah peluang dari:
a. kartu yang terambil nomor bilangan genap atau nomor 6;
b. kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau nomor 15;
Jawab:
a. • Peluang terambil kartu nomor bilangan genap adalah
P(genap) =
10
20
.
• Peluang terambil kartu nomor bilangan kelipatan 6 adalah
P(kelipatan 6) =
3
20
.
Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan genap atau nomor
bilangan kelipatan 6 adalah
P(genap atau kelipatan 6) = P(genap) + P(kelipatan 6)
=
10
20
3
20
13
20
􀀋 􀀝
b. • Peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil adalah
P(ganjil) =
10
20
.
• Peluang terambil kartu nomor 15 adalah P(15) =
1
20
.
Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil atau
nomor 15 adalah P(ganjil atau 15) = P(ganjil) + P(15)
= 10
20
3
20
13
20
􀀋 􀀝 .
Contoh 2.14
3. Peluang Dua Kejadian yang Saling
Bebas
a. Kejadian Melempar Dua Mata Uang secara
Bersamaan
Dalam pelemparan dua keping uang logam secara
serempak, apabila G1 adalah kejadian muncul permukaan
gambar pada pengetosan mata uang pertama maka kejadian
muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada
mata uang kedua tidak dipengaruhi oleh G1. Begitu pula
apabila A1 menyatakan kejadian muncul permukaan angka
pada mata uang pertama maka muncul permukaan gambar
ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akan
dipengaruhi oleh A1.
Kejadian pelemparan dua mata uang secara bersamaan
dinamakan dua kejadian yang saling bebas.
1. Sebuah kartu diambil
secara acak dari satu set
kartu remi. Tentukan
peluang yang terambil,
kartu hitam atau king.
2. Sebuah dadu merah dan
dadu putih dilemparkan
bersamaan. Tentukan
peluang muncul mata
dadu berjumlah 6 atau
berjumlah kelipatan 5.
Tantangan
untuk Anda
Peluang 67
Misalkan, G2 adalah kejadian muncul permukaan
gambar pada mata uang kedua dan A2 adalah kejadian muncul
permukaan angka pada mata uang kedua sehingga ruang
sampel untuk pelemparan dua buah mata uang logam adalah
{(A1, A2), (A1, G2), (G1, A2), (G1, G2)}.
Peluang muncul permukaan gambar pada mata uang
pertama sama dengan peluang muncul permukaan gambar
pada mata uang kedua sehingga P P
1
2
􀀈G 􀀉 1 􀀝 􀀈G 􀀉 2 􀀝 .
Peluang munculnya permukaan angka pada mata uang
pertama sama dengan peluang munculnya permukaan angka
pada mata uang kedua sehingga P P
1
2
􀀈A 􀀉 1 􀀝 􀀈A 􀀉 2 􀀝 .
Peluang munculnya A1 dan munculnya A2
= P(A1 dan A2) = 􀀈A A
􀀉 1 2 􀂅 = P(A1) × P(A2)
= 1
2
1
2
1
4
􀁲 􀀝
Jadi, P P P
1
4
􀀈A A 􀀉 1 2 dan 􀀈A 􀀉 1 􀀈A 􀀉 2 􀀝 .
Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan:
P(A1 dan G2) = P(A1) × P(G2) =
1
4
P(G1 dan A2) = P(G1) × P(A2) =
1
4
P(G1 dan G2) = P(G1) × P(G2) =
1
4
b. Kejadian Mengambil Bola dari Dalam
Sebuah Tas
Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. Anda ingin
mengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian.
Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau,
kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Pada
pengambilan kedua diperoleh bola biru. Kedua kejadian
pengambilan bola tersebut dinamakan dua kejadian yang
saling bebas stokastik karena pengambilan bola pertama
tidak mem pengaruhi pengambilan bola kedua. Ruang sampel
kejadian pengambilan bola tersebut adalah sebagai berikut.
• Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau,
biru} P(hijau) = 5
12
dan P(biru) = 7
12
.
• Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruang
sampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (biru
dan hijau), (biru dan biru)}.
68 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
P(hijau dan hijau) = P(hijau) × P(hijau) = 5
12
5
12
25
144
􀁲 􀀝
P(hijau dan biru) = P(hijau) × P(biru) = 5
12
7
12
35
144
􀁲 􀀝
P(biru dan hijau) = P(biru) × P(hijau) = 7
12
5
12
35
144
􀁲 􀀝
P(biru dan biru) = P(biru) × P(biru) = 7
12
7
12
49
144
􀁲 􀀝
Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumus
berikut
Jika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik maka
peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara bersamaan,
yang dinyatakan oleh P (A 􀂅 B) adalah
P􀀈A􀂅 B􀀉 = P􀀈A􀀉􀁲P􀀈B􀀉
Dua kejadian yang saling
bergantung dinamakan juga
dengan kejadian bersyarat.
Ingatlah
1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga
11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan
pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bola
tersebut bernomor bilangan
a. kelipatan 4 dan nomor 9;
b. ganjil dan genap.
2. Sebuah kotak berisi 11 bola yang bernomor 1 sampai dengan
11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian tanpa
pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bola
tersebut bernomor bilangan berikut ini.
a. Genap, kemudian ganjil.
b. Ganjil, kemudian genap.
c. Kelipatan 3, kemudian nomor 8.
Jawab:
1. a. Peluang terambil bola bernomor kelipatan 4 adalah
P (kelipatan 4) =
2
11
, peluang bola bernomor 9 adalah
P(9) =
1
11
.
Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 9)
= P (kelipatan 4) × P(9) =
2
11
1
11
2
121
􀁲 􀀝 .
b. Peluang bola bernomor bilangan ganjil adalah
P (ganjil) =
6
11
, peluang bola bernomor bilangan genap
adalah P(genap) =
5
11
.
Contoh 2.15
Penerbangan dari bandara
Soekarno-Hatta telah
terjadwal teratur. Peluang
berangkat tepat waktu adalah
0,80. Peluang sampai tepat
waktu adalah 0,75. Adapun
peluang berangkat dan
sampai tepat waktu adalah
0,70. Tentukan:
a. peluang pesawat sampai
tepat waktu jika diketahui
berangkat tepat waktu;
b. peluang berangkat tepat
waktu jika diketahui
sampai tepat waktu.
Tantangan
untuk Anda
Peluang 69
Jadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap adalah
P(ganjil dan genap) = P(ganjil) × P(genap)
=
6
11
5
11
30
121
􀁲 􀀝 .
2. a. Peluang bola bernomor bilangan genap adalah
P(genap) =
5
11
.
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,
jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang
terambil bola bernomor bilangan ganjil adalah P(ganjil
| genap) =
6
10
. Jadi, P(bola bernomor bilangan genap
kemudian ganjil) adalah
P(genap) × P(ganjil | genap) =
5
11
6
10
􀁲
=
30
110
6
22
􀀝 .
b. Peluang bola bernomor kelipatan 3 adalah
P(kelipatan 3) =
3
11
.
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,
jumlah bola yang tersedia di dalam kotak tinggal 10 buah.
Peluang terambil bola bernomor 8 adalah
P(8 | kelipatan 3) =
1
10
.
Jadi, P (kelipatan 3 kemudian nomor 8) adalah
P (kelipatan 3) × P (8 | kelipatan 3) =
3
11
1
10
3
110
􀁲 􀀝 .
c. Peluang bola bernomor kelipatan 4 adalah P(kelipatan 4) =
2
11
. Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,
jumlah bola yang tersedia dalam kotak tinggal
10 buah.
Peluang terambil bola bernomor 11 adalah P(11 | kelipatan 4) =
1
10
. Jadi, P(kelipatan 4 kemudian 11) adalah
P( kelipatan 4) × P(11 | kelipatan4) =
2
11
1
10
􀁲
=
2
110
1
55
􀀝 .
Hal Penting
􀁴􀀁 faktorial
􀁴􀀁 􀁑􀁆􀁓􀁎􀁖􀁕􀁂􀁔􀁊
􀁴􀀁 kombinasi
􀁴􀀁 􀁑􀁆􀁍􀁖􀁂􀁏􀁈
􀁴􀀁 􀁓􀁖􀁂􀁏􀁈 􀁔􀁂􀁎􀁑􀁆􀁍
􀁴􀀁 kejadian majemuk
Mari, Cari Tahu
Bersama tujuh orang teman, buatlah poster ilmuwan yang berjasa
dalam mengembangkan materi peluang, seperti Pierre de Fermat
dan Blaise Pascal. Carilah ilmuwan lainnya. Tempelkan hasilnya
di ruangan kelas Anda.
70 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan peluang komplemen dari kejadian
berikut.
a. Peluang hari ini hujan
2
5
.
b. Peluang pengguna narkotika terinfeksi
HIV 0,98.
c. Peluang muncul mata dadu angka
kurang dari 5 dari pengetosan sebuah
dadu adalah
2
3
.
d. Peluang bayi yang baru lahir hidup
adalah 75%.
e. Peluang kesebelasan A memenangkan
pertandingan adalah 63%.
f. Peluang bukan perokok terkena
penyakit jantung adalah 0,025.
2. Pada pengetosan dua buah dadu berwarna
merah dan putih, tentukanlah peluang
muncul jumlah mata dadu sama dengan
a. 3 atau 5, d. 4 atau 10,
b. 3 atau 6, e. 5 atau 6,
c. 4 atau 7, f. 6 atau 8.
3. Dari seperangkat kartu remi diambil
sebuah kartu secara acak. Tentukan
peluang dari kartu yang terambil kartu
a. as atau king,
b. as hati atau queen merah,
c. kartu bernomor 10 atau jantung,
d. kartu bernomor kelipatan 5 atau
bernomor 9,
e. kartu bernomor kelipatan 2 atau kartu
sekop,
f. kartu jantung atau kartu bergambar.
4. Pada pengetosan dua buah dadu, tentukan
peluang untuk memperoleh
a. angka ganjil pada dadu pertama dan
angka genap pada dadu kedua,
b. angka kurang dari 4 pada dadu
pertama dan angka lebih dari 4 pada
dadu ke dua,
c. angka kelipatan dua pada dadu
pertama dan angka prima ganjil pada
dadu kedua, dan
d. angka prima genap pada dadu pertama
dan angka kelipatan 3 pada dadu kedua.
5. Tiga orang pasien penyakit tumor, usus
buntu, dan hernia akan dioperasi. Peluang
ketiga pasien itu tertolong adalah sebagai
berikut.
Peluang pasien tumor tertolong adalah
P(T) =
2
17
.
Peluang pasien usus buntu tertolong adalah
P(B) =
10
17
.
Peluang pasien hernia tertolong adalah
P(H) =
14
17
. Tentukan peluang dari:
a. ketiga pasien akan tertolong;
b. ketiga pasien tidak akan tertolong;
c. pasien hernia tertolong, tetapi pasien
tumor dan usus buntu tidak tertolong;
d. pasien usus buntu dan hernia tertolong,
tetapi pasien tumor tidak tertolong;
e. pasien tumor tertolong, tetapi pasien
usus buntu dan hernia tidak tertolong;
f. pasien tumor dan usus buntu tertolong,
tetapi pasien hernia tidak tertolong.
6. Sebuah kotak berisi lima belas kartu
bernomor 1 sampai dengan 15. Tiga lembar
kartu diambil acak secara bergantian
tanpa pengembalian. Tentukan peluang
kartu-kartu tersebut bernomor bilangan
berikut.
a. Kelipatan 4, kelipatan 5, kemudian
kelipatan 7.
b. Nomor ganjil, genap kurang dari 5,
kemudian kelipatan 6.
c. Nomor genap, prima ganjil kemudian
kelipatan 9.
7. Misalkan, peluang seorang laki-laki dapat
hidup sampai 60 tahun adalah 0,75 dan
perempuan dapat hidup sampai 60 tahun
peluangnya 0,70. Berapa peluang kedua
orang itu dapat hidup sampai 60 tahun?
Peluang 71
8. Dalam sebuah kotak terdapat 7 kelereng
merah, 4 kelereng biru, dan 5 kelereng
kuning. Kelereng tersebut diambil secara
acak.
a. Tentukan peluang terambilnya
kelereng merah atau bukan biru.
b. Jika dilakukan tiga kali pengambilan
secara berurutan tanpa pengembalian,
tentukan peluang terambilnya
berturut-turut kelereng merah, biru,
kemudian kuning.
9. Sebuah kantong berisi 18 kelereng merah, 12
kelereng kuning, dan 8 kelereng biru. Sebuah
kelereng diambil secara acak dari kantong.
Tentukan peluang terambil kelereng merah
atau kuning.
• Permutasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen
suatu himpunan yang mementingkan urutannya.
• Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen
suatu himpunan tidak mementingkan urutannya.
• Frekuensi harapan suatu kejadian ialah harapan banyaknya
kejadian yang dapat terjadi dari banyak percobaan yang
dilakukan. Frekuensi harapan dirumuskan
Dalam hal ini n : banyak percobaan
P(A) : peluang terjadinya kejadian A
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 2,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Refleksi
f H = n × P(A)
72 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 2
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan
yang terdiri atas tiga angka yang berbeda.
Di antara bilangan-bilangan tersebut yang
kurang dari 400 banyaknya adalah ....
a. 16 d. 8
b. 12 e. 6
c. 10
2. Dua buah dadu ditos sekali. Peluang
kedua mata dadu berjumlah bilangan
prima adalah ....
a.
7
18
d.
4
11
b.
5
11
e.
1
2
c.
5
12
3. Sebuah dadu dan sekeping logam ditos
bersama-sama. Peluang dadu menunjukkan
angka genap dan uang menunjukkan angka
adalah ....
a.
1
2
d.
1
6
b.
1
3
e.
1
12
c. 1
4
4. Pada pengetosan dua buah dadu, peluang
munculnya mata dadu berjumlah kurang
dari delapan adalah ....
a.
5
36
d.
5
12
b.
7
12
e.
8
12
c.
5
6
5. Jika Cr
n menyatakan banyaknya kombinasi
r elemen dari n elemen dan Cn
3 = 2n maka
C n
7
2 = ....
a. 16 d. 9
b. 12 e. 8
c. 11
6. Tiga keping uang logam ditos sebanyak
208 kali. Frekuensi harapan munculnya
minimal dua sisi gambar adalah ....
a. 156 d. 72
b. 130 e. 52
c. 104
7. Tiga orang siswa masuk ruangan rapat.
Tempat yang masih kosong 5 kursi.
Banyaknya cara mereka dapat mengambil
tempat duduk adalah ....
a. 72 d. 24
b. 60 e. 18
c. 48
8. Peluang pada pengetosan 7 mata uang
sekaligus yang muncul 3 gambar adalah
....
a. 17
128
d. 31
128
b. 19
128
e. 35
128
c. 27
128
9. Jika P(n + 4,11) : P(n + 3,11) = 14 : 3 maka
n = ....
a. 12 d. 9
b. 11 e. 8
c. 10
10. Koefisien x17 dari x5(1 – x2)17 adalah ....
a. 12.376 d. –6188
b. –924 e. 924
c. –12.376
11. Dua buah dadu dilempar undi bersamasama.
Peluang munculnya jumlah mata
dadu 9 atau 10 adalah ....
a. 5
36
d. 9
36
b. 7
36
e. 11
36
c. 8
36
Peluang 73
12. Tono beserta 9 orang temannya bermaksud
membentuk suatu tim bola volley terdiri
atas 6 orang. Apabila Tono harus menjadi
anggota tim tersebut maka banyak tim
yang mungkin dibentuk adalah ....
a. 126 d. 216
b. 162 e. 252
c. 210
13. Tiga buah kelereng merah dan empat buah
kelereng putih yang identik dimasukkan ke
dalam sebuah kotak. Peluang terambilnya
sebuah kelereng merah dan dua buah
kelereng putih dalam sekali pengambilan
adalah ....
a. 5
35
d. 24
35
b. 12
35
e. 30
35
c. 18
35
14. Dua buah dadu ditos bersama. Peluang
munculnya jumlah mata dadu tiga atau
enam adalah ....
a. 12
36
d. 1
36
b. 8
36
e. 5
36
c. 7
36
15. Peluang seorang pemain basket memasukkan
bola ke dalam keranjang dengan tepat
adalah 0,2. Tentukan peluang pemain
basket tersebut memasukkan paling sedikit
sekali dari dua kali percobaan ....
a. 4
100
d. 96
100
b. 2
10
e. 2
100
c. 4
10
16. Diketahui bahwa 20% siswa sebuah
sekolah dasar bercita-cita ingin menjadi
dokter, 50% siswa bercita-cita menjadi
pilot, dan 10% siswa bercita-cita menjadi
dokter dan pilot. Jumlah siswa yang
bercita-cita menjadi dokter atau pilot
adalah ....
a. 20% d. 50%
b. 30% e. 60%
c. 40%
17. Pelat nomor mobil angkutan umum di
suatu kota terdiri atas tiga huruf dan dua
angka. Banyaknya cara menyusun pelat
nomor tersebut jika tidak boleh ada huruf
atau pun angka yang berulang adalah ....
a. 26 × 26 × 26 × 9 × 9 cara
b. 26 × 25 × 24 × 9 × 8 cara
c. 26 × 25 × 9 × 8 × 7 cara
d. 26 × 25 × 24 × 10 × 9 cara
e. 26 × 25 × 10 × 9 × 8 cara
18. Peluang seorang siswa mendapat nilai baik
dalam mata pelajaran Matematika dan
Fisika berturut-turut adalah 0,2 dan 0,4.
Peluang siswa tersebut mendapat nilai baik
untuk salah satu mata pelajaran tersebut
adalah ....
a. 0,92 d. 0,8
b. 0,08 e. 0,6
c. 0,85
19. Peluang seorang anak menebak dengan
tepat huruf pertama nama temannya adalah
....
a. 1
13
d. 2
52
b. 1
26
e. 2
26
c. 1
25
20. Peluang untuk memperoleh bilangan
ganjil pada sebuah dadu dan gambar
pada sekeping mata uang yang dilempar
bersama sebanyak satu kali adalah ....
a. 1
12
d. 1
3
b. 1
6
e. 1
2
c. 1
4
74 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Dalam satu keranjang terdapat 9 buah
tomat. Jika diambil tiga buah tomat secara
acak dari empat buah tomat berwarna
merah, tiga buah tomat berwarna hijau
kemerahan, dan tiga buah tomat yang
masih hijau. Tentukan banyaknya cara
yang dapat dilakukan.
2. Dari 36 orang siswa terdapat 22 orang
gemar voli, 17 orang gemar tenis, dan
4 orang tidak gemar keduanya. Jika
seorang siswa dipilih secara acak, berapa
peluang:
a. seorang gemar olahraga voli;
b. seorang siswa gemar olahraga tenis;
c. seorang siswa hanya gemar olahraga
voli;
d. seorang siswa hanya gemar olahraga
tenis;
e. seorang siswa gemar olahraga voli
dan tenis.
3. Tiga orang perempuan harus duduk
di antara empat orang pria. Tidak ada
perempuan yang duduk di pinggir dan tidak
ada perempuan yang duduk berdampingan
dengan perempuan. Dalam berapa cara
kondisi tersebut dapat diatur?
4. Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentuk
berikut.
a. (3a + b2)4 d. (2x2 – 3y)6
b. (2p + q2)5 e. (3a2 – 2ab)6
c. (3p2 – q)5 f. (a + 2b – 3c)7
5. Satu stoples berisi 16 permen rasa cokelat
dan 12 permen rasa jeruk. Jika diambil dua
permen satu per satu tanpa pengembalian,
tentukan peluang yang terambil itu
adalah
a. keduanya rasa cokelat,
b. keduanya rasa jeruk,
c. pengambilan pertama rasa cokelat dan
peng ambilan kedua rasa jeruk,
d. berturut-turut rasa jeruk, kemudian
rasa cokelat.
Bab3
75
Trigonometri Sumber: www.tnial.mil.id
Anda telah mempelajari perbandingan trigonometri
dari sudut berelasi di Kelas X. Pada bab ini, materi itu akan
dikembangkan sampai ke rumus trigonometri untuk jumlah
dan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini akan dibahas
mengenai rumus trigonometri untuk sudut rangkap.
Konsep-konsep trigonometri yang akan dibahas di bab
ini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan
dan teknologi, misalnya dalam menjawab permasalahan
berikut.
Sebuah roket yang ditembakkan ke atas membentuk
sudut θ terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut θ
agar roket mencapai jarak maksimum?
Agar Anda dapat menjawab permasalahan tersebut,
pelajari bab ini dengan baik.
A. Rumus Trigonometri
untuk Jumlah dan
Selisih Dua Sudut
B. Rumus Trigonometri
untuk Sudut Ganda
C. Perkalian,
Penjumlahan, serta
Pengurangan Sinus
dan Kosinus
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
rumus trigonometri jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut
ganda; merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua
sudut dan sudut ganda.
76 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Isilah titik-titik berikut.
a. cos2a = 1 – ....
b. tan
....
....
􀁁 􀀝
c. sin(180º – A) = ....
d. cos(90º – A) = ....
e. sin(– α) = .... sin α
f. cos(– β) = ....cos β
g. cos(90º – β) = ....
h. tan(– β) = ....tan
2. Tentukan jarak antara titik A(1, –2) dan
B(4,2).
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Trigonometri
Rumus Jumlah dan Selisih Rumus Sudut Ganda Rumus Konversi
terdiri atas terdiri atas
1. Rumus untuk cos (α ± β)
2. Rumus untuk sin (α ± β)
3. Rumus untuk tan (α ± β)
1. Rumus untuk sin 2 α
2. Rumus untuk cos 2 α.
3. Rumus untuk tan 2 α.
Bentuk Kali
ke Jumlah
Bentuk Jumlah
ke Kali
menentukan
dapat berupa
Trigonometri 77
A. Rumus Trigonometri untuk
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus untuk Cos (α ± β)
Amati gambar Gambar 3.1 dengan saksama.Gambar 3.1
menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari
r. Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar
tersebut, diperoleh OC=OB=OD=OA = r dan koordinat titik
A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r
sin α), C(r cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,
diperoleh
dAB d2 2 2 2 􀀈AB􀀉 􀀈x x 􀀉 A B􀀍􀀋􀀈y y 􀀉 A
B􀀍sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitu
a. (AC)2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2
= r2 cos2 (α + β) – 2r2cos (α + β) + r2 + r2 sin2 (α + β)
= r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2 – 2r2cos (α + β)
= r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos (α + β)
Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos (􀁳 + β)
b. (DB)2 = (r cos α – r cos β)2 + (r sin α + r sin β)2
= r2 cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2
sin2 α + 2 r2sin α sin β + r2 sin2 β
= r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β ) –
2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
= r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
= 2r2 – 2r2 cosα cos β + 2r2 sinα sin β
Jadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cos 􀁳 cos β + 2r2 sin􀁳􀀀sin β
ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC = DB.
Coba Anda kemukakan alasan mengapa ΔOCA kongruen
ΔOBD.
Jadi, AC2 = DB2.
2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
–2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
D
A
B
C
O
r
y
x
β
–β
α
Gambar 3.1
78 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus
cos (α + β), yaitu
cos(α – β)= cos (α + (–β))
= cos α cos(–β) – sin α sin(–β)
= cos α cos β + sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
1. Hitunglah cos 75°.
2. Buktikan
cos
cos
tan
􀁁cos􀁂
􀁁 tan 􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀝1􀀍 .
Jawab:
1. cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
=
1
2
2
1
2
3
1
2
2
􀂤 1
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
=
1
4
6
1
4
2
1
4
􀀍 􀀝 2 􀀈 3􀀍1􀀉
2. cos
cos
cos sin
􀁁cos􀁂 cos
􀁁cos􀁂 􀁁sin 􀁂
􀁁cos􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀝
􀀍
􀀝
cos
cos
sin
cos
tan ta
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁sin 􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁
􀀍
􀀝1􀀍tan 􀁂
Contoh 3.1
Pembahasan Soal
Diketahui cos(A – B) =
3
5
dan
cos A . cos B =
7
25
. Tentukan
nilai tan A . tan B
Jawab:
cos (A – B) =
cos A cos B + sin A sin B
sin A sin B =
cos (A – B) – cos A cos B
=
3
5
7
25
􀀍
=
15 7
25
8
25
􀀍
􀀝
tan A tan B =
sin sin
cos cos
A B
A B
􀂕
􀂕
=
8
25
7
25
8
7
􀀝
Ebtanas 1998
2. Rumus untuk sin (α ± β)
Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang
sudut komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α􀀀􀀋􀀀β)
dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua
sudut komplemen berikut.
cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri
dua sudut komplemen, diperoleh
sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]
= cos [(90° – α) – β]
= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β
= sin α · cos β + cos α · sin β
sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β),
yaitu
sin (α – β) = sin (α + (–β))
= sin α cos (–β) + cos α sin (–β)
= sin α · cos β – cos α · sin β
Trigonometri 79
Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Sekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri
rumus-rumus yang diberi kotak.
1. Hitunglah sin 15°.
2. Hitunglah sin cos cos
1
4
1
4
1
4
􀁐 􀀋􀁑 􀁐 􀁑 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂶
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋 􀀋􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂴􀂴􀂵 􀂶
􀀍
􀂤
􀂦
􀂤􀂤􀂥 􀂦
􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀁑 􀁐 􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂥
􀂤􀂥 􀁑
1
4
.
Jawab:
1. sin 15° = sin (45°–30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°
=
1
2
2
1
2
3
1
2
2
􀂤 1
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
=
1
4
6
1
4
2
1
4
􀀍 􀀝 􀀈 6 2􀀉
2. Soal tersebut bentuknya sama dengan rumus
sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) dengan
􀁁 􀀝 􀁐􀀋􀁑 􀁂 􀁐
􀁑
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂴􀂴􀂵 􀂶
􀀝 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1
4
1
4
. Akibatnya,
sin cos cos
1
4
1
4
1
4
􀁐 􀀋􀁑 􀁐 􀁑 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂶
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋 􀀋􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂴􀂴􀂵 􀂶
􀀍
􀂤
􀂦
􀂤􀂤􀂥 􀂦
􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀁑 􀁐 􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂥
􀂤􀂥 􀁑
1
4
= sin cos cos
1
4
1
4
1
4
􀁐 􀀋􀁑 􀁐 􀁑 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂶
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋 􀀋􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂴􀂴􀂵 􀂶
􀀍
􀂤
􀂦
􀂤􀂤􀂥 􀂦
􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀁑 􀁐 􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂥
􀂤􀂥 􀁑
1
4
= sin
1
2
􀁐 􀀝1
Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.
Contoh 3.2
3. Rumus untuk tan (α ± β)
Anda telah mempelajari bahwa
tan
sin
cos
􀁁
􀁁
􀁁
􀀝
Kemudian, Anda juga telah mempelajari bahwa
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
dan
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
1. Jelaskan mengapa
rumus tan(t – β) =
tan
t
􀁁 tan􀁂
1􀀋tan􀁁􀁁 tan􀁂
tidak bisa digunakan
untuk menunjukkan
tan 􀁐
􀁑 cot􀁑
2
􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂥􀂥 􀂥􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂴􀂵 􀂵 􀂶
􀂵
􀂵 .
2. Perhatikan uraian berikut.
tan
tan
tan
t
q p
q tan
q tan
+
Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
= (p / )
(p /
)
=
2
1- tanq an
tan
tan
tan
tan
tan
q
q q
q
1
0 1
0
1
( / 2)
+
( / 2)
-
=
-
=
-
= -
tan
cot
q
q
Jelaskan alasan setiap
langkah pada uraian
tersebut.
Tantangan
untuk Anda
80 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sekarang, pelajari uraian berikut.
tan
sin
cos
sin􀁁cos􀁂 cos􀁁sin 􀁂 􀀈􀁁 􀁂􀀉􀀝
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀝
􀀋
cos􀁁cos􀁂􀀍sin􀁁sin 􀁂
= sin cos
cos sin
􀁁 cos 􀁂 􀁁sin 􀁂 cos cos
􀁁 cos 􀁂 􀁁sin 􀁂
􀀋 􀁁
􀀍
􀁲
1
􀁂􀁂
􀁁
􀁂
1
cos =
sin cos
cos
cos sin
c
􀁁cos􀁂 􀁁sin􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂 􀁁sin􀁂
􀀋
􀀍
os
sin
cos
cos
cos
c
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁sin􀁂
􀁁cos􀁂 􀀝
􀀋
os
cos
sin
cos
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁sin􀁂
􀁁cos􀁂
􀀍
=
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
tan t
􀁁
􀁁
􀁂
􀁂
􀁁
􀁁
􀁂
􀁂
􀁁
􀀋
􀀍 􀂕
􀀝
􀀋
1
an
tan
􀁂
1􀀍􀁁 tan 􀁂
Jadi, tan
tan
1 tan
􀁁+ tan􀁂
􀁁
tan􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉􀀝
Rumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β),
sebagai berikut:
tan
tan
tan tan
􀁁
􀁁
􀀈􀁁 􀁂􀀉􀀝 tan􀀈􀁁􀁁 􀀈 􀁂􀀉􀀉􀀝
tan􀀈 􀁂􀀉
1􀀍􀁁
􀁂
􀁁
􀁂
􀀈􀀍􀁂􀁂􀀉
􀀝
􀀋 tan 1 Jadi, tan =
tan
1 t
􀁁 tan􀁂
􀁁
tan􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀋 tan1. Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°.
2. Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sinC 􀀝
2
13
. Jika tan
A tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B.
Jawab:
1. tan 50° = tan (45° + 5°) =
tan tan
tan
45 5
1 45 tan 5
o 5o
o 5o
􀀋
=
1
1 1
1
1
􀀋
􀂕
􀀝
􀀋
􀀍
p
p
p
p
Contoh 3.3
Jelaskan makna dari π jika
dikatakan cos 􀁐
2
= 0
dan π = 3,14
Tantangan
untuk Anda
Trigonometri 81
2. Langkah ke-1
Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari
soal tersebut.
Diketahui: • sinC 􀀝
2
13
• tan A tan B = 13
• ΔABC lancip.
Ditanyakan: Nilai (tan A + tan B).
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab
soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep
sudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untuk
jumlah dua sudut.
Langkah ke-3
Menentukan nilai (tan A + tan B) dengan strategi yang telah
diketahui. Sudut-sudut dalam ΔABC berjumlah 180° sehingga
A + B + C = 180°.
A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)
sinC sin􀀈A B􀀉􀀝
2
13
Karena ΔABC lancip maka (A + B) terletak di kuadran II.
sin (A + B) =
y
r
􀀝
2
13
sehingga y = 2 dan r = 13
x = 􀀍 r2 􀀍y2 􀀝􀀍 13􀀍4 􀀝􀀍3
tan (A + B) =
y
x
􀀝
􀀍
􀀝 􀀍
2
3
2
3
tan (A + B) =
tan + tan
1 – tan tan
A B
A B
􀀍 􀀝
􀀍
2
3 1 13
tan A + tan B
tan A + tan B =
2
3
8
􀀈 12􀀉
􀀍
􀀝
Kuadran II
r
y + A + B
x –
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Jika cos 5° = p, sin 5° = q, dan tan 5° = r,
tentukan nilai dari
a. cos 25° d. sin 95°
b. cos 80° e. tan 55°
c. sin 40° f. tan 10°
2. Tentukan nilai dari
a. cos 80° cos 55° – sin 80° sin 55°
b. cos 350° cos 20° + sin 350° sin 20°
c. sin 250° cos 25° – cos 250° sin 25°
d. tan 85 tan 35
1 tan 85 tan 35
o 35o
o 35o
􀀋
82 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
e.
tan tan
tan tan
390 75
1 390 75
o 75o
o 75o
􀀋
􀀋
3. Buktikan bahwa
a. cos (60° – b) – cos (60° + b) = 3 sin b
b. sin (a + 45°) + sin (a – 45°) = 2 sin a
c. (cos a – cos b)2 + (sin a – sin b)2 =
2 (1 – cos (a – b))
d. cos a 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀁐
2
= sin a
e. sin 􀀈a􀀍 􀀉= – sin a
4. a. Jika α dan β sudut lancip, cos 􀁁 􀀝
4
5
,
dan sin 􀁂 􀀝
5
13
, tentukan cos (α – β).
b. Jika α di kuadran I, β di kuadran III,
tan 􀁁 􀀝
3
4
, dan tan 􀁂 􀀝
7
24
, tentukan
cos (α + β).
c. Jika α dan β di kuadaran II, sin 􀁁 􀀝
5
13
,
dan tan 􀁂 􀀝 􀀍
3
4
, tentukan sin (α + β).
5. a. Jika tan 􀁁 􀀝
􀀍
1
1 p
dan tan 􀁂 􀀝
􀀋
1
1 p
,
buktikan bahwa tan(α + β) = –2p–2 .
b. Jika sin b cos (B – a) = sin a cos
(b – B), buktikan sin (a – b) = 0.
6. Sebatang tongkat yang beratnya w dipasang
engsel pada titik P sehingga
tongkat dapat bergerak bebas seperti
gambar berikut. Besar tegangan tali sistem
ini adalah T sin 􀁁 􀀝
1
2
w. Jika berat tongkat
4 6 newton dan α = 75°, berapa newton
tegangan tali?
P
w Q
T sin α
T cos α
α
7. Sebuah benda yang massanya m didorong
ke atas pada sebuah bidang miring yang
kasar seperti ditunjukkan pada gambar
berikut. Usaha (W) oleh gaya berat saat
benda didorong sejauh S dirumuskan oleh
W = mgs cos (90° + α). Dalam hal ini g
adalah percepatan gravitasi bumi yang
besarnya 10 m/s2.
a. Tunjukkan bahwa W = – mgs sin α.
b. Jika diketahui massa benda 4 kg,
α = 45°, dan benda terdorong sejauh
6 meter, berapa newton usaha oleh
gaya berat itu?
N
F
f
S
α
90o + α
B. Rumus Trigonometri untuk Sudut
Ganda
1. Rumus untuk sin 2α
Anda telah mengetahui bahwa
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Untuk β = α, diperoleh
sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α
sin 2 α = 2 sin α cos α
Jadi, sin 2α = 2 sin α cos α
Trigonometri 83
2. Rumus untuk cos 2α
Anda juga telah mempelajari bahwa
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.
Untuk β = α, diperoleh
cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α
cos 2α = cos2α – sin2α
Jadi, cos 2α = cos2α – sin2α
Untuk rumus cos2α dapat juga ditulis
cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α
cos 2α = 1 – 2 sin2α
Jadi, cos 2α = 1 – 2 sin2α
Sekarang, coba Anda tunjukkan bahwa
cos 2α = 2 cos2α – 1
3. Rumus untuk tan 2α
Dari rumus
tan(α + β) = tan
tan
􀁁 tan 􀁂
1􀀍􀁁 tan 􀁂
Untuk β = α diperoleh
tan(α + α) =
tan tan
tan
tan
􀁁 􀁁
􀁁 􀁁
􀀋
1􀀍􀂙 tan 2α = 2
1 2
tan
tan
􀁁
􀀍 􀁁
Jadi, tan 2α =
2tan
1 tan2
􀁁
􀁁
1. Jika sin A =
6
10
dengan 0 < A <
1
2
􀁐, tentukan sin 2A, cos 2A,
dan tan 2A.
2. Buktikan bahwa
sin
1 cos
2
1
2
􀁑
􀁑
􀀝 􀁯
􀀍
Jawab:
1. Amati Gambar 3.3. Dengan menggunakan teorema Pythagoras,
diperoleh
Contoh 3.4
x
A
6
10
Gambar 3.3
84 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sebuah meriam yang ditembakkan ke atas membentuk sudut 􀁑
terhadap arah horizontal (perhatikan Gambar 3.4). Diketahui
kecepatan awal peluru meriam v0 m/s dan jarak R yang ditempuh
peluru meriam memenuhi persamaan R =
1
16 0
v 2 sin 􀁑 cos 􀁑 .
a. Tunjukkan bahwa R =
1
32
2 0
v 2 sin 􀁑.
b. Carilah sudut 􀁑 yang memberikan R maksimum.
Jawab:
a. Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari
soal.
Diketahui:
• Kecepatan awal peluru meriam = vo m/s.
• Jarak yang ditempuh peluru meriam = R.
Ditanyakan:
Menunjukkan R =
1
32
2 0
v 2 sin 􀁑
Contoh 3.5
Gambar 3.4
x 􀀝 102 􀀍62 􀀝 64 􀀝 8
• sin A􀀝 􀀝
6
10
3
5
• tan A
x
􀀝 􀀝􀀝 􀀝
6 6
8
3
4
• cos A
x
􀀝 􀀝􀀝 􀀝
10
8
10
4
5
sin2A = 2 sin A cos A = 2
3
5
4
5
24
25
􀂕 􀂕 􀀝
cos2A = cos2A – sin2A =
4
5
3
5
16
25
9
25
7
25
2 2 􀂤 􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍 􀀝
tan2A =
2
1
2
3
4
1
3
4
6
4
7
16
6
4
1
2 2
tan
tan
A
􀀍 A
􀀝
􀂕
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀝 􀀝 􀂕
6
7
27
7
􀀝
2. 2 sin2α = 1 – cos 2α
􀂙 sin2α =
1 2
2
1 2
2
􀂙 􀀝􀁯
cos
i
􀁁 cos 􀁁
Substitusikan 􀁁 􀁑
1
2
ke persamaan tersebut, diperoleh
sin
cos
i
1 cos
2
1 2
1
2
2
1
2
1
􀁑
􀁑
􀁑
􀁑
􀀝 􀁯
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂙sin 􀀝􀁯
􀀍
2
Trigonometri 85
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. a. Jika sin A =
9
15
dengan 0 < A <
1
2
􀁐 ,
hitunglah sin 2A, cos 2A, dan tan 2A.
b. Jika tan α =
2 3 1
3
x
x
􀀋
dan α lancip,
hitunglah sin 2α, cos 2α, dan tan 2α.
2. Jika cos α =
1
5
5 dan
3
2
􀁐 < α < 2π,
hitunglah
a. sin 3α c. sin 4α
b. cos 3α d. cos 4α
3. Jika tan α = –a dan 􀁐
2
< α < π, tentukan
a. sin 3α c. sin 4α
b. cos 3α d. cos 4α
4. Percepatan yang dialami silinder pejal
yang ditempatkan pada bidang miring
dengan sudut kemiringan α dirumuskan
sebagai berikut.
a. a = g sin α jika tidak ada gesekan
antara silinder dan bidang miring.
b. a =
2
3
g sin α jika silinder menggelinding.
Misalkan sudut kemiringannya 22,5°,
tentukan percepatan yang dialami silinder
jika
a. tidak ada gesekan
b. silinder menggelinding
(Petunjuk: jangan gunakan kalkulator,
gunakan rumus setengah sudut)
5. Gambar berikut memperlihatkan sebuah
titik yang bergerak melingkar beraturan.
y
x
P'
P"
P
A
R = 􀁑
Simpangan dari getaran titik P' dirumuskan
oleh y = A sin
2􀁐
T
t
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 .
Dalam hal ini,
A = amplitudo getaran,
T = periode getaran, dan
t = lamanya titik benda bergetar.
Langkah ke-2
Menentukan konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikan
soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rumus
trigonometri untuk sudut ganda.
Langkah ke-3
Menunjukkan R =
1
32
2 0
v 2 sin 􀁑 menggunakan strategi yang
telah diketahui.
Anda telah mengetahui sin 2 􀁑 = 2sin 􀁑 cos 􀁑 sehingga
R v = v v
1
16
1
16
2
2
1
32 0
2
0
2
0
sin 2
sin
q cosq sin
q cosq
2q .
b. Untuk kecepatan awal v0, sudut θ terhadap arah horizontal
mempengaruhi nilai R. Oleh karena fungsi sinus memiliki
nilai maksimum 1, R akan maksimum ketika
2 􀁑 = 90° 􀂙 􀁑 = 45°
86 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jika periode getaran 8 sekon dan benda
titik bergetar selama
3
2
sekon, tentukan
simpangan dari getaran
a. titik P'
b. titik P"t
(Petunjuk: gunakan rumus setengah
sudut).
6. Tulislah rumus sin 4a dan cos 4a.
7. Nyatakan sin 16a dengan sin 8a dan cos
8a.
8. Diketahui sin P =
12
20
, dengan 0 < P <
1
2
􀁐.
Hitunglah sin 2P, cos 2P, dan tan 2P.
9. Dengan menggunakan rumus setengah
sudut, hitunglah:
a. tan 22,5º d. cos 112,5º
b. tan 165º e. sin 292,5º
c. cos 67,5º f. sin 157,5º
10. Untuk tan x =
2
3
, tan y =
3
4
, hitunglah:
a. tan 2 x c. tan (2x + y)
b. tan 2 y d. tan (x + 2y)
C. Perkalian, Penjumlahan, serta
Pengurangan Sinus dan Kosinus
1. Perkalian Sinus dan Kosinus
Anda telah mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih
dua sudut, yaitu:
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan
kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)
Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan
memperoleh
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
Jadi, cos
cos +cos
2
􀁁cos 􀁂 􀀝 􀀈􀁁 􀁂􀀉 􀀈􀁁 􀁂􀀉
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)
Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh
cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β
Jadi, sin
cos cos
2
􀁁sin􀁂 􀀝 􀀈􀁁 􀁂􀀉 􀀈􀁁􀁁 􀁂􀀉
􀀍
Trigonometri 87
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)
Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
Jadi, sin
sin i
2
􀁁cos 􀁂 􀀝 􀀈􀁁 􀁂􀀉􀀋sin􀀈􀁁􀁁 􀁂􀀉
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)
Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh
sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
Jadi, cos􀁁􀁁􀁁 􀁂
sin sin
2
􀀝 􀀈􀀈􀁁 􀁂􀁂􀁂􀀉􀀉 􀀈􀁁􀁁 􀁂􀀉
Pembahasan Soal
Bentuk sederhana 4 sin 36°
cos 72° sin 108° adalah ....
Jawab
4 sin 36° cos 72°sin 108° =
2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] =
2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin
(108 – 72)°] =
2 sin 36°[0 + sin 36°] =
2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)
= 1 – cos 72°
Soal Ebtanas 2000
1. Hitunglah:
a. cos 75° cos15° b. –2 sin 15°sin 75°
2. Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.
Jawab:
1. a. cos 75° cos 15° =
1
2
(cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)
=
1
2
(cos 90° + cos 60°) =
1
2
0
1
2
1
4
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂴􀂵 􀂵 􀂵
􀂵 􀀝
b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°
= cos 90° – cos (–60)°
= cos 90° – cos 60°
= 0 –
1
2
= –
1
2
2. 4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]
= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]
= 2 sin 72°[0 + sin72°]
= 2 sin cos 2 (72°)
= 1 – cos2(72°)
= 1 – cos144°
Contoh 3.6
2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Rumus perkalian sinus dan kosinus di bagian C.1 dapat
ditulis dalam rumus berikut.
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)
cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)
88 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. sin 105° + sin 15° = 2 sin
1
2
(105 + 15)° cos
1
2
(105 – 15)°
= 2 sin
1
2
(120)° cos
1
2
(90)°
= 2 sin 60° cos 45°
= 2
1
2
3
1
2
2
1
2
􀂕 􀂕 􀀝 6
2. cos 75° – cos 15° = –2 sin
1
2
(75° + 15°) sin
1
2
(75° – 15°)
= –2 sin 45° sin 30°
= –2
1
2
2
1
2
1
2
􀂕 2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂴􀂵 􀂵 􀂵
􀂵􀂕
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂴􀂵 􀂵 􀂵
􀂵 􀀝 􀀍
Contoh 3.7
Pembahasan Soal
Nilai dari sin 105° – sin 15°
adalah ....
Jawab:
sin 105° – sin 15° =
2
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
2
1
cos
sin
􀀈105o 􀀋15o 􀀉
􀀈105o􀀍15o 􀀉
􀀝􀂕 􀂕
􀀝
2
6
Soal Ebtanas 1997
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11)
sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12)
Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh
p + q = (α + β) + (α – β) = 2α
􀁁 􀀝 􀀈 􀀋 􀀉
1
2
.... (13)
p – q = α + β – α + β = 2β
􀁂 􀀝 􀀈 􀀉 1
2
􀀍 ....(14)
Coba Anda substitusikan persamaan (13) dan (14)
pada rumus (9) sampai (12). Apakah Anda memperoleh
kesimpulan berikut?
cos p + cos q = 2 cos 1
2
(p + q) cos 1
2
(p – q)
cos p – cos q = –2 sin 1
2
(p + q) sin 1
2
(p – q)
sin p + sin q = 2 sin 1
2
(p + q) cos 1
2
(p – q)
sin p – sin q = 2 cos 1
2
(p + q) sin 1
2
(p – q)
Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah
atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.
Trigonometri 89
3. Identitas Trigonometri
Misalkan, Anda akan membuktikan kebenaran hubungan
berikut.
cos s
1 tan
= cos
4 sin4
sin 􀁁 4 􀁁
􀁁 ...(15)
Cara membuktikannya dengan mengubah bentuk dari
salah satu ruas persamaan tersebut sehingga menjadi bentuk
yang sama dengan ruas lainnya.
Misalkan, Anda akan mengubah ruas kiri persamaan
tersebut sehingga menjadi bentuk yang sama seperti di ruas
kanan.
cos
tan
4 i 4
1 4
a sin4a
- a
=(cos2a sin2a )(cos2a sin2a )
( + )( - )
=
◊( )
-
Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
1
2 1
2
2 sec
sin
cos
-
a a
a
= ( )
-
Ê
cos Ë
cos
cos
sin
2 cos
2
2
2
2
1
-
a
a
a
a
Á a
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
= ( )
Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
cos ¯
cos
2 cos
2 i 2
2
1
-
a
a - sin2a
a
=
( )
( )
=
cos4 cos4
1
1
1
-
a
-
a
= cos4α .... (16)
Bentuk (16) adalah bentuk yang sama dengan bentuk ruas
kanan persamaan (15). Untuk menunjukkan kebenaran suatu
identitas trigonometri, diperlukan pemahaman tentang identitas
dasar seperti yang telah Anda pelajari dalam pembahasan
sebelumnya. Sekarang, coba Anda ubah ruas kanan dari identitas
(15) sehingga diperoleh ruas kiri.
Pembahasan Soal
Bentuk
2
1 2
tan
tan
x
􀀋 x
ekuivalen
dengan ....
Jawab:
2
1
2
1
2 2
2
2
tan
tan
sin
cos
sin
cos
cos
cos
x
x
x
x
x
x
x
􀀋
􀀝
􀀋
􀀝 2 2
2
2
1
2
x x
x
x
x
􀀋
􀀝 􀀝
s
cos
sin
sin
Soal Ebtanas 2000
90 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Buktikan kebenaran identitas berikut.
2 3 2 3
8 2
si
sin
cos
cos
o
x
x
x
x
􀀋 􀀝 x
Jawab:
2 si 3 2 3 2 3 2 3
sin
cos
cos
x sin cos cos sin
x
x
x
x x x x
􀀋 􀀝
􀀋
sin cos
si
sin
si
sin
x x
x
x
x
􀀝
􀀈
x􀀋 x􀀉
􀀝
􀀝
2 sin1
2
2
4 sin 4
2
4
sin
o
2
8 cos 2
x
x
􀀈2 sin 2x cos 2x􀀉
􀀝
Contoh 3.8
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan nilai dari soal-soal berikut ini.
a. cos 105º cos 15º
b. sin 75º cos 15º
c. 2 cos 15º sin 45º
d. 2 cos 75º sin 45º
e. 2 sin 82,5º cos 37,5º
f. 2 sin 127,5º sin 97,5º
2. Tentukan nilai dari soal-soal berikut.
a. sin 75° + sin 15°
b. sin 75° – sin 45°
c. cos 45° – cos 15°
d. cos 105° + cos 15°
3. Hitunglah soal-soal berikut.
a. cos 465° cos 165°
b. sin sin
cos cos
75 15
75 15
o sin15o
o cos15o
􀀋
c. cos 220° + cos 100° + cos 20°
d. cos 130° + cos 110° + cos 10°
e. sin sin
cos cos
115 35
115 35
o 35o
o 35o
􀀋
4. Buktikan kebenaran identitas berikut.
a. sin si
cos cos
tan
A sin B
A B
􀀋 A B
􀀋
􀀝
􀀋
2
b. sin si
cos cos
tan
4 i 2
4 2
3
sin 2A
2A
A
􀀋
􀀋
􀀝
c. sin si
sin si
tan
tan
A sin B
A􀀋sin B
􀀝
􀀈A B􀀉
􀀈A􀀋 B􀀉
1
2
1
2
5. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatu
jumlah atau selisih.
a. cos 3x cos 2x e. 2 cos 3x cos 6x
b. sin 4x sin 3x f. 2 sin 3x sin 5x
c. sin 5x cos 2x g. 2 sin 2x cos 7x
d. cos 7x sin 3x h. 2 cos 5x sin 8x
6. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatu
hasil kali.
a. cos 3x + cos 2x
b. cos 4x – cos 3x
c. sin 5x + sin 2x
d. sin 7x – sin 3x
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁕􀁓􀁊􀁈􀁐􀁏􀁐􀁎􀁆􀁕􀁓􀁊
􀁴􀀁 􀁔􀁊􀁏􀁖􀁔
􀁴􀀁 􀁄􀁐􀁔􀁊􀁏􀁖􀁔
􀁴􀀁 􀁕􀁂􀁏􀁈􀁆􀁏
􀁴􀀁 􀁔􀁖􀁅􀁖􀁕 􀁈􀁂􀁏􀁅􀁂
􀁴􀀁 􀁊􀁅􀁆􀁏􀁕􀁊􀁕􀁂􀁔 􀁕􀁓􀁊􀁈􀁐􀁏􀁐􀁎􀁆􀁕􀁓􀁊
Trigonometri 91
e. 1
2
1
2
cos x􀀋 cos 3x
f. 1
2
􀀈cos 5x o 6x􀀉
7. Buktikan kebenaran identitas berikut.
a. sin si
cos cos
cot
A sin A
A A
A
􀀋
􀀝
3
3
b. sin si
cos cos
tan
A sin B
A B
􀀋 A B
􀀋
􀀝
􀀋
2
c. sin si
cos cos
cot
A sin B
A B
􀀋 B A
􀀝
2
8. Jika x = sin 3 􀁑 + sin 􀁑 dan y = cos 3 􀁑 +
cos 􀁑 , buktikan identitas berikut.
a. x + y = 2 cos 􀁑 (sin 2 􀁑 + cos 2 􀁑 )
b. x
y
􀀝 tan2􀁑
c. x2 + y2 = 2 + 2 cos 2 􀁑
9. Jelaskan strategi yang Anda lakukan untuk
menyelesaikan soal pembuktian identitas
trigonometri. Bandingkan hasilnya dengan
teman lain. Manakah yang strateginya
lebih baik?
• Rumus-rumus jumlah dan selisih sudut adalah
1. cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
2. cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
3. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
4. sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
5. tan (α + β) =
tan tan
tan tan
􀁁 􀁂
􀁁 􀁂
􀀋
1􀀍 􀂕
Sekarang, lanjutkan rangkuman di atas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 3,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan
yang mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda amat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Refleksi
92 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 3
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. sin cos
tan
....
15 15
15
o cos15o
o 􀀝
a. 2
4 􀀈 3 1􀀉 d. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 2 􀂵
1
2
6
b. 2
4 􀀈 3􀀋1􀀉 e. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 3 􀂵
1
3
6
c. 2 3
2. sin (45° + α) – sin (45° – α) = ....
a. 2 sin 􀁁 d. 2 cos 􀁁
b. 2sin 􀁁 e. sin2􀁁
c. 2 cos 􀁁
3. sin (30o + β) + cos (60o + β)= ....
a. sin β d. 2 cos β
b. cos β e. cos
􀁂
c. 2 sin β 2
4.
sin
tan
....
a tan b
􀀈a b􀀉
􀀝
a. cos a cos b d. –sin a sin b
b. sin a sin b e. cos (a–b)
c. –cos a cos b
5. Jika sin A 􀀝
2
3
dan cos A < 0 maka tan 2A
= ....
a. 4 5
5
d. 4 5
9
b. 􀀍4 5 e. 4 5
c. 􀀍
4 5
9
6. Jika sin 38° = p maka sin 76° = ....
a. 2 p 1 p2 d. 2p2 – 1
b. 2p2 + 1 e. p
1􀀍 p2
c. 2p
7. Jika sin􀁁 , cos 􀁂 ,􀁁 􀁂
4
5
5
13
di kuadran I maka sin(α – β) = ....
a. 56
65
d. 63
65
b. 􀀍
33
65
e. 64
65
c. 􀀍
16
65
8. Jika cos 􀁁 􀀝
5
3
dan sin 􀁂 􀀝 􀀍
7
4
, α di
kuadran II, dan β di kuadran IV maka
cos (α + β) = ....
a. 􀀍3 5 􀀋2 7
12
d. 6 35
12
b. 􀀍3 5 􀀍2 7
12
e. 8 35
12
c. 6 35
12
􀀋
9. Jika
tan
sec
;
2
1
1 0 90
x
x
x
􀀋
􀀝1; 0o 􀁡􀁡 􀁡􀁡90o maka
sudut x adalah ....
a. 0° d. 60°
b. 30° e. 75°
c. 45°
10. Bentuk
sin cos
cos sin
x x
2 x sin2 x
ekuivalen dengan ....
a.
1􀀋tan2
tan
x
x
d.
1􀀋tan2
tan
x
x
b.
tan
tan
x
1􀀍 2 x
e.
tan
tan
x
1􀀋 2 x
c. 1􀀋 tan x
Trigonometri 93
11. sin (x + 30) + cos (x + 60)=…
a. sin x d. cotan x
b. cos x e. sec x
c. sin x
12. –2 sin2 sin 15° sin 75° = ....
a. 􀀍
1
4
d.
1
2
b. 􀀍
1
2
2 e.
1
4
c. 􀀍
1
2
13. Jika sin 􀁑 , 􀁑
2 10
7
di kuadran IV maka
tan ....
1
2
􀁑 􀀝
a.
2
5
e. 􀀍
3
5
b.
5
2
d. 􀀍
5
2
c. 􀀍
2
5
14. cos 110° sin 55° = ....
a.
1
2􀀈sin165o 􀀋sin 55o 􀀉
b.
1
2􀀈sin165o sin 55o 􀀉
c.
1
2􀀈sin 55o sin165o 􀀉
d.
1
2􀀈cos165o 􀀋cos 55o 􀀉
e.
1
2􀀈cos165o cos 55o 􀀉
15. cos 35° – cos 75° = ...
a. –2 sin 55° sin 20°
b. 2 sin 55° cos 20°
c. –2 sin 55° cos 20°
d. 2 cos 55° sin 20°
e. –2 cos 55°cos 20°
16. Periode grafik fungsi y Px
1
3
adalah
2
3
􀁐 maka nilai P adalah ....
a.
1
3
d. 6
b. 2 e. 2
3
c. 3
17. Identitas yang benar adalah ....
(1) cos 2x = cos4x – sin4x
(2) cos 2x = (cos x + sin x) (cos x – sin x)
(3) cos 2x = sin 􀁐
2
cos 2x – cos 􀁐
2
sin 2x
(4) cos 2x = 2 cos2x + 1
a. (1), (2), dan (3)
b. (1), dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. semua benar
18. Fungsi y = 4 sin x sin (x + 60°) mencapai
nilai minimum pada ....
a. x = 60° + k 360°
b. x = 60° + k 180°
c. x = 30° + k 360°
d. x = 30° + k 180°
e. x = k 360°
19. sin 292
1
2
o
􀀝 ....
a.
1
2
2 3 d. 􀀍
1
2
2􀀍 3
b. 􀀍 􀀋
1
2
22 2 e.
1
2
2􀀋 2
c. 􀀍 􀀋
1
2
22
20. Jika cos 􀁑 􀀝
3
4
maka tan 2 􀁑 = ....
a.
24
7
d. 􀀍
24
5
b. 􀀍
24
7
e. 􀁯
24
7
c.
24
5
94 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
4. Buktikan:
a. tan
si
cos
A sin A
2 1 A
􀀝
􀀋
b. cosec 2A =
1
2
􀀋cot2
cot
A
A
c. sec
sec
tan
A
A
􀀍 A
􀀋
􀀝
1
1 2
2
d. sin
sin
cos
cos
2 1 2
A
A
A
􀀝
􀀋
5. Buktikan kebenaran identitas berikut.
a. sin si
cos cos
tan
4 i 2
4 2
3
sin 2A
2A
A
􀀋
􀀋
􀀝
b. sin si
sin si
tan
tan
A sin B
A􀀋sin B
􀀝
􀀈A B􀀉
􀀈A􀀋 B􀀉
1
2
1
2
c.
sin si
cos cos
tan
A sin A
A A
A
􀀋
􀀋
􀀝
3
3
2
1. Buktikan bahwa
a. sin sin sin
􀁐 􀁐
i 􀁑
4
0
4
􀀋 0 2
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂵􀂵 􀂵 􀂶
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂴􀂵 􀂶
b. sin cos
􀁐 􀁐
􀁑
6
0
6
􀀋 0
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂵􀂵 􀂵 􀂶
􀀋cos 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
c. tan
cot
tan
tan
􀁁 tan 􀁂
􀁁 tan 􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀝
􀀍
2 tan2
1 2 tan2
2. a. Diketahui α, β, dan γ menyatakan besar
sudut-sudut segitiga ABC, tan α = –3,
dan tan β = 1. Tentukan tan γ.
b. Jika A + B + C = 180°, tunjukkan
bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan
B tan C
3. Jika 3 cos x􀀋 x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂵􀂵 􀂵
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀁐 􀁐 􀂴
􀂤
6 6 􀂶 􀂦
cos , tentukan:
a. nilai tan 2x
b. nilai cos 2x
c. nilai sin 4x
Bab4
95
Lingkaran Sumber: www.panebianco3D.com
Anda telah mempelajari konsep lingkaran di Kelas
VIII. Pada pembahasan konsep lingkaran tersebut telah
dibahas mengenai keliling dan luas daerah lingkaran. Pada
bab ini, konsep lingkaran akan dikembangkan pada bentuk
umum persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung
lingkaran.
Konsep lingkaran sangat penting peranannya dalam
ilmu pengetahuan dan teknologi untuk memecahkan suatu
masalah seperti berikut.
Gedung Parthenon dibangun 440 SM. Gedung tersebut
dirancang oleh arsitek Yunani dengan menggunakan
perbandingan nisbah emas.
Amati gambar berikut.
Pada titik tengah sisi persegi ABCD
dibuat busur lingkaran dengan pusat G
dan jari-jari GD . Lingkaran tersebut
memotong perpanjangan BC di F. Nisbah
BF : AB disebut perbandingan nisbah
emas. Menurut para ahli, perbandingan
nisbah emas merupakan perbandingan yang paling enak
dipandang. Jika busur DF memenuhi persamaan x2 + y2 –
138y – 44 = 0, berapa perbandingan nisbah emas gedung
Parthenon?
A. Persamaan Lingkaran
B. Persamaan Garis
Singgung Lingkaran
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan
persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan
masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
dalam berbagai situasi.
A D E
B G C F
96 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Jelaskan apa yang Anda ketahui Tentang
teorema Pythagoras.
2. Sebutkan langkah-langkah yang Anda
lakukan untuk melengkapkan bentuk
kuadrat ruas kiri persamaan kuadrat
x2 + 14x = 15.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan kuadrat berikut.
a. x2 – 7x + 12 ≤ 0
b. –x2 + 4x – 2 ≥ 0
4. Tentukan persamaan garis lurus yang
melalui titik (2,0) dan bergradien 2.
5. a. Bagaimana hubungan gradien antara
dua garis sejajar? Jelaskan.
b. Bagaimana hubungan gradien antara
dua garis tegak lurus? Jelaskan.
6. Tentukan persamaan garis lurus yang
melalui titik A(1,3) dan B (3,7).
7. Tentukan jarak antara titik A (2,2) dan B
(5,2).
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Lingkaran
Persamaan
Lingkaran
Posisi Garis
terhadap Lingkaran
yang
Persamaan Garis
Singgung
Persamaan umum
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Melalui Satu Titik
pada Lingkaran
Melalui Satu Titik di
Luar Lingkaran
Memiliki Gradien
Tertentu
Memotong
di Satu
Titik
Memotong
di Dua Titik
Tidak
memotong
syarat syarat syarat
D = 0 D > 0 D < 0
Pusat M (a,b)
dan jari-jari r
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Pusat O dan
Jari-jari r
x2 + y2 = r2
meliputi
dapat dapat
Lingkaran 97
A. Persamaan Lingkaran
Gambar 4.1 memperlihatkan irisan kerucut berbentuk
lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnya
mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu
kerucut.
Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang
telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikut
ini disajikan definisi lingkaran.
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Definisi 4.1
Lingkaran ialah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai
jarak yang sama terhadap satu titik tertentu.
1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O
(0, 0) dan Berjari-jari r
Amati Gambar 4.2. Diketahui, titik P(x, y) adalah titik
sebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikan
pada sumbu-x maka diperoleh titik P' sehingga segitiga OPP'
adalah segitiga siku-siku di P'.
Pada segitiga OPP' berlaku Teorema Pythagoras sebagai
berikut.
OP2 = (OP')2 + (P'P)2
􀂙 r2 = x2 + y2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut.
L= x y r 􀁛􀀈x y􀀉 2 􀀋 y2 􀀝 2􀁝
Pandang titik P1(x1, y1) pada ΔOP1P'1. Pada segitiga
tersebut berlaku x2
1 + y2
1 = r2
1. Pandang titik P2(x2, y2) pada
ΔOP2P2'. Pada segitiga tersebut berlaku x2
2 + y2
2 = r2
2, dan
seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) pada
lingkaran ini berlaku x2 + y2 = r2.
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
berjari-jari r adalah
x2 + y2 = r2
O
P2(x2,y2)
r
r
P1(x1,y1)
P(x,y)
r
P'2 P'1
y1
P'
x1 x2
y2
98 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan
panjang jari-jari 2 3.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0)
dan melalui titik (–6, –8).
Jawab:
1. Jari-jari r = 2 3 sehingga r2 = 2 􀀈2 3􀀉 = 12.
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari
2 3adalah x2 + y2 = 12.
2. Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r
adalah
x2 + y2 = r2.... (1)
Oleh karena lingkaran melalui titik (–6, –8) maka dengan
menyubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperoleh
x2 + y2 = r2 􀂙 (–6)2 + (–8)2 = r2
􀂙 r2 = 36 + 64 = 100
􀂙 r = 100 = 10
Kemudian, r2 = 100 substitusikan pada persamaan (1),
diperoleh x2 + y2 = 100.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.
Contoh 4.1
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat
T (a, b) dan Berjari-Jari r
Diketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T(a,b)
dengan jari-jari r seperti diperlihatkan pada Gambar 4.3. Titik
P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah
garis yang melalui titik pusat T(a, b) dan sejajar dengan
sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g adalah titik Q
sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q.
Diketahui jarak TQ= (x – a) dan jarak PQ = (y – b). Pada
segitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut.
TP2 = TQ2 + PQ2􀂙r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut:
L: {(x, y)(x – a)2 + (y – b)2 = r2}
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dan
berjari-jari r adalah
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan
lingkaran standar (baku).
T(a,b)
x
P(x,y)
y
Q g
r
b
a
y
x
Gambar 4.3
Lingkaran 99
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,–1) dengan
jari-jari 3 2 .
2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T (3,–4)
dan menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0.
Jawab:
1. Persamaan lingkaran standar (x – a)2 + (x – b)2 = r2.
Untuk pusat (2,–1) dengan jari-jari 3 2 , diperoleh
(x – 2)2 + (y – (–1))2 =
2 􀀈3 2􀀉 􀂙 (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18.
2. Rumus jarak dari titik T (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0
adalah
d =
ax b c
a b
1 1 y
2 b2
􀀋by
􀀋 􀀋
Jarak dari pusat T (3,–4) ke garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jarijari
lingkaran, yaitu
r =
4 3 3 49
4
12 12 49
2 2 5
. 􀀍􀀈 4􀀉􀀍
􀀋􀀈 3􀀉
􀀝
􀀋􀀍
= 5
Jadi, persamaan lingkarannya adalah
(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25.
Contoh 4.2
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Anda telah mempelajari persamaan lingkaran
yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a2 + b2 – r2); A, B, dan
C bilangan real. Jadi,
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan
jari-jari r, A = –2a, B = –2b, C = a2 + b2 – r2, A, B, dan C
bilangan real.
100 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax +
By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan
langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan
pada guru Anda.
Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam
bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
(x2 + Ax) + (y2 + By) = –C
x2 Ax A y
By B
2
2 1
2
1
2
􀀋 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀋 􀂤􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂤􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀋
2 1 2
2
1
2
A B C
x A x B
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂴􀂵 􀂶
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀋 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
2
2 1
2
1
2 􀂶􀂶 􀂵
􀂴􀂴
􀂵
􀂵 􀂶
􀂶􀂶􀂶 􀂵 􀀝 􀀋 􀀍
2
2 2 1
4
1
4
A2 􀀋􀀋 B C
Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1
2
1
2
A 􀀍 B
, dan jari-jari lingkaran r = 1
4
1
4
2 2 A2 􀀋 B2 􀀍C .
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0.
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x2 +2y2 – 4x –12y =
101.
Jawab:
1. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dengan demikian, A = –4, B = 6, dan C = –3.
Pusat M 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂵 􀂵 􀂵􀂵
1
2
1
2
A 􀀍 B
, = M (2,–3)
Jari-jari r = 1
4
1
4
1
4
16
1
4
2 2 36 3 16 A2 􀀋 B2 􀀍C 􀀝 􀀋􀀋􀀋 . 􀀋 􀀝 = 4
2. Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, seperti
berikut.
2x2 + 2y2 – 4x – 12y – 101 = 0 􀂙x2 + y2 – 2x – 6y – 101
2
= 0
Dengan demikian, A = –2, B = –6, dan C = – 101
2
.
Pusat M 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1
2
1
2
A 􀀍 B
, = M 􀀍 􀀈􀀍 􀀉 􀀍 􀀈􀀍 􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1
2
1
2
, = (1, 3)
Jari-jari r = 1
4
4
1
4
36
101
2
1 9
101
2
.4􀀋 .36􀀋 􀀝 􀀋 􀀋
􀀝 􀀝
􀀍
􀀝
121
2
11
2
11
2
2
Contoh 4.3
Soal Terbuka
1. Buatlah 3 buah
persamaan lingkaran yang
berpusat di (0, 0). Berikan
hasilnya kepada teman
Anda untuk dicek dan beri
komentar.
2. Buatlah 3 buah
persamaan lingkaran yang
berpusat di (a,b). Berikan
hasilnya kepada teman
Anda untuk dicek dan beri
komentar.
Tugas
Bersama kelompok belajar
Anda, gambarlah pada kertas
grafik Anda persamaan
lingkaran
x2 + y2 – 2x – 6y – 101
2
= 0.
Kemudian, hasilnya
kumpulkan pada guru Anda.
Lingkaran 101
4. Posisi Titik terhadap Lingkaran
Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)2+ (y – 2)2= 9
diperlihatkan pada Gambar 4.4. Pada gambar itu tampak
bahwa titik P1(1, 3) terletak di dalam lingkaran, titik P2(5, 2)
terletak pada lingkaran, sedangkan titik P3(6, –3) terletak di
luar lingkaran.
Anda dapat mengetahui posisi titik P(x1, y1) terhadap
lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r hanya dengan
mengetahui jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b).
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) kurang
dari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di
dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar
4.5(a). Secara matematis ditulis |PT| < r
2 2 􀀈x a􀀉 1 􀀋􀀈y b􀀉 1 < r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau
x1
2 + y1
2 + Ax1 + By1 + C < 0
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) sama
dengan jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada
pada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 4.5(b).
Secara matematis, ditulis |PT| = r
2 2 􀀈x a􀀉 1 􀀋􀀈y b􀀉 1 = r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 atau
x1
2 + y1
2 + Ax1 + By1 + C = 0
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) lebih
dari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di luar
lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 4.5(c).
Secara matematis ditulis |PT| > r
2 2 􀀈x a􀀉 1 􀀋􀀈y b􀀉 1 > r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 atau
x1
2 + y1
2 + Ax1 + By1 + C > 0
Gambar 4.4
Gambar 4.5
(a)
|PT| = r
(b)
r
P(x1, y1)
|PT|
T(a, b)
|PT| < r
P(x1, y1)
|PT|
T(a, b)
r
P
(c)
|PT| > r
r
|PT|
T(a, b)
P(x1, y1)
Tentukanlah posisi titik A(5, 1), B(4, –4), dan C(6, 3) terhadap
lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Jawab:
Persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dapat diubah
sebagai berikut.
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
(x2 – 4x) + (y2 + 6y) – 12 = 0
(x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) – 12 = 0 + 4 + 9 ... kedua ruas ditambah 4 dan 9
Contoh 4.4
Soal Terbuka
Buatlah sebuah persamaan
lingkaran. Kemudian,
tentukan titik-titik yang
berada di dalam, di luar, dan
pada lingkaran (masingmasing
3 buah).
P3(6,–3)
y
P1(1,3)
r = 3 P2(5,2)
T(2,2)
x
102 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Diketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + 2 dan lingkaran
L dengan persamaan x2 + y2 = 4. Agar garis g memotong lingkaran
L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai m yang memenuhi.
Contoh 4.5
5. Posisi Garis terhadap Lingkaran
Diketahui garis g: y = mx + n, dan lingkaran
L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Perpotongan garis g dengan
lingkaran L adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + (mx + n)2 + Ax + B (mx + n) + C = 0
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + Ax + Bmx + Bn + C = 0
(1 + m2)x2 + (2mn + A + Bm)x + n2 + Bn + C = 0
Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah
D = b2 – 4ac
= (2mn + A + Bm)2 – 4(1 + m2) (n2 + Bn + C)
• Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan.
Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong
lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di dua titik yang
berlainan, seperti pada Gambar 4.6(a).
• Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.
Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong
lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis
g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan
pada Gambar 4.6(b).
• Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang
berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak
memotong atau menyinggung lingkaran x2 + y2 + Ax +
By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar 4.6(c).
(b)
(c)
(a)
T(a,b)
P
g
g
T(a,b)
P
g
T(a,b)
P
Gambar 4.6
(x – 2)2 + (y + 3)2 – 12 = 13
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Titik A (5, 1) terletak pada lingkaran sebab (5 – 2)2 + (1 + 3)2 = 25.
Titik B (4, –4) terletak di dalam lingkaran sebab
(4 – 2)2 + (–4 + 3)2 < 25.
Titik C (6, 3) terletak di luar lingkaran sebab
(6 – 2)2 + (3 + 3)2 > 25.
Lingkaran 103
Titik A(4,8), B(2,4), dan C(10,0)
terletak pada lingkaran.
a. Tunjukkan bahwa segitiga
ABC adalah segitiga sikusiku
di B.
b. Mengapa titik P(7,0)
adalah pusat lingkaran?
Jelaskan
c. Hitunglah jari-jari
lingkaran tersebut.
d. Carilah persamaan
lingkaran tersebut.
Tantangan
untuk Anda
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan persamaan lingkaran dalam
bentuk standar (baku) untuk setiap soal
berikut.
a. Pusat (–2, –1) dan jari-jari 3 3.
b. Pusat (1, –3) dan melalui titik (1, 1).
c. Pusat (1, –2) dan diameter 4 2.
d. Mempunyai diameter yang ujungnya
melalui titik (1, –1) dan (1, 5).
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran soalsoal
berikut.
a. x2 + y2 – 10x + 6y + 16 = 0
b. 4x2 + 4y2 + 8x – 16y + 17 = 0
c. 3x2 + 3y2 – 12x + 18y + 35 = 0
d. 4x2 + 4y2 + 4x + 12y + 1 = 0
3. Bagaimana posisi titik-titik berikut ini
(di dalam, pada, atau di luar lingkaran)
terhadap lingkaran yang diketahui?
a. P(–1,6), Q(1,4), dan R(–3,5) terhadap
lingkaran x2 + y2 + 2x – 10y + 22 = 0.
b. K(–2,1), L(–1,0), danM(5,4) terhadap
lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y – 5 = 0.
4. Sebuah ayunan bandul bergerak bolak-balik
seperti diperlihatkan
pada gambar berikut.
Lintasan ay u n a n
bandul (busur AB pada
gambar) memenuhi persamaan lingkaran
2x2 + 2y2 – 6,8y – 1,9 = 0.
a. Berapa panjang ayunan bandul?
b. Berapa koordinat titik P?
5. Nyatakan apakah garis y =
1
2
x + 5
memotong lingkaran x2 + y2 = 9 di satu
titik, dua titik, atau tidak memiliki titik
potong.
6. Bentuk geometris jendela sebuah gedung
terdiri atas persegipanjang dan setengah
lingkaran. Jendela tersebut dirancang oleh
arsitek menggunakan sistem koordinat
seperti diperlihatkan pada gambar berikut.
Jika keliling setengah lingkaran dari jendela
tersebut memenuhi persamaan
x2 + y2 –3y + 1,25 = 0,
berapa m2 luas daerah jendela tersebut?
(Petunjuk: anggap satuan luasnya m2).
y
x
A B
P
Jawab:
y = mx + 2 maka y2 = (mx + 2)2 = m2 x2 + 4m x + 4
x2 + y2 = 4􀂙x2 + m2x2 + 4mx + 4 = 4
􀂙(1+ m2)x2 + 4mx = 0
Diskriminan D = (4m)2 – 4 (1 + m2) (0)
D = 16m2
Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik maka haruslah D> 0.
Dengan demikian, 16m2 > 0
􀂙 m2 > 0
􀂙 m > 0
Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m > 0.
104 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Melalui
Suatu Titik pada Lingkaran
Titik P(x1, y1) terletak pada garis g dan lingkaran x2+y2=r2,
seperti diperlihatkan pada Gambar 4.7.
Gradien garis yang menghubungkan titik O dan titik P
adalah mOP=
y
x
1
1
. Garis g menyinggung lingkaran di P, jelas
OP􀀾 g sehingga mOP·mg = –1 atau mg =
􀀍1
mop
. Akibatnya,
gradien garis g adalah mg =
􀀍1
mop
= 􀀍
x
y
1
1
.
Jadi, persamaan garis singgung g adalah
y – y1 = mg(x – x1) 􀂙 y – y1 = 􀀍
x
y
1
1
(x – x1)
􀂙 y1(y – y1) = –x1(x – x1)
􀂙 x1x + y1y = x1
2 + y1
2 .... (i)
Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2
sehingga
x1
2 + y1
2 = r2 ....(ii)
Apabila persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan
(i) diperoleh
g: x1x + y1 y = r2
Persamaan tersebut adalah persamaan garis singgung
yang melalui titik P(x1, y1) dan terletak pada lingkaran
L : x2 + y2 = r2.
Anda pun dapat menentukan persamaan garis singung
g melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada lingkaran
L : (x – a)2 + (y – b) = r2 dengan pusat di M(a, b) dan jari-jari r,
yaitu
g: (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut.
Kemudian, kemukakan hasilnya di depan kelas (beberapa
orang saja).
Diketahui titik P(x1, y1) terletak pada garis g dan
lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan
pada Gambar 4.8. Gradien garis yang menghubungkan titik
T dan titik P adalah
P(x1, y1)
y
x
O
r y
x Q
g
Gambar 4.7
Lingkaran 105
mTP = y b
x a
1
1
.
Garis g menyinggung lingkaran maka
g􀀾 TP dan mg · mMP = –1 sehingga mg = 􀀍
x 􀀍a
y 􀀍b
1
1 Jadi, persamaan garis singgung g adalah
y – y1 = mg (x – x1)
y – y1 = 􀀍
x 􀀍a
y 􀀍b
1
1
(x – x1)
(y – y1) (y1 – b) = –(x1 – a) (x – x1)
y1y – by – y1
2 + y1b = –x1x + x1
2 + ax – ax1
y1y – by + y1b + x1x – ax + ax1 = x1
2 + y1
2 .... (1)
Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran L sehingga
diperoleh
x1
2 + y1
2 + Ax1 + By1 + C = 0
x1
2 + y1
2 = – (Ax1 + By1 + C) .... (2)
Substitusikan (2) pada (1), diperoleh
y1y – by + y1b + x1x – ax + ax1 = –(Ax1 + By1 + C) .... (3)
Dari uraian sebelumnya, diperoleh –
1
2
A = a,–
1
2
B = b .... (4)
Substitusikan (4) pada (3) sehingga persamaan (3)
menjadi
y1y +
1
2
B y –
1
2
B y1 + x1x +
1
2
A x –
1
2
A x1 = –Ax1 – By1 –C
y1y +
1
2
B y +
1
2
B y1 + x1x + 1
2
A x + 1
2
A x1 + C = 0
x1x + y1y + 1
2
A (x + x1) +
1
2
B (y + y1) + C = 0
Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1,
y1) dan terletak pada lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0
adalah
xx1 + yy1 + 1
2
A (x + x1) +
1
2
B (y + y1) + C = 0
Gambar 4.8
P(x1, y1)
(y1–b)
T(a, b)
(x1–a)
x
y
g
1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25
di titik (4, –3).
2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 25 di titik (–6, 4).
Contoh 4.6
106 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Mari, Cari Tahu
Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 orang. Gradien suatu garis
lurus biasanya dilambangkan dengan m. Cari informasi di buku
lain atau internet, mengapa huruf m yang digunakan? Selidiki
pula adakah huruf lain yang digunakan? Tuliskan laporannya dan
presentasikan hasil tersebut di depan kelas.
2. Persamaan Garis Singgung Melalui
Suatu Titik di Luar Lingkaran
Diketahui titik P(x1, y1) berada di luar lingkaran
L: x2 + y2 = r2 … (1)
Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui
P(x1, y1) adalah
g: y = y1 + m(x – x1) …(2).
Jika g menyinggung L di titik Q, Anda dapat
menyubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga
diperoleh persamaan kuadrat dalam x. Selanjutnya, Anda cari
diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena
g menyinggung L maka D = 0 sehingga nilai-nilai m dapat
diperoleh. Apabila nilai mdiketahui, Anda dapat menentukan
persamaan garis singgung g dengan cara menyubstitusikan m
ke persamaan garis g tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajari
contoh berikut.
Jawab:
1. Titik (4, –3) terletak pada lingkaran sebab 42 + (–3)2 = 25.
Persamaan garis singgung g: x1x + y1y = r2 dengan x1 = 4 dan
y1 = –3 adalah 4x – 3y = 25.
2. Titik (–6, 4) terletak pada lingkaran karena (–6 + 2)2 + (4 – 1)2
= 25. Diketahui a = –2 dan b = 1 maka persamaan garis
singgung
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
(x1 + 2) (x + 2) + (y1 – 1) (y – 1) = 25
Untuk x1 = –6 dan y1 = 4 diperoleh
(–6 + 2) (x + 2) + (4 – 1) (y – 1) = 25
–4 (x + 2) + 3(y – 1) = 25
–4x – 8 + 3y – 3 = 25
–4x + 3y = 14
Lingkaran 107
1. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25
yang dapat ditarik dari titik (7, –1).
2. Tentukan koordinat-koordinat titik singgung.
3. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik
singgung.
Jawab:
1. Titik P (7, –1) terletak di luar lingkaran. Coba Anda buktikan
hal ini.
Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui (7, –1)
dengan gradien m adalah
y + 1 = m(x – 7)
􀂙y = mx – 7m – 1 ... (1)
Substitusi (1) ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25,
diperoleh
x2 + (mx – 7m – 1)2 = 25
x² + m²x² – 14m²x – 2mx + 49m² + 14m + 1 = 25
(1 + m²)x² – (14m² + 2m)x + (49m² + 14m – 24) = 0
Nilai diskriminan, yaitu
D = (14m² + 2m)² – 4 (1 + m²) (49m² + 14m – 24)
D = 196m4 + 56m3 + 4m² – 100m² – 56m + 96 – 196m4 – 56m3
D = –96m2 – 56m + 96
Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0 sehingga
–96m2 – 56m + 96 = 0
atau 12m2 + 7m – 12 = 0
m=
􀀍 􀀋
􀀝
725
24
3
4
atau m =
􀀍 􀀋
􀀝
725
24
4
3
• Untukm=
3
4
substitusikan pada persamaan (1) diperoleh
persamaan garis singgung: y =
3
4
x – 7.
3
4
–1 = 3
4
25
4
x 􀀍
atau 4y – 3x + 25 = 0.
• Untuk m = –
4
3
substitusikan pada persamaan (1)
diperoleh persamaan garis singgung:
y = –
4
3
x + 7.
4
3
– 1 = 􀀍 􀀋
4
3
25
3
atau 3y + 4x – 25 = 0.
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik
(7, –1) adalah
l: 4y – 3x + 25 = 0 dan g: 3y + 4x – 25 = 0.
2. Misalkan, titik A adalah titik singgung garis l: 4y – 3x + 25 = 0
dengan lingkaran.
Contoh 4.7
Pembahasan Soal
Persamaan garis singgung
melalui titik (9, 0) pada
lingkaran x2 + y2 = 36 adalah
....
Jawab:
Misalkan, persamaan garis
singgung
y – 0 = m(x – 9)
y = mx – 9m
maka
x2 + (mx – 9)2 = 36
x2 + m2x2 – 18mx + 81 = 36
(1 + m2)x2 – 18mx + 45 = 0
syarat menyinggung:
(18m)2 – 4(1 +m2)(45) = 0
324m2 – 180m2 – 180 = 0
144m2 = 180
m2 =
5
4
m =± 1
2
5
y = 5
2
(x – 9)
􀂜 5x􀀍􀀍2y 􀀝9 5
y = 5
2
(x – 9)
􀂜 5x􀀍􀀍2y 􀀝9 5
Soal Ebtanas 1998
108 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
l: 4y – 3x + 25 = 0 atau l: y = 3
4
25
4
x 􀀍 .
Substitusi garis l ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25
diperoleh
x2 + 3
4
25
3
x 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = 25 􀂙 x2 +
9
16
75
8
625
16
x2 􀀍 x􀀋 = 25
􀂙 25
16
75
8
625
16
x2 􀀍 x􀀋 = 25
􀂙25x2 – 150x + 225 = 0
􀂙x2 – 6x + 9 = 0
􀂙(x – 3)2 = 0
􀂙x = 3.
Coba Anda substitusikan x = 3 pada persamaan garis singgung
y = 3
4
25
4
x 􀀍
Apakah Anda memperoleh titik singgung A (3, –4)?
Misalkan, titik B adalah titik singgung garis g: 3y + 4x – 25 = 0
dengan lingkaran
g: 3y + 4x – 25 = 0 atau g: y = 􀀍 􀀋
4
3
25
3
.
Substitusi garis g ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25
diperoleh
x2 + 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
4
3
25
3
= 25 􀂙 x2 +
16
9
200
9
625
9
x2 􀀍 x􀀋 = 25
􀂙 25
9
200
9
625
9
x2 􀀍 x􀀋 = 25
􀂙 25x2 – 200x + 400 = 0
􀂙 x2 – 8x + 16 = 0
􀂙(x – 4)2 = 0
􀂙x = 4
Coba Anda substitusikan x = 4 pada persamaan garis
singgung
y =􀀍 􀀋
4
3
25
3
Apakah Anda memperoleh titik singgung B(4, 3)?
Jadi, koordinat titik singgung adalah A(–3, 4) dan B(4, 3).
3. Persamaan garis yang melalui titik A(–3, 4) dan B(4, 3)
diperoleh dengan menggunakan rumus persamaan garis
y y
y y
x x
x x
1 􀀝
2 11
2 1
sehingga
y1 x 2
􀀝
􀀋􀀋
4
3􀀍4
3
43
7y – 28 = –x – 3
x + 7y = 25
Persamaan garis yang menghubungkan titik singgung A dan
B adalah x + 7y = 25.
1. Tunjukkan bahwa persamaan
garis
y + 3x + 10 = 0 adalah
garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 8x + 4y – 20 = 0.
kemudian, tentukan titik
singgungnya.
2. Carilah bilangan p yang
mungkin sehingga garis
x + y + p = 0 adalah garis
singgung lingkaran
x2 + y2 = 8.
Tantangan
untuk Anda
Lingkaran 109
3. Persamaan Garis Singgung
dengan Gradien Tertentu
Diketahui, persamaan garis dengan gradien m adalah g:
y = mx + n. Jika titik Pterletak pada g dan lingkaran x2 + y2 = r2
maka
x2 + (mx + n)2 = r2 􀂙x2 + m2x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
􀂙(m2 + 1)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0
Syarat nilai diskriminan adalah D = 0 karena garis
y = mx + n menyinggung lingkaran. Dengan demikian,
(2mn)2 – 4(m2 + 1) (n2 – r2) = 0
􀂙 4m2n2 – 4m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0
􀂙 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0
􀂙 4n2 = 4m2r2 + 4r2
􀂙 n2 = (m2 + 1)r2
􀂙n = r m2 􀀋1 atau n = – r m2 􀀋1
Substitusikan nilai n ke persamaan garis y = mx + n,
diperoleh y = mx ± r m2 􀀋1 .
Persamaan garis singgung lingkaran L: x2 + y2 = r2 dengan
gradien m adalah
y = mx ± r m2 􀀋1
Anda pun dapat menentukan persamaan garis singgung
lingkaran L: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 untuk gradien m dengan
titik pusat lingkaran T(a, b) dan jari-jari r, yaitu
(y – b) = m (x – a) ± r m2 􀀋1
Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut,
hasilnya tuliskan dan jelaskan di depan kelas (beberapa
siswa saja).
Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4
dengan gradien m = –1.
Jawab:
Persamaan garis untuk gradien m = –1 adalah y = (–1) x + n atau
y = –x + n. Substitusi persamaan garis ini ke persamaan lingkaran,
diperoleh
x2 + (–x + n)2 = 4 􀂙 x2 + x2 – 2nx + n2 = 4
􀂙2x2 – 2nx + (n2 – 4) = 0
Contoh 4.8
110 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Nilai diskriminan untuk D = 0 adalah
D = 4n2 – 8(n2 – 4)
􀂙 0 = –4n2 + 32
􀂙 n2 = 8
􀂙 n = 2 2 atau n = –2 2
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah g1: y = –x + 2 2
dan g2: y = –x – 2 2 . Coba Anda buat sketsa untuk soal ini.
Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 8
dengan gradien m = –1.
Jawab:
Persamaan lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 8 mempunyai jari-jari 2 2 .
Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah
y – b = m (x – a) ± r m2 􀀋1 􀂙 y – 3 = (–1)(x – 2) ± 2 2
􀀈􀀍 􀀉􀀉 􀀋􀀋1 2
􀂙 y – 3 = –x + 2 ± 4
􀂙 y = –x + 5 ± 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
g1: y = –x + 9 dan
g2: y = –x + 1.
Contoh 4.9
Garis g menghubungkan titik A(5, 0) dan titik B(10 cos θ, 10 sin θ).
Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika θ berubah
dari 0 sampai 2 􀁐 maka titik P bergerak menelusuri suatu lingkaran.
Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Jawab:
Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui : • garis g menghubungkan A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10
sin θ)
• AP : PB = 2 : 3
Ditanyakan : Persamaan kurva.
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal.
Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep perbandingan,
konsep trigonometri, dan konsep persamaan umum lingkaran.
Langkah ke-3
Menentukan persamaan lingkaran dengan strategi yang telah
diketahui.
Contoh 4.10
Lingkaran 111
A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P pada AB sehingga
AP : PB = 3 : 2
Amati gambar berikut.
OP = OA +
2
5
AB
= OA +
2
5
(OB – OA)
= 3
5
OA +
2
5
OB
Persamaan parameter titik P adalah
x = 3
5
. 5 +
2
5
. 10 cos θ = 3 + 4 cos θ:
y = 3
5
. 0 +
2
5
. 10 sin θ = 4 sin θ.
Dengan demikian, x = 3 + 4 cos θ 􀂙 4 cos θ = x – 3
y = 4 sin θ 􀂙 4 sin θ = y
(4 cos θ)2+ (4 sin θ)2= (x – 3)2+ y2
􀂙16 (cos2 θ + sin2 θ ) = x2 – 6x + 9 + y2
􀂙x2 + y2 – 6x = 7
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 –6x = 7.
B
Y
θ X
0 A
P
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan persamaan garis singgung
lingkaran
a. x2 + y2 = 25 di titik (–4, –3)
b. x2 + y2 – 2x + 8y = 23 di titik (3,–10)
c. x2 + y2 = 25 melalui titik (7, 1)
d. (x – 1)2 + (y – 2)2 di titik (4, –2)
e. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dengan
gradien –
3
4
2. Tentukan gradien garis singgung dengan
ketentuan berikut.
a. Sejajar garis x – y + 2 = 0.
b. Tegak lurus garis 2x – y – 5 = 0.
c. Sejajar dengan garis yang melalui (–2,1)
dan (3,2).
d. Tegak lurus garis yang melalui (3,4) dan
(–2,–5).
e. Tegak lurus garis yang melalui sumbu
koordinat dan membentuk sudut 45°
terhadap sumbu-x.
3. Tentukan persamaan garis singgung di titik
(2,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 1.
4. Carilah persamaan lingkaran yang
menyinggung sumbu-x dan sumbu-y, dan
pusatnya terletak pada garis 3x + 5y = 11.
5. Carilah persamaan lingkaran yang
menyinggung garis –3x + 4y = 10 pada
titik (2, 4) dan pusatnya terletak pada garis
x + y = 3.
6. Carilah persamaan lingkaran yang
melalui titik-titik A (2, –1) dan
B (4, 3) serta menyinggung garis
x + 3y = 3.
7. Tentukan persamaan garis singgung pada
lingkaran x2 + y2 = 25 dengan gradien m= 1.
8. Diketahui persamaan lingkaran (x – 3)2
+ (y + 20)2 = 8. Tentukanlah persamaan
garis singgung lingkaran tersebut dengan
gradien m = –1.
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁍􀁊􀁏􀁈􀁌􀁂􀁓􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁋􀁂􀁓􀁊􀀎 􀁋􀁂􀁓􀁊
􀁴􀀁 garis singgung
􀁴􀀁 􀁈􀁓􀁂􀁅􀁊􀁆􀁏
112 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
• Persamaan sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
berjari jari r adalah x2 + y2 = r2.
• Persamaan sebuah lingkaran yang berpusat di M (a, b) dan
berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
• Persamaan umum lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Rangkuman
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
Tes Kompetensi Bab 4
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (3,4) dan
menyinggung 2x – y + 5 = 0 adalah ....
a. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 42
b. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 49
c. (x – 3)2 + (y – 4)2 =
49
5
d. (x + 3)2 – (y + 4)2 = 49
e. (x – 3)2 – (y – 4)2 = 42
2. Diketahui lingkaran L dengan persamaan
x2 + y2 = 25 dan P(5, 5) maka letak titik P
adalah ....
a. di dalam lingkaran L
b. di luar lingkaran L
c. pada lingkaran L
d. sejauh 5 satuan dari pusat lingkaran L
e. sejauh 5 satuan dari pusat lingkaran L
3. Diketahui lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y +
21 = 0. Jika M adalah pusat lingkaran
dan R adalah jari-jari lingkaran tersebut,
koordinat titik M dan panjang R berturutturut
adalah ....
a. (–3, –4) dan 2 d. (–3, –4) dan 3
b. (3, 4) dan 2 e. (3, 4) dan 3
c. (–3, 4) dan 2
4. Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 + y2 = 100 di titik (8, –6) menyinggung
lingkaran dengan pusat (4, –8) dan jari-jari
R. Nilai R adalah ....
a. 2 d. 5
b. 3 e. 6
c. 4
5. Lingkaran x2 + y2 + 4x + 4y = p akan
menyinggung sumbu-x dan sumbu-y jika
p sama dengan ....
a. 8 d. –4
b. 4 e. –8
c. 0
6. Lingkaran x2 + y2 + 2px = 0 dengan p
bilangan real konstan, selalu menyinggung
....
a. sumbu-x saja
b. sumbu-y saja
c. sumbu-x dan sumbu-y
d. garis x = a dan garis x = –a
e. garis y = 2a dan garis y = –2a
7. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 1)
dan melalui (4, –1) adalah ....
a. x2 + y2 – 6x – 3y = 0
b. x2 + 2y2 –3x –2y –3 = 0
Setelah Anda mempelajari Bab 4,
1. Anda tuliskan materi-materi yang telah dipahami,
2. tuliskan pula materi yang Anda anggap sulit.
Refleksi
Lingkaran 113
c. x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0
d. 2x2 + y2 – 2x – 3y –1 = 0
e. 2x2 + y2 – 3x – 2y + 1= 0
8. Jika titik P(0, 3) terletak pada lingkaran
x2 + y2 = 9, persamaan garis singgung
pada lingkaran di titik P adalah ....
a. y = –2x – 3 d. x = 0
b. y = –x e. x = –3
c. y = 3
9. Diketahui lingkaran L dengan persamaan
x2 + y2 –2x – 4y – 4 = 0 dan garis g dengan
persamaan y – x – 1 = 0 maka ....
a. g tidak memotong L
b. g memotong L di satu titik
c. g memotong L di dua titik
d. g melalui titik pusat L
e. g memotong L dan melalui titik
pusat
10. Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 di titik (0, 5)
adalah ....
a. y = 5x +1 d. y = x + 5
b. y = 3x – 5 e. y = 5
c. y = 4x – 3
11. Persamaan lingkaran x2+y2–mx + 7y + 4 = 0
menyinggung sumbu-x maka nilai m
adalah ....
a. –16 d. 11 atau 3
b. –4 e. 16
c. 4 atau –4
12. Diketahui lingkaran x2 + y 2 = p dan garis
x + y – z = 0. Supaya garis dan lingkaran
ini berpotongan di dua titik yang berbeda
maka p harus sama dengan ....
a. 1
2
d. 3
b. 1 e. 4
c. 2
13. Diketahui lingkaran L dengan persamaan
x2 + y2 – 2x – 6y + 1 = 0. Pernyataan berikut
yang benar adalah ....
a. jari-jari r = 2 2
b. titik pusat lingkaran P(–1,3)
c. lingkaran menyinggung sumbu-y
d. lingkaran menyinggung sumbu-x
e. lingkaran melalui titik (0,0)
14. Supaya persamaan x2 + y2 + 4x + 6y – c = 0
menyatakan suatu persamaan lingkaran
maka c harus memenuhi ....
a. c > 15 d. c > 13
b. c < 15 e. c < 13
c. c > 14
15. Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 2x – 10y + 17 = 0 di titik (1, 2)
adalah ....
a. x = 1 d. y = 2
b. x = 2 e. y = x
c. y = 1
16. Jika garis g: x – 2y = 5 memotong lingkaran
x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 di titik A dan
B, luas segitiga yang dibentuk oleh A, B,
dan pusat lingkaran adalah.....
a. 10 d. 5
b. 2 5 e. 2
1
2
c. 10
17. Persamaan lingkaran pada gambar berikut
adalah ....
y
x
3
–4 –2 O
a. x2 + y2 + 8x + 6y + 21 = 0
b. x2 + y2 + 8x + 6y – 21 = 0
c. x2 + y2 + 8x – 6y + 21 = 0
d. x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0
e. x2 + y2 – 8x – 6y + 21 = 0
18. Diketahui lingkaran dengan persamaan
x2 + y2+ Ax + By + C = 0. Lingkaran ini
akan menyinggung sumbu-x di titik (0,0)
jika dipenuhi ....
a. A = 0 dan B = 1
b. A = 0 dan B = 0
c. A = 0 dan C = 0
d. A = 0 dan C = 1
e. A = 0 dan C = –1
114 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat dan jelas
1. Carilah persamaan lingkaran yang melalui
titik (7, –8) dan (0, 9) dan pusatnya terletak
pada garis x – 2y = 1.
2. Gedung Parthenon dibangun 440 SM.
Gedung tersebut dirancang oleh arsitek
Yunani menggunakan perbandingan
nisbah emas. Perhatikan gambar berikut.
A D E
B G C F
Pada titik tengah sisi persegi ABCD
dibuat busur lingkaran dengan pusat
G dan jari-jari GD. Lingkaran tersebut
memotong perpanjangan BC di F. Nisbah
19. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik
sudut persegi ABCD berikut adalah ....
x – y = 1
x – y = 0
x + y = 1 x + y = 2
A B
D C
a. x2 + y2 – 2x – y + 1 = 0
b. x2 + y2 – 2x + y + 1 = 0
c. x2 + y2 + 2x – y – 1 = 0
d. x2 + y2 – 2x + y + 1 = 0
e. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
20. Supaya titik (1, 1) terletak pada lingkaran
x2 + y2 –px + 2y + 1 = 0, nilai p harus sama
dengan ....
a. 1 d. 4
b. 2 e. 3
c. 3
BF : AB disebut perbandingan nisbah
emas. Jika diketahui busur DF memenuhi
persamaan
x2+ y2 – 138y – 44 = 0, berapa perbandingan
nisbah emas gedung Parthenon?
(Petunjuk: perhitungan dibulatkan sampai
satu desimal)
3. Carilah persamaan garis singgung pada
lingkaran x2 + y2 = 25 yang dapat ditarik
dari titik (7, –1).
4. Carilah persamaan lingkaran yang melalui
(0, 0), jari-jari 5 dan pusatnya terletak
pada garis x – y = 1.
5. Berapakah jarak terdekat dari titik (–7, 2)
ke lingkaran dengan persamaan
x2 + y2 + 10x + 14y – 151 = 0?
Tes Kompetensi Semester 1 115
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Rataan hitung dari data berikut adalah ....
Nilai
Frekuensi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11
1 2 1 3 1 1 2 1 2 1
a. 4,5 d. 6
b. 5,0 e. 6,5
c. 5,5
2. Jika sebuah dadu dan sekeping uang
logam ditos satu kali maka peluang tidak
muncul angka dan mata dadu bukan 4
adalah ....
a. 2
3
d.
11
12
b.
5
12
e.
1
3
c.
7
12
3. Di suatu kelas terdapat 12 laki-laki dan 4
perempuan. Jika tiga orang dipilih secara
acak, peluang yang terpilih semuanya lakilaki
adalah ....
a.
1
55
d. 11
5
b. 1
3
e.
11
28
c. 1
4
4. 10
3 3 4
!
!3! !
= ....
a. 3200 d. 4000
b. 3400 e. 4200
c. 3800
5. 􀀈n􀀋 􀀉
􀀈n􀀍 􀀉
!
!
= ....
a. n(n – 1)
b. n²
c. n(n + 1)
d. n(n + 1)(n + 2)
e. (n – 1)n(n + 1)
6. Jika terdapat 19 orang yang akan menduduki
19 kursi, banyaknya susunan yang
dapat terjadi adalah ....
a. 16. 17. 18 ! d. 18. 17!
b. 2 ! 18 ! e. 18. 17. 16!
c. 19. 18 !
7. C12
5 = ....
a. 792 d. 2852
b. 804 e. 4256
c. 1400
8. Tabel berikut memperlihatkan suatu
pengukuran. Jika rata-rata tersebut sama
dengan 3 maka harga p adalah ....
xi
f
i 5 3 1 10
2 3 p 2
a. 1 d. 8
b. 4 e. 9
c. 6
9. Simpangan baku dari data 1, 5, 4, 2, 6, 2,
1, 1, 5, 3 adalah ....
a. 1,6 d. 2,3
b. 1,9 e. 2,4
c. 2,1
10. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang
dilempar undi satu kali secara bersamaan,
peluang untuk memperoleh GAMBAR
pada mata uang dan bilangan ganjil pada
dadu adalah ....
a.
1
12
d. 1
3
b.
1
6
e. 1
2
c.
1
4
11. 2 sin 45° cos 15° = ....
a. – 1
2
3 + 1 d.
1
2􀀈 3􀀋1􀀉
b. –
1
2􀀈 3􀀋1􀀉 e. 1
2
3
c. 1
2
3 + 1
Tes Kompetensi Semester 1
116 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
12. Jika sin A =
5
3
dikuadran II maka
cos
1
2
A = ....
a. 5 26
26
b.
26
26
c.
5
26
d.
5
12
e.
26
5
13. Jika cot 2θ = – 5
12
, 2θ di kuadran II maka
cos θ = ....
a.
3
13
d.
2
3
b.
2
13
e.
4
13
c.
3
2
14. Amplitudo fungsi 3 cos x adalah ....
a. 3 d. 2 3
b. 3 + 1 e. 3 1
2
􀀋
c. 2
15. Jika tan θ = 􀀍
3
4
dan θ di kuadran II, nilai
cos 2θ – sin (90º + θ) adalah ....
a.
7
25
d.
27
25
b.
25
7
e. 27
5
c.
27
25
16. Jika cos 24° = p maka cos 48° = ....
a. 2 p 1 p2 d. 2p2 – 1
b. 2p2 + 1 e.
p
c. 2p 1􀀍 p2
17.
tan tan
tan tan
140 70
1 70
∞ ∞
- tan140∞ ∞
= ....
a. – 3 d. 3
b. 3
3
e. 3 3
3
c.
3
1 3
18. cos4 50° – sin4 50° = ....
a. cos 100° d. 1
b. sin 100° e. –1
c. 0
19. Himpunan penyelesaian dari sin θ cos θ = 1
4
dengan 0 ≤ θ ≤ 360º adalah ....
a. {30°, 150°}
b. {30°, 150°, 210°, 330°}
c. {15°, 75}
d. {15°, 75°, 195°, 225°}
e. {60°, 300°}
20. Dalam sebuah kantong terdapat 11
kelereng merah dan 7 kelereng putih. Dua
kelereng diambil sekaligus secara acak.
Peluang terambilnya dua kelereng merah
adalah ....
a. 1
4
d. 1
2
b.
5
18
e. 10
18
c. 11
36
21. Berikut ini adalah tabel distribusi frekuensi
dari berat badan sekelompok siswa SMA.
Median dari data ini adalah ....
Berat Badan
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 – 65
2
6
15
11
6
Frekuensi
a. 53,50 kg d. 55,40 kg
b. 54,50 kg e. 55,50 kg
c. 55,30 kg
Tes Kompetensi Semester 1 117
22. Simpangan baku dari data 5, 7, 3, 4, 6, 8,
2, 5 adalah ....
a. 1 d. 2,5
b. 1,5 e. 3
c. 2
23. Empat buah buku disusun dalam satu rak
buku. Banyaknya cara untuk menyusun
keempat buku tersebut agar salah satu
buku selalu diletakkan paling tepi ada ...
cara.
a. 4 d. 12
b. 6 e. 24
c. 8
24. Sebuah kantong berisi 11 bola yang terdiri
atas 5 bola kuning dan 6 bola hijau.
Jika diambil 2 bola sekaligus, peluang terambilnya
2 bola berwarna hijau adalah ....
a. 2
11
d. 6
11
b.
3
11
e. 3
5
c.
1
3
25. Simpangan kuartil dari data berikut adalah
....
Nilai
1 – 10
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
2
4
25
47
17
5
Frekuensi
a. 1,2 d. 4,8
b. 2,5 e. 5,9
c. 3,4
26. Diketahui empat angka 4, 5, 6, dan 7.
Banyaknya cara untuk menyusun bilanganbilangan
yang terdiri atas empat angka
dengan syarat bahwa bilangan-bilangan
itu tidak mempunyai angka yang sama
adalah ... cara.
a. 8 d. 18
b. 12 e. 24
c. 16
27. Dua buah dadu bermata enam ditos satu
kali secara bersamaan. Peluang munculnya
jumlah mata dadu 5 atau mata dadu 10
adalah ....
a. 11
36
d.
8
36
b.
10
36
e. 7
36
c. 9
36
28. Modus dari berat badan pada tabel berikut
adalah ....
Berat Badan
50 – 52
53 – 55
56 – 58
59 – 61
62 – 64
5
17
14
10
4
Frekuensi
a. 55,5 kg d. 53,9 kg
b. 54,9 kg e. 52,5 kg
c. 54,7 kg
29. Simpangan kuartil dari data 3, 8, 2, 7, 7,
10, 2, 9, 5, 4, 4, 6, 4, 7, 5, 7 adalah ....
a. 5,5 d. 1,5
b. 3 e. 1
c. 2
30. Ada 4 jalan yang menghubungkan kota
A dengan kota B dan ada 6 jalan yang
menghubungkan kota B dengan kota
C. Banyaknya perjalanan yang dapat
ditempuh dari kota A ke kota C melalui B
adalah ....
a. 10 d. 30
b. 20 e. 36
c. 24
118 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat dan jelas.
1. Hitunglah mean, modus, dan median dari
data-data berikut.
a. 4, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 8, 5, 5
b. 16, 15, 12, 11, 15, 17, 10
c. 52, 70, 62, 46, 50, 65, 55, 78
d. 5, 2; 3, 5; 4, 1; 7, 3; 6, 6; 9, 1
2. Hitung n dari persamaan berikut.
a. 5 p(n, 3) = 4 p(n + 1,3)
b. p(n, 5) = 18 p(n – 2,4)
c. c(n, 13) = c(n , 11)
3. Sebuah kantong berisi 9 kelereng biru, 6
kelereng kuning, dan 4 kelereng merah.
Sebuah kelereng diambil secara acak
dari kantong. Tentukan peluang terambil
kelereng biru atau kuning.
4. Diketahui x = cos p + sin p dan
y = cos p – sin p
a. Tentukan x2 + y2.
b. Tunjukkan bahwa x2 – y2 = 2 sin 2p.
5. Diketaui persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x
+ 2y + c = 0 melalui titik A(5, –1).
a. Tentukan jari-jari lingkaran.
b. Tentukan pusat lingkaran.
Bab5
119
Suku Banyak Sumber: www.in.gr
misalnya fungsi y = x2 – 1. Fungsi y = x2 – 1 merupakan
fungsi suku banyak. Pada bab ini konsep, tersebut akan
dikembangkan sehingga Anda akan mempelajari bagaimana
menjabarkan suku banyak menjadi perkalian beberapa suku
banyak. Cara menjabarkan suku banyak tersebut akan Anda
pelajari pada bab ini. Salah satu manfaat mempelajari bab
ini untuk menyelesaikan masalah berikut.
Hubungan antara jarak yang ditempuh x(t) dan waktu yang
dibutuhkan (t) untuk gerak sebuah mobil dinyatakan oleh
x(t) = 48t2 – 3t. Dalam hal ini, x(t) dalam meter dan t dalam
menit. Dengan menggunakan konsep suku banyak, Anda
dapat menghitung jarak mobil setelah bergerak 5 menit.
A. Pengertian Suku
Banyak
B. Menentukan Nilai
Suku Banyak
C. Pembagian Suku
Banyak
D. Teorema Sisa
E. Teorema Faktor
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan
masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
dalam pemecahan masalah.
120 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat
berikut dengan cara pemfaktoran dan
menggunakan rumus abc.
a. x2 – 6x + 8 = 0
b. 2x2 – 4 = 3x
2. Diketahui fungsi kuadrat .
Tentukan nilai f 􀀈 􀀉 f 􀀈􀀈􀀈􀀈􀀍 􀀉􀀉, f 􀀈a􀀉, dan
f
x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1 .
3. Selesaikan soal berikut dengan menggunakan
cara pembagian bersusun.
Jelaskan pula langkah-langkah yang Anda
lakukan pada pembagian ini.
a. 18)272 b. 26)479
4. Hitunglah (x – 3)(x +1)(x + 2).
5. Hitunglah (2x + 3)(3x3 – x2 + 5x –1).
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Suku Banyak
Bentuk Umum
P(x) = an xn + an–1 xn–1
+ an–2 xn–2 + ...
+ a 2 x2 + a 1 x + a 0
dicari
dengan
Nilai
Substitusi Skema
digunakan
Menyelesaikan
Persamaan Suku
Banyak
Pembagian
Suku Banyak
Teorema
Sisa
Teorema
Faktor
oleh
x – k
cara
Pembagian
Biasa Horner
ax + b
cara
Pembagian
Biasa
Horner
ax2 + bx + c
cara
Pembagian
Biasa Horner
syarat
Dapat
Difaktorkan
meliputi
dapat
ditulis
Suku Banyak 121
A. Pengertian Suku Banyak
1. Suku Banyak, Derajat Suku Banyak,
Koefisien Suku Banyak, dan Suku Tetap
Anda telah memahami bahwa grafik y = (x + 2)2 diperoleh
dengan cara menggeser grafik y = x2 sejauh 2 satuan ke kiri,
seperti diperlihatkan pada Gambar 5.1.
Adapun grafik y = (x – 1)3 diperoleh dari grafik y = x3
dengan cara menggeser grafik dari y = x3 sejauh 1 satuan ke
kanan seperti diperlihatkan pada Gambar 5.2.
Amati keempat persamaan berikut.
y = x2
y = (x + 2)2 = x2+ 4x+ 4
y = x3
y = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1
Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan suku
banyak dalam peubah (variabel) x. Suku banyak x3 – 3x2 +
3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x3,
suku ke-2 adalah –3x2, suku ke-3 adalah 3x, dan suku ke-4
adalah –1.
Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat
tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat
dari suku banyak x3 – 3x2 + 3x – 1 adalah 3. Koefisien suku
banyak dari x3, x2, dan x berturut-turut adalah 1, –3, dan 3.
Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta).
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suku
banyak berderajat n? Cobalah nyatakan suku banyak derajat
n secara umum.
Secara umum, suku banyak dalam peubah x berderajat
n ditulis sebagai berikut.
P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2
x xn–2 +… + a2
x x2 + a1x + a0
Cara penyusunan suku banyak berdasarkan pangkat x
yang berkurang dengan an, an–1, … , a1 adalah koefisienkoefisien
suku banyak yang merupakan konstanta real
dan an ≠ 0.
a0 = suku tetap yang merupakan konstanta real
n = derajat suku banyak dan n adalah bilanga cacah
Gambar 5.1
Gambar 5.2
y = (x + 2)2 y y = x2
–2 0 x
4
y
x
–1
1
y = (x –1)3
y = x3
122 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut.
f(x) = 2x4 – 3x2 + 5x – 6
g(x) = 2x2 – 7x + 10
Tentukan
a. f(x) + g(x) b. f(x) – g(x)
c. f(x) × g(x)
Jawab:
a. f(x) + g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) + (2x2 – 7x + 10)
= 2x4 – x2 – 2x + 4
b. f(x) – g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) – (2x2 – 7x + 10)
= 2x4 – 5x2 + 12x – 16
c. f(x) × g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) – (2x2 – 7x + 10)
= 2x4(2x2 – 7x + 10) – 3x2(2x2 – 7x + 10)
+ 5x(2x2 – 7x + 10) – 6(2x2 – 7x + 10)
= 4x6 – 14x5 + 20x4 – 6x4 + 21x3 – 30x2 + 10x3
– 35x2 + 50x – 12x2 + 42x – 60
= 4x6 – 14x5 + 14x4 + 31x3 – 77x2 + 92x – 60
Contoh 5.1
Misalkan, f(x) suku banyak
berderajat m dan g(x) suku
banyak berderajat n,
􀁴􀀁 f(x) + g(x) adalah suku
banyak yang derajatnya
adalah maksimum m
atau n.
􀁴􀀁 f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x))
adalah suku banyak
berderajat maksimum m
atau n.
􀁴􀀁 f(x) × g(x) adalah suku
banyak berderajat tepat
sama dengan
(m + n).
Ingatlah 2. Penjumlahan, Pengurangan,
dan Perkalian Suku Banyak
Diketahui, f(x) = –3x3 – x2 + 2x dan g(x) = x8 +2x5 – 15x2
+ 6x + 4.
• Penjumlahan suku banyak f(x) dengan g(x) adalah
f(x) + g(x)= (–3x3 – x2 + 2x) + (x8 + 2x5 – 15x2+ 6x + 4)
= x8 + 2x5 – 3x3 – 16x2 + 8x + 4
• Pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
adalah
f(x) – g(x)= f(x) + (–g(x))
= (–3x3 – x2 + 2x) + (–x8 – 2x5 + 15x2– 6x – 4)
= –x8 – 2x5 – 3x3 + 14x2 – 4x – 4
• Perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
adalah
f(x) × g(x) = (–3x3 – x2 + 2x) (x8 + 2x5 – 15x2 + 6x + 4)
= –3x11 – 6x8 + 45x5– 18x4 – 12x3 – x10 – 2x7 +
15x4 – 6x3 – 4x2 + 2x9 + 4x6 – 30x3 + 12x2 + 8x
= –3x11 – x10 + 2x9 –6x8 –2x7 + 4x6 + 45x5 –
3x4 – 48x3
Cobalah Anda tentukan g (x) – f(x) dan g(x) × f(x).
Apakah f(x) – g(x) = g(x) – f(x)?
Apakah f(x) × g(x) = g(x) × f(x)?
Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, kemudian bacakan
di depan kelas.
Suku Banyak 123
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Diketahui suku banyak
3x4 – 2x3 +4x2 – 7x + 15.
Tentukanlah:
a. derajat suku banyak
b. koefisien x
c. koefisien x2
d. koefisien x3
e. koefisien x4
f. suku tetap
2. Diketahui f(x) = –2x3, g(x) = 3x2 – 5x, dan
h(x) = 4 – 3x. Hitunglah:
a. f(x) . g(x)
b. f(x) .
c. f(x) .
d.
e.
B. Menentukan Nilai Suku Banyak
1. Cara Substitusi
Anda dapat menentukan nilai g(x) = sin 1
x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 untuk
x = 2
􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 dan x = 2
2􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵, yaitu
g 2
􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = sin
1
2 / 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = sin 􀁐
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = 1
g 2
2􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = sin 1
2 / 2􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = sin π = 0.
Akan tetapi, Anda akan mengalami kesulitan jika harus
menentukan g(π) = sin
1
􀁐
karena
1
􀁐
bukan merupakan sudut
istimewa.
Lain halnya dengan fungsi suku banyak, berapa pun nilai
yang diberikan pada peubahnya, Anda dengan mudah dapat
menentukan nilai suku banyak itu.
Diketahui, suku banyak P(x) = 3x4 – 2x2 + 5x – 6 maka
• untuk x = 1, diperoleh P(1) = 3(1)4 – 2(1)2 + 5(1) – 6 = 0
• untuk x = –1, diperoleh P(–1) = –10
• untuk x = 0, diperoleh = –6
• untuk x + 2 = 0 atau x = –2, diperoleh P(–2) = 24
• untuk x – 2 = 0 atau x = 2, diperoleh P(2) = 44
Kemudian, misalkan suku banyak P(x) = 5x3 + 4x2 – 3x – 2
maka
• untuk x = k + 1, diperoleh
P(k + 1) = 5 (k + 1)3 + 4 (k + 1)2 – 3 (k + 1) – 2
= 5 k3 + 19k2 + 20k + 4
Tokoh
Matematika
Girolarmo Cardano
(1501–1576)
Girolarmo Cardano
menerbitkan solusi
persamaan kubik (suku
banyak berderajat tiga) dalam
buku yang berjudul Ars
Magna (1545).
Sumber: Ensiklopedi Matematika
dan Peradaban Manusia, 2002
124 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
• untuk x = k – 1, diperoleh
P(k – 1) = 5 (k – 1)3 + 4 (k – 1)2 – 3 (k – 1) – 2
= 5k3 – 11k2 + 4k
• untuk x = –k
P(–k) = –5k3 + 4k2 + 3k – 2
• untuk x = –k + 1, diperoleh
P(–k + 1) = –5k3 + 19k2 – 20k + 4
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus
menentukan nilai suku banyak? Cobalah nyatakan rumus
tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah
Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.
Nilai suku banyak P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ...
+ a2x2+ a1x + a0, untuk x = k di mana k suatu bilangan
real adalah:
P(k) = ankn + an–1kn–1 + an–2kn–2 + ... + a2k2 + a1k + a0
2. Cara Skema
Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan
nilai tertentu bagi peubahnya akan lebih mudah jika Anda
menggunakan cara skema dibandingkan dengan cara
substitusi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.
Diketahui, P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6
P(x) dapat pula disusun sebagai berikut.
P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6
= 3x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 6
= (3x3 + 0x2 + 2x – 5) x + 6
= [(3x2 + 0x + 2) x – 5] x + 6
= [[(3x + 0 )x + 2] x – 5] x + 6 …(1)
Jika nilai x = 2 disubstitusikan pada persamaan (1)maka
P(2) secara bertahap diperoleh sebagai berikut.
P(x) = [[(3x + 0)x + 2] x – 5]x + 6
P(2) = [[(3 2 + 0)2 + 2]2 – 5]2 + 6 = [(6 2 + 2)2 – 5]2 + 6
= (14 2 – 5) 2 + 6 = 23 2 + 6 = 52
Mari menganalisis proses pada perhitungan tersebut.
• Langkah ke-1 menghitung 3 2 + 0 = 6
• Langkah ke-2 menghitung 6 2 + 2 = 14
• Langkah ke-3 menghitung 14 2 – 5 = 23
• Langkah ke-4 menghitung 23 2 + 6 = 52
Langkah-langkah itu dapat disajikan dalam bagan
(skema) sebagai berikut.
Suku Banyak 125
Perhitungan untuk memperoleh P(2) dapat disajikan
melalui skema berikut. Namun, amatilah bahwa ada dua
operasi dalam proses ini, yaitu perkalian dan penjumlahan.
• Nilai x = 2 dituliskan pada baris pertama skema,
kemudian diikuti oleh koefisien setiap suku dari pangkat
tertinggi ke terendah dan suku tetap.
• Operasi aljabar pada skema tersebut adalah perkalian
dan penjumlahan.
• Tanda panah menyatakan “kalikan dengan nilai x = 2”.
x = 2 3 0 2 –5 6
3(2) 6(2) 14(2) 23(2)
3 6 14 23 52 P(2)
Secara umum, perhitungan nilai suku banyak
P(x) = anxn + an–1xn-1 + an–2
x n–2 + .... + a2
x 2 + a1x + a0
untuk x = k menggunakan cara skema, diperlihatkan pada
Gambar 5.3.
dengan:
An = an
An – 1 = An(k) + an – 1
An – 2 = An–1(k) + an – 2 . .
. .
. .
A2 = A3(k) + a2
A1 = A2(k) + a1
A0 = A1(k) + a0
an x = k
An(k)
An A1
an–1 an–2 a2 a0 ...
An–1 An–2
... A2
An–1(k) A3(k) A2(k) A1(k)
A0
a0
P(k)
Cara menghitung nilai suku banyak dengan menggunakan
skema ini merupakan dasar untuk melakukan pembagian suku
banyak dengan cara Horner (W. G. Horner 1786–1837).
Apakah fungsi-fungsi berikut
merupakan fungsi polinom
atau bukan? Sebutkan
alasannya.
a. P(x) = 3x3 – 2
b. P(x) = 0
c. P(x) =
1
2
2
d. P(x) = 10
e. P(x) =
x
x
􀀍
􀀍
1
2 1
Tantangan
untuk Anda
1. Hitunglah nilai f(x) = 2x4 – 4x3 + 4x – 2 untuk x = –6
menggunakan cara skema.
2. Suku banyak f(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 – px + 10, untuk x = 2
adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?
Contoh 5.2
Gambar 5.3
Skema proses perhitungan P(k).
126 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jawab:
1. 4
+
96 (–6)
–572
2 –4 0
+ +
2(–6) –16 (–6)
2 –16 96
–2
+
–572 (–6)
3.430
Jadi, f(–6) = 3.430.
2. 0
+
4(2)
8
2 –3 2
+ +
2(2) 1(2)
2 1 4
– p
+
8(2)
16 – p
32 – 2p
42 – 2p
10
+
f(2) = 38
f(2) = 42 – 2p
􀂙38 = 42 – 2p
􀂙2p = 4
􀂙 p = 2
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan nilai p jika diketahui suku
banyak f(x) dan nilai f(x) sebagai berikut.
a. f(x) = 3x5 + 6x4 – px3 + 10x – 5 dan
f(–2) = 39
b. f(x) = x7 – px5 + 2x4 + px3 – 2x + 1 dan
f(–2) = 5
2. Hubungan antara jarak yang ditempuh
x(t) dan waktu yang dibutuhkan (t) untuk
gerak sebuah mobil dinyatakan oleh x(t)
= 48t2 – 3t. Dalam hal ini x(t) dalam meter
dan t dalam menit.
a. Tentukanlah: x(2)
b. Hitunglah jarak mobil setelah bergerak
5 menit dihitung dari titik asal.
3. Jika suku banyak 2x3 – 9x2 – 8x + 11
= (Ax + B) (x – 5) (x – 1) + C, tentukan
nilai A, B, dan C.
4. Jika 5 4 3
2 5 6 3
2
3 2
x 4x
x 2x x
A
x
􀀍 Bx C
􀀋
􀀝 􀀋
􀀋
􀀈x 1􀀉􀀈x􀀋2􀀉
,
tentukan nilai A, B, dan C.
5. Data berikut menampilkan biaya (C) per
minggu untuk mencetak buku sebanyak x
buah (dalam ribuan).
Banyak Buku (x) Biaya (C)
0 100
5 128,1
10 144
13 153,5
17 161,2
18 162,6
20 166,3
23 178,9
25 190,2
27 221,8
a. Carilah selisih biaya mencetak 10.000
buku dan 13.000 buku.
b. Data tersebut dapat dimodelkan oleh
fungsi
C(x) = 0,015x3 – 0,595x2 + 9,15x
+ 98,43
Dengan menggunakan fungsi ini,
prediksikan biaya mencetak 22.000
buku per minggu.
Suku Banyak 127
C. Pembagian Suku Banyak
1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi,
dan Sisa Pembagian
Masih ingatkah Anda dengan pembagian bersusun pada
bilangan bulat? Jika ya, coba tentukan pembagian 156 oleh
8. Proses pembagian suku banyak pun mempunyai proses
yang hampir sama dengan pembagian bilangan bulat. Untuk
mengetahui hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak, Anda
perlu menguraikan suku banyak menjadi perkalian beberapa
suku banyak. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
Amati perkalian-perkalian berikut.
a. (x + 1)(x + 2)(2x – 3) = (x2 + 3x + 2)(2x – 3)
= 2x3 + 3x2 – 5x – 6
b. (x – 1)(x3 – 3) = x4 – x3 – 3x + 3
Amatilah proses perkalian tersebut dengan saksama. Dari
perkalian (x + 1)(x + 2)(2x – 3), dihasilkan suatu suku
banyak 2x3 + 3x2 – 5x – 6. Dengan kata lain, jika diberikan
atau diketahui suatu suku banyak, dapatlah suku banyak itu
difaktorkan. Dengan demikian, Anda dapat lebih mudah
melakukan pembagian terhadap suatu suku banyak.
Diketahui, P(x) = x3 – 7x2 + 4x + 50 adalah suku banyak
berderajat 3.
Pembagian P(x) oleh x – 3 dengan cara pembagian biasa
adalah sebagai berikut.
x ) x x
x x
3)􀀍7 􀀋 4x􀀋􀀋50
3
3 2
3 2




􀀍 􀀋
􀀍 􀀋
4 4
4 12
2
2
􀀋􀀋 4x
􀀋􀀋12x
􀀍 􀀋
􀀍 􀀋
8 50
8 24
26
x2 4x 8
Coba Anda jelaskan langkah-langkah yang dilakukan
dalam pembagian tersebut. (x – 3) adalah pembagi dari P(x),
sedangkan hasil bagi dari P(x) adalah x2 – 4x – 8 dan sisa
pembagiannya adalah 26.
Jadi, (x3 – 7x2 + 4x + 50) : (x – 3) = x2 – 4x – 8 dengan
sisa 26. Akibatnya, suku banyak P(x) dapat ditulis sebagai
x3 – 7x2 + 4x + 50 = (x – 3 ) (x2 – 4x – 8) + 26 atau
P(x) = (x – 3) × H(x) + sisa … (i),
Ada beberapa lambang
yang digunakan untuk
pembagian. Lambang yang
paling umum digunakan
adalah seperti tanda kurung
dengan garis horizontal pada
bagian atasnya 􀀈) 􀀉. Tanda
kurung diperkenalkan pada
awal tahun 1500. Beberapa
waktu kemudian, tanda garis
horizontal ditambahkan.
Adapun lambang “ : “
(disebut obelus) kali pertama
digunakan sebagai pembagi
sekitar tahun 1650. Lambang
tersebut diperkenalkan oleh
Matematikawan Inggris, John
Pell.
There are several different
symbol names used or
associated with division. The
most common looks like a close
parenthesis with a horizontal bar
extending to the right at the top .
The parenthesis was introduced
in the early 1500’s and over time
the bar was added, but when
it first occurred is unclear. The
symbol “÷” is called an obelus,
and was first used for a division
symbol around 1650. The
invention is often credited to
British Mathematician John Pell.
Sumber: www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Informations
for You
128 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
dengan H(x) = x2 – 4x – 8 dan sisa = 26.
Jika nilai x = 3 disubstitusikan pada persamaan (i),
diperoleh
P(3) = (3 – 3 ) × H(3) + sisa = 0 × H(3) + sisa = sisa
Jadi, sisa pembagian oleh (x – 3) terhadap P(x) adalah
P(3).
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum pembagian suku banyak? Cobalah nyatakan bentuk
tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pembagian
suku banyak yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
ketentuan berikut.
Sisa pembagian oleh (x – k) terhadap
P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + .... + a2x2 + a1x + a0
adalah P(k) atau P(x) = (x – k) H(x) + sisa dengan sisa =
P(k).
Tentukan sisa pembagian untuk suku banyak (3x4 + 2x2 + 5x – 1)
: (x – 1).
Jawab:
Sisa = P(1) = 3.14 + 2.12 + 5.1 – 1 = 9.
Contoh 5.3
2. Pembagian Suku Banyak dengan Cara
Horner
a. Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)
Anda telah mengetahui P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2
x n – 2
+ … + a2
x 2 + a1x+a0 dibagi (x – k) hasil baginya adalah H(x)
dan sisanya P(k). Secara matematis, ditulis P(x) = (x – k)H(x)
+ sisa, dengan sisa = A0 = P(k).
Diketahui P(x) = a3x3+ a2 x2 + a1x+ a0 dan (x – k) adalah
pembagi P(x). Oleh karena P(x) berderajat 3 dan (x – k)
berderajat 1 maka derajat H(x) adalah (3 – 1) = 2 dan derajat
sisa adalah (1 – 1) = 0.
Diketahui, H(x) = b2
x 2+ b1x + b0 dan sisa = Ao maka suku
banyak P(x) dapat ditulis
a3x3 + a2
x 2 + a1x + a0= (x – k)(b2
x 2 + b1x + b0) + A0
a3
x x3+ a2
x x2 + a1x+ a 0 = b2
x x3 + (b1 – b2k)x2 + (b 0 – b1k)x + (A 0 – b 0 k)
nilai koefisien sama
Soal Terbuka
Jelaskan dengan kata-kata
Anda sendiri cara pembagian
suatu suku banyak P(x) oleh
(x – k) dengan menggunakan
cara Horner.
Suku Banyak 129
Berdasarkan kesamaan suku banyak tersebut (pada
kedua ruas), Anda dapat menentukan nilai b2, b1, b0, dan A0
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
• Langkah ke-1: b2= a3
• Langkah ke-2: b1 – b2k= a2 􀁬 b1 = a2 + b2k = a2 + a3k
• Langkah ke-3: b 0 – b1k = a1 􀁬 b 0 = a1+b1k = a1+(a2+ a3k)k
= a1+ a2k + a3k2
• Langkah ke-4: A0 – b0k= a0 􀁬 A0= a0+ b0k
= a0 +(a1+ a2k + a3k2)k
= a0+a1k + a2k2+ a3k3.
Proses perhitungan nilai b2, b1, b0, dan A0 dapat disajikan
dalam skema berikut.
a0
+
(a1+a2k+a3k2)k
a0+a1k+a2k2 +a3k3
􀁭
A0
x = k a3 a1 a2
+ +
a3k (a2+a3k)k
a1+a2k+a3a k2 2+a3a k 3
􀁭
b2
􀁭
b1
􀁭
b0
1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari
(4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (x –5) menggunakan cara Horner.
2. Jika fungsi suku banyak P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + px2 + 41x
+ 6 habis dibagi dengan (x – 3), tentukan nilai p.
Jawab:
1.
Jadi, hasil bagi dari (4x3 – 10x2 + 14x – 15) oleh (x –5) adalah
4x2 + 10x + 64 dan sisanya adalah 305.
2.
P􀀈x􀀉􀀝 6x5 􀀋􀀋 41x4 􀀋􀀋97x3 􀀋􀀋 px2 􀀋􀀋 41x􀀋􀀋6habis dibagi dengan
(x – 3) maka sisa pembagiannya sama dengan nol sehingga
7.527 + 9p = 0
Contoh 5.4
x = 5 –15
+
320
305
4 –10 14
+ +
20 50
4 10 64
p
+
2.466 + 3p
2.507+ 3p
x = 3 6 41 97
+ +
18 822
6 59 274
7.521+ 9p
7.527+ 9p
41
+
6
+
177
822 + p
130 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)
Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku
banyak (x3 – 2x2 + 3x – 5) : (2x + 3), terlebih dahulu Anda
harus menuliskan bentuk (2x + 3) menjadi 2(x +
3
2
).
Dengan demikian,
(x3 – 2x2 + 3x – 5) : (2x + 3) = (x3 – 2x2 + 3x – 5) : 2(x +
3
2
).
Dengan menggunakan cara Horner untuk x = –
3
2
,
diperoleh skema sebagai berikut.
x = – 1 –2 3 –5
3
2
1
=b2 =b1 =b0 =A0 = sisa
1
3
2
􀂤􀀍
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤􀀍
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤􀀍
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
7
2
3
2
33
4
3
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵 􀂵 􀂵
􀂤􀀍
􀂦 􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍7
2
33
4
􀀍139
8
Jadi, H(x) =
x2 7
2
33
4
2
1
8
􀀍 x􀀋
􀀝 􀀈4x2 14x􀀋33􀀉 dan
A0 =
1
8
􀀈􀀍139􀀉.
Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan
sebagai berikut.
Diketahui, k = –
b
a
maka bentuk (x – k) dapat dinyatakan
sebagai
x – k = x
b
a
b
a
􀀍 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸
􀂷
􀂸 􀂸 􀀝 x􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂧
􀂩
􀂨 􀂧
􀂨 􀂩
􀂷
􀂹􀂹
􀂸 􀂷
􀂸􀂹􀂹􀂹􀂹
􀂸􀂸
Pembagian suku banyak P(x) oleh (x +
b
a
) memberikan
hubungan berikut.
P(x) = (x +
b
a
) H(x) + sisa
=
1
a
(ax + b) H(x) + sisa
= (ax + b) H
a
􀂧
􀀈x􀀉
􀂩
􀂨 􀂧
􀂨 􀂩
􀂨􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸 􀂹
􀂸􀂸 + sisa ....(*)
Dari contoh tersebut, jika
pembagian suku banyak
menghasilkan sisa sama
dengan nol, dikatakan P(x)
habis dibagi oleh (x – k) dan
(x – k) disebut faktor dari P(x).
Ingatlah
􀂙9p = –7.527
􀂙 p 􀀝 􀀍836
1
3
Suku Banyak 131
Persamaan (*) merupakan suku banyak P(x) dibagi
(ax + b) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian.
Nilai sisa dan koefisien-koefisien H(x) ditentukan dengan
cara pembagian Horner untuk x = –
b
a
.
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari
(4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (2x – 5) menggunakan cara Horner.
Jawab:
x 􀀝
5
2 –15
+
35
20
4 –10 14
+ +
10 0
4 0 14
Jadi, hasil baginya adalah
4 14
2
2 7
2
x 􀀋 2
􀀝 2x 􀀋 dan sisanya
adalah 20.
Contoh 5.5
Dari Contoh 5.4 No. 2
diperoleh sisa pembagian
adalah nol. Dikatakan suku
banyak P(x) habis dibagi oleh
ax + b.
Ingatlah
Tugas
Buatlah kelompok yang terdiri
atas 4 orang. Setiap kelompok
membuat masing-masing 5
soal pembagian suku banyak
dengan (x – k) dan (ax + b).
Kemudian, tentukan hasil bagi
dan sisa pembagian setiap
soal. Terakhir, selidiki derajat
hasil bagi dan sisa pembagian
setiap soal tersebut.
Apa yang Anda peroleh
mengenai derajat hasil bagi
jika dibandingkan derajat P(x)
dan pembagi? Bagaimana
dengan derajat sisa pembagian
terhadap derajat
pembagi? Apakah hasil
yang Anda peroleh berlaku
umum? Untuk itu, cari di
buku internet atau tanya ahli
matematika mengenai hal ini.
Tulis dan laporkan hasilnya di
depan kelas.
c. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c,
dengan a ≠ 0
Pembagian (x3 – x2 + 4x – 4) oleh (x2 – 1) dapat dituliskan
sebagai berikut:
P(x) = (x2 – 1 ) H(x) + sisa = (x + 1) (x – 1) H(x) + (A1x + A0)
untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A0+ A1(1) ) = A1+ A0
untuk x = –1 diperoleh, P(–1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(–1))
= – A1 + A0
–4
+
4(1)
0
1 –1 4
+ +
1(1) 0(1)
1 0 4
P(1) = 0
x = 1
132 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Dari pembagian Horner ini diperoleh
P(1) = 0 maka A0 + A1 (1) = 0 􀂜A0 + A1 = 0
P(–1) = –10 maka A0 + A1 (–1) = –10 􀂜A0 – A1 = –10
– 2A0 = –10
A0 = –5 dan A1= 5
Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1 x, yaitu
–5 + 5x.
Coba Anda tentukan pembagian (x3 – x2 + 4x –4) : (x2 – 1)
dengan pembagian biasa seperti pada bilangan bulat. Adapun
hasil bagi ditentukan sebagai berikut.
Jadi, H(x) = b1x + b0 = x – 1. Coba amati kembali bagan
tersebut. Sisa dari pembagian mana angka 5?
Untuk pembagian suku banyak oleh P(x) = ax2 + bx + c,
a ≠ 0, di mana P(x) tidak dapat difaktorkan maka digunakan
cara pembagian biasa, seperti pada bilangan. Adapun untuk
P(x) yang dapat difaktorkan digunakan cara pembagian biasa
dan skema Horner.
–4
+
6(–1)
–10
1 –1 4
+ +
1(–1) –2(–1)
1 –2 6
P(–1) = –10
x = –1
–4
+
4(1)
0
1 –1 4
+ +
1(1) 0(1)
1 0 4
1(–1)
1 –1 5
–1(–1)
| | | |
b1 b0
x 􀀝 1
x 􀀝 􀀍1
+
Suku Banyak 133
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian
dari pembagian-pembagian berikut ini
dengan cara biasa dan cara Horner.
a. (3x4 – 2x2 + 5x + 1) : (x + 1)
b. (6x3 – 4x2 + 2x) : (x – 1)
c. (2x5 – 5x3 + x2 – 1) : (x + 2)
d. (100x4 – 81) : (x – 3)
2. Tentukan sisa pembagian untuk suku
banyak berikut.
a. (2x4 – 3x3 + 2x² – 5) : (x – 2)
b. (3x4 – 4x² + 10) : (x + 3)
c. (5x5 – 2x4 + 3x3 – x2 + 6) : (x + 2)
d. (7x7) – 2x5 + 4x3 – 2x2 + x) : (x + 1)
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian
dari soal berikut dengan cara Horner.
a. (2x4 – 5x3 + 3x2 – x + 1) : (x – 3)
b. (6x4 – 5x3 + 3x – 10) : (2x – 3)
c. (8x5 + 2x4 + 13x3 – 17x – 2) : (4x + 3)
d. (2x6 – x5 + 3x3 + x2+ 9x – 5) : (2x + 3)
e. (2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 7) : (x2 – x + 3)
f. (6x4 + x3 + x2 + 7x) : (3x2 + 5x + 2)
D. Teorema Sisa
Diketahui, P(x) = anxn + an – 1 xn – 1+ … + a2
x 2+ a1x+ a0.
Cara Anda menentukan sisa pembagian dari pembagian suku
banyak P(x) oleh bentuk (x – k), (ax + b), dan (ax2 + bx + c),
baik dengan cara Horner maupun dengan cara pembagian
biasa telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya.
Sekarang amatilah persamaan berikut:
P(x) = f(x) . H(x) + S
P(x) : suku banyak yang dibagi
f(x) : pembagi
H(x) : hasil bagi
S : sisa pembagian
Jika P(x) berderajat n dan f(x) berderajat m (m ≤ n) maka
derajat H(x) dan S masing-masing sebagai berikut.
• derajat H(x) adalah (n – m)
• derajat maksimum S adalah (m – 1)
1. Pembagian dengan Pembagi (ax + b)
Jika f(x) = ax + b, merupakan pembagi dari P(x) maka
hubungan antara P(x) dan f(x) dapat ditulis sebagai berikut.
P(x) = (ax + b)
H
a
􀂧
􀀈x􀀉
􀂩
􀂨 􀂧
􀂨 􀂩
􀂨􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸 􀂹
􀂸􀂸 + S, berlaku untuk setiap x bilangan real.
134 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Carilah sisa pembagian dari (4x3 + 2x2 – 4x + 6) : (x – 3) tanpa
melakukan pembagian terlebih dahulu.
Jawab:
Suku banyak P(x) = 4x3 + 2x2 – 4x + 6 dibagi dengan (x – 3)
sisanya adalah
S = P
3
1
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
= P(3) (berdasarkan Teorema 6.1).
Jadi, dengan menyubstitusikan x = 3 ke dalam fungsi P(x),
diperoleh
P(3) = 4 . 33 + 2 . 32 – 4 . 3 + 6 = 120.
Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah 120.
Contoh 5.6
Oleh karena f(x) berderajat satu maka S berderajat nol.
Jadi, konstanta S sama dengan A0.
Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakan
teorema berikut.
Teorema 5.1
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b)
maka sisanya adalah P( 􀀍
b
a
).
Bukti: harus ditunjukkan bahwa S P
b
a
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵. Jika suku
banyak P(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b), bentuk
pembagian itu dituliskan sebagai berikut
P(x) = (ax + b) H
a
􀂧
􀀈x􀀉
􀂩
􀂨 􀂧
􀂨 􀂩
􀂨􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸 􀂹
􀂸􀂸 + S … (1)
Selanjutnya, substitusikan nilai x = 􀀍
b
a
ke persamaan
(1) sehingga diperoleh
P( 􀀍
b
a
) = [a ( 􀀍
b
a
) + b].
H
b
a
a
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
+ S
= (–b + b) .
H
b
a
a
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
+ S
P( 􀀍
b
a
) = S.
Jadi, sisa = P( 􀀍
b
a
). Teorema terbukti.
Suku Banyak 135
Tentukanlah p agar pembagian (6x2+ 7x – 5) : (px – 1) menghasilkan
sisa pembagian yang bernilai 0.
Jawab:
Suku banyak P(x) = 6x2 + 7x – 5 dibagi dengan (px – 1), sisanya
adalah
S = P
1
p
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 (berdasarkan Teorema 5.1). Jadi, dengan
menyubstitusikan
x =
1
P
ke dalam fungsi P(x), diperoleh
P
1
p
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 = 6
1 2
p
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 + 7
1
p
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 – 5
=
6 7
5 P2 p 􀀋 􀀍
sehingga sisa pembagian adalah S =
6 7
5 P2 p 􀀋 􀀍 .
Sisa pembagian sama dengan nol maka berlaku
6 7
5 P2 p 􀀋 􀀍 = 0
􀂙
􀀋 􀀍
􀀝
67 5
0
2
2
pp
p
􀂙
􀀍 􀀋
􀀝
5 􀀋 7 6
0
2
2
p 􀀋􀀋 p
p
Penyebut tidak boleh sama dengan nol sehingga
–5p2 + 7p + 6 = 0
5p2 – 7p – 6 = 0
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
p1, 2 =
7 4 5
2 5
7 13
10
2 􀁯 􀀈 7􀀉 􀀍􀀈􀀍6􀀉
􀀝
p1=
7 13
10
2
7 13
10
3
5 2
􀀋
􀀝 􀀝 atau p 􀀝􀀍
Jadi, p1 = 2 atau p2 = 􀀍
3
5
.
Contoh 5.7
Tokoh
Matematika
Evariste Galois
(1811–1832)
Pada usia 20 tahun telah
membuktikan persamaan
suku banyak lebih dari empat
tidak bisa diselesaikan secara
langsung.
Sumber: www-history
mcs.st-andrews.ac.uk
136 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Pembagian dengan Pembagi (x – a)(x – b)
Suatu suku banyak p(x) yang dibagi oleh f(x) = (x – a)
(x – b), dapat dituliskan sebagai berikut.
P(x) = (x – a) (x – b) H(x) + S … (1)
berlaku untuk setiap x bilangan real.
f(x) = (x – a) (x – b) berderajat 2 sehingga sisanya
berderajat maksimum satu, atau S = A0 + A1x.
Coba Anda jelaskan mengapa sisanya berderajat
maksimum satu.
Dengan demikian, persamaan (1) dapat dituliskan
sebagai berikut.
P(x) = (x – a) (x – b) . H(x) + A1x + A0
Sisa dapat ditentukan dengan teorema sisa, yaitu sebagai
berikut.
• Untuk pembagi (x – a), diperoleh sisa
P(a) = 0 . H(a) + A1(a) + A0
= A1a + A0 … (2).
• Untuk pembagi (x – b), diperoleh sisa
P(b) = 0 . H(b) + A1(b) + A0
= A1b + A0 … (3).
Dari persamaan 2 dan 3, dapatkah Anda menemukan
rumus berikut.
A
P P
a b
A
aP bP
a b 1 0 􀀝 􀀈a􀀉􀀍 􀀈b􀀉
􀀝
􀀈b􀀉 􀀈a􀀉
dan
Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 8. Adapun jika
P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6), sisanya (3x – 6). Berapa sisa pembagian
P(x) oleh (x2 – 4)?
Jawab:
Pernyataan P(x) dibagi oleh (x – 2) bersisa 8 dapat ditulis dalam
bentuk persamaan
P(x) = (x – 2) H(x) + 8 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.
Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 8.
Pernyataan P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6) bersisa (3x – 6) dapat
ditulis dalam persamaan
P(x) = (x – 3) (x + 2) H(x) + 3x – 6 yang berlaku untuk setiap x
bilangan real.
• Untuk x = 3, diperoleh P(3) = 3.
• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –12.
Contoh 5.8
Pembahasan Soal
Suatu suku banyak P(x) dibagi
oleh (x2 – 1) sisanya (12x – 23)
dan jika dibagi oleh (x – 2)
sisanya 1. Sisa pembagian
suku banyak oleh (x2 – 3x + 2)
adalah ....
Jawab:
(x2 – 1) = (x + 1)(x – 1)
Jika P(x) dibagi (x – 1), sisanya
S = f(1) = 12(1) – 23 = – 11.
Jika P(x) dibagi (x – 2) sisa
S = f(2) = 1 (diketahui).
Jika P(x) dibagi (x2 – 3x + 2)
= (x – 2)(x – 1) sisanya adalah
S
f f
x
f f
􀀝
􀀈 􀀉 􀀈 􀀉
􀀋
􀀈 􀀉 􀀈
􀀉
2􀀍1
2f 1f 2􀀍1
􀀝
􀀈 􀀉
􀀋
1􀀍􀀈􀀍 􀀈 􀀉 􀀈 􀀉
1
2􀀈􀀍 􀀉􀀍1
1
x
S = 12x – 23
Soal Ebtanas 1999
Suku Banyak 137
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukanlah sisa pembagian soal-soal
berikut tanpa melakukan pembagian
terlebih dahulu.
a. (16x4 + 8x3 – 4x + 5) : (2x – 1)
b. (81x4 – 27x3 + 9x2 – 3x + 1) : (3x + 2)
2. Buktikan bahwa
a. (2a3 + 3a2b – b3) habis dibagi oleh
(2a – b)
b. (p4 – 8q4 – 2p2q2) habis dibagi oleh
(p +2q)
3. Tentukan sisa pembagian dari soalsoal
berikut menggunakan teorema
pembagian.
a. (x2 – 2y2 + xy) : (2x – y)
b. (p2 – 6q2 + pq) : (3q + p)
4. Tentukan nilai p agar pembagian berikut
memiliki sisa S sebagai berikut.
a. (2x4 + px2(3x + 2) – 11x – 3) : (x + 3)
dan S = 3
b. (x5 + x4– px2(x + 1) + 9x + 14) : (x – 3)
dan S = 5
5. Tentukan nilai p jika (x3 – 4x2 + 5x + p) dan
(x2 + 3x – 2) dibagi (x + 1) memberikan
sisa yang sama.
6. Tentukan nilai p dan q jika (x4 + px3
+ (q – 14)x2 + 28x – 15) habis dibagi
oleh (x2 – 2x + 1)
7. Jika P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 5
dan jika dibagi (x – 1) sisanya 4. Tentukan
sisanya jika P(x) dibagi (x2 – 3x + 2).
8. Jika P(x) dibagi (x2 – 4), sisanya (3x – 7)
dan jika dibagi (x2 – 9), sisanya (5x – 13).
Tentukan sisanya jika P(x) dibagi oleh
(x +1).
Misalkan, sisa pembagian P(x) oleh x2 – 4 adalah S = A1 x + A0
maka bentuk pembagian dapat dituliskan dalam persamaan
P(x) = (x + 2) (x – 2) H(x) + A1 x +A0 yang berlaku untuk setiap
x bilangan real.
• Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 2A1 + A0 = 8 ....(*)
• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –2A1 + A0 = –12 ....(**)
Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh
A0 = –2 dan A1 = 5 (coba buktikan!)
Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x2 – 4) adalah
S = 5x – 2.
E. Teorema Faktor
1. Pengertian Teorema Faktor
Pandanglah suku banyak P(x) dan pembagi ax + b.
Kemudian, amati kembali Teorema 5.1 dengan saksama. Jika
sisanya 0, apa yang terjadi dengan (ax + b)? Sebagai akibat
dari Teorema 5.1, jika sisa P 􀀍
􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸
􀂷
􀂸 􀂸
b
a
= 0 maka
138 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tunjukkan bahwa (x + 5) merupakan faktor dari
P(x) = x3 + 4x2 + 11x + 30.
Jawab:
Untuk memeriksa apakah (x – k) merupakan faktor dari P(x), Anda
cukup menunjukkan bahwa P(k) = 0. Adapun P(k) dapat dihitung
dengan cara substitusi atau cara Horner.
P(–5) = (–5)3 + 4(–5)2 + 11(–5) + 30 = 0.
Oleh karena P(–5) = 0 maka (x + 5) merupakan faktor dari P(x).
Contoh 5.9
Teorema 5.2
Jika P(x) = anxn + an–1 . xn–1 + . . . + a1 . x + a0 dengan ai bilangan
bulat, i = 1, 2, ..., n dan p bilangan bulat dengan p merupakan harga
nol dari P(x) maka p adalah pembagi a0.
:
Misal, p bilangan bulat yang merupakan harga nol P(x)
maka
P(p) = an
p n + an–1 . pn–1 + … + a1 p + a0 = 0
an
p n + an–1 . p
n–1 +… + a1 p = –a 0
p(an . pn–1 + an–1 . pn–2 + … + a1) = –a0
Oleh karena p adalah bilangan bulat dan ai juga adalah
bilangan bulat maka ruas kiri persamaan tersebut merupakan
bilangan bulat.
Jadi, p pembagi dari a0 (terbukti).
Selain untuk menentukan
faktor suatu suku banyak,
teorema faktor dapat
pula digunakan untuk
menentukan koefisienkoefisien
suku banyak yang
belum diketahui.
Contoh
Tentukan nilai k sehingga
(x + 3a) merupakan faktor dari
x3 + (ak + 2a) x2 + 18a3
Jawab:
Berdasarkan teorema faktor
maka
f(–3a) = 0
(–3a)3 + (ak + 2a) (–3a)2 + 18a3
= 0
–27a3 + (ak + 2a) 9a2 + 18a3
= 0
–27a3 + 9a3k + 18a3 + 18a3 = 0
(–27 + 9k + 36) a3 = 0
(9 + 9k) a3 = 0
atau
9 + 9k = 0
9k = –9
k = –1
Ingatlah
P(x) = (ax + b) H x
a
􀂧 􀀈 􀀉
􀂩
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂸
+ 0
􀂙 P(x) = (ax + b) H x
a
􀂧 􀀈 􀀉
􀂩
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂸
dengan a ≠ 0.
Hal ini menunjukkan bahwa (ax + b) adalah suatu
faktor dari P(x). Dengan demikian, dapat dikatakan jika
P(x) adalah suatu polinom, ax + b adalah pembagi, dan sisa
pembagiannya adalah 0 atau P
b
a
􀂤􀀍
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
􀀝 0 maka ax + b adalah
faktor dari P(x).
Suku Banyak 139
Tentukanlah faktor-faktor dari P(x) = x 3 + 4x2 + x – 6.
Jawab:
P(x) berderajat 3 sehingga maksimum faktornya berderajat satu
yang diperoleh 3 buah. Jika (x – k) merupakan faktor dari P(x) = x3
+ 4x2 + x – 6 maka nilai k yang diperoleh adalah pembagi bulat dari
–6, yaitu ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k tersebut disubstitusikan
pada P(x).
• Untuk k = –1 􀂜 P(–1) = (–1)3 + 4(–1)2 + (–1) – 6 = –4.
P(–1) ≠ 0 maka (x + 1) bukan faktor dari P(x).
• Untuk k = 1 􀂜 P(1) = 13 + 4 . 12 + 1 – 6 = 0.
P(1) = 0 maka (x – 1) faktor dari P(x).
• Untuk k = –2 􀂜 P(–2) = (–2)3 + 4(–2)2 – 2 – 6 = 0
P(–2) = 0 maka (x + 2) faktor dari P(x).
• Untuk k = 2 􀂜 P(2) = 23 + 4 . 22 + 2 – 6 = 20
P(2) ≠ 0 maka (x – 2) bukan faktor dari P(x).
• Untuk k = –3 􀂜 P(–3) = (–3)3 + 4(–3)2 – 3 – 6 = 0
P(–3) = 0 maka (x + 3) faktor dari P(x).
• Untuk k = 3 􀂜 P(3) = 33 + 4 . 32 + 3 – 6 = 60
P(3) ≠ 0 maka (x – 3) bukan faktor dari P(x).
Jadi, P(x) = x3 + 4x2 + x – 6 mempunyai satu faktor linear
(x – 1), (x + 2), dan (x + 3).
Contoh 5.10
2. Penggunaan Teorema Faktor untuk
Mencari Akar Persamaan Suku Banyak
Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk:
P(x) = anxn + an–1
. xn–1 + … a1x + a0
(x – k) adalah faktor linear P(x) jika dan hanya jika k akar
persamaan P(x) = 0. Jika suku banyak P(x) berderajat nmaka
persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.
Tentukan akar-akar bulat untuk suku banyak x2 – 2x – 3 = 0.
Jawab:
Akar bulat untuk x2 – 2x – 3 adalah pembagi bulat dari –3, yaitu
k = {±1, ±3}.
Suku banyak P(x) = x2 – 2x – 3 berderajat 2 sehingga maksimum
banyak akar persamaan adalah dua. Untuk memperoleh akar-akar
tersebut, hitunglah P(k) untuk setiap nilai k. (lihat Teorema 5.2)
Contoh 5.11
Hal Penting
􀁴 􀁔􀁖􀁌􀁖􀀁􀁃􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌
􀁴 􀁕􀁆􀁐􀁓􀁆􀁎􀁂􀀁􀁔􀁊􀁔􀁂
􀁴 􀁔􀁖􀁌􀁖􀀁􀁕􀁆􀁕􀁂􀁑
􀁴 􀁑􀁆􀁎􀁃􀁂􀁈􀁊􀁂􀁏􀀁􀁔􀁖􀁌􀁖􀀁􀁃􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌
􀁴 􀁄􀁂􀁓􀁂􀀁􀀩􀁐􀁓􀁏􀁆􀁓
􀁴 􀁕􀁆􀁐􀁓􀁆􀁎􀁂􀀁􀁇􀁂􀁌􀁕􀁐􀁓
140 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab E
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Periksalah apakah soal-soal berikut ini
merupakan faktor dari
P(x) = x4 – 2x3 – 13x2 + 14x + 24
a. (x – 1) d. (x + 2)
b. (x + 1) e. (x – 3)
c. (x – 2) f. (x + 3)
2. Tentukan p dari P(x) = 2x4 + x3 – 45x2 – 58x
+ p agar P(x) memiliki faktor
a. (x + 1)
b. (2x – 1)
3. Tentukan faktor-faktor dari suku banyak
berikut.
a. P(x) = x4 + 3x2 – 5x + 1 = 0
b. P(x) = 2x4 + x3 – 14x2 – 19x – 6
c. P(x) = 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2
d. P(x) = 4x4 + 5x3 + 7x2 – 34x + 8
4. Jika (x +1) merupakan faktor suku banyak
berikut ini, tentukan faktor lainnya.
a. px3 + x2 – 2x – 1
b. x3 + px2 – 5x – 6
c. px3 + 11x2 – 6x – 8
d. 2x4 + px3 – 29x2 – 17x + 15
5. Tentukan akar bulat dari persamaan
berikut.
a. 2x3 – x2 + 8x – 4 = 0
b. 4x4 – 15x2 + 5x + 6 = 0
c. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0
d. x3 + 2x2 + ( 2 – 4)x – 2 = 0
6. Tunjukkan bahwa (x – 1) adalah faktor dari
suku banyak xn – 1 untuk setiap n bilangan
asli.
7. Tentukan nilai p agar pecahan berikut ini
dapat disederhanakan.
a. x p
x x
3 2
2
1
3x2 2 1
􀀋2 px2 􀀋
􀀍
b.
2 3
3 8 5
2 2
3 8 2
x p x
x x
px
􀀋8x2 􀀍 􀀋
8. Jika suku banyak x3 + p(x2 – 3) – qx dan
x3 + (p – 2)2 – q(x + 3) mempunyai sebuah
faktor berderajat dua yang sama, tentukan
nilai p dan q.
9. Sebuah tangki gas berbentuk seperti pada
gambar berikut.
Jika panjang tangki gas 10 m dan volumenya
20 π m3, tentukan jari-jari tangki gas.
10 m
x
• Untuk k = 1 􀁬 P(1) = 12 – 2 . 1 – 3 = –4.
P(1) ≠ 0 sehingga x = 1 bukan akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
• Untuk k = –1 􀁬 P(–1) = (–1)2 – 2(–1) – 3 = 0.
P(–1) = 0 sehingga x = –1 akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
• Untuk k = 3 􀁬 P(3) = 32 – 2 . 3 –3 = 0.
P(3) = 0 sehingga x = 3 akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
Dua buah akar persamaan suku banyak x2 – 2x – 3 = 0 telah
diperoleh, yaitu x = –1 dan x = 3 sehingga P(–3) ≠ 0. Jadi, akarakar
bulat untuk x2 – 2x – 3 = 0 adalah x = – 1 dan x = 3.
Suku Banyak 141
• Rumus umum fungsi suku banyak f(x) adalah
f(x) = ar xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + ... a0
• Fungsi suku banyak
f(x) = ar xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + ... a0
g(x) = br xn + bn – 1 xn – 1 + bn – 2 xn – 2 + ... b0
dikatakan identik jika dan hanya jika
a = bn; an – 1 = bn – 1; ...; a0 = b0
• Nilai suku banyak dapat dicari dengan cara substitusi dan
skema.
• Mencari hasil bagi dan sisa bagi dapat dilakukan dengan
pembagian bersusun atau cara horner.
• Pembagian suku banyak oleh pembagi yang berbentuk linear,
menghasilkan sisa berderajat nol.
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 5,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan
penting untuk dipelajari,
3. adakah soal tes kompetensi yang tidak dapat Anda
kerjakan?
4. apakah Anda mendiskusikan materi yang belum Anda
pahami?
Refleksi
142 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 5
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika x3 – 12x + ka habis dibagi dengan
(x – 2) maka ia juga habis dibagi dengan ....
a. (x – 1)
b. (x + 1)
c. (x + 2)
d. (x – 3)
e. (x + 4)
2. Hasil bagi dan sisa pembagian dari suku
banyak 4x3 – 2x2+ x– 1 dibagi oleh 2x2+ x+ 1
berturut-turut adalah ....
a. (2x – 2) dan (x + 1)
b. (2x + 2) dan (x – 1)
c. (2x + 2) dan (x + 1)
d. (x + 2) dan (2x – 1)
e. (x – 2) dan (2x + 1)
3. Suku banyak f(x) dibagi oleh (x – 3)
bersisa 5 dan dibagi oleh (x + 4) bersisa
–23. Sisa dari pembagian f(x) oleh (x – 3)
(x + 4) adalah ....
a. 3x – 4
b. –4x + 17
c. –3x + 14
d. 5x – 10
e. 4x – 7
4. Jika f(x) = x3 – x + 2 dan g(x) = 2x2 + x – 1
maka f(x) × g(x) adalah ....
a. 2x5 + x4 + 3x3 – 3x2 + 3x – 2
b. 2x5 + x4 – 3x3 + 3x2 + 3x – 2
c. 2x5 + x4 – 3x3 – 3x2 + 3x + 2
d. 2x5 – x4 – 3x3 + 3x2 – 3x + 2
e. 2x5 – x4 + 3x3 – 3x2 + 3x – 2
5. Diketahui suku banyak
4x4 – 12x3 + 13x2 – 8x + a dan 6x2 – 11x + 4
Jika suku banyak itu mempunyai satu
faktor yang sama maka bilangan bulat a
adalah...
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
6. Persamaan 2x3 + 3x2 + px + 8 = 0 mempunyai
sepasang akar yang berkebalikan.
Nilai p = ....
a. 18 d. –6
b. 6 e. –18
c. 3
7. Diketahui persamaan
A
x
B
x
x
􀀋 x x
􀀋 􀀝
􀀍
1 􀀍2 􀀍
8
2 2
.
Nilai A dan B berturut-turut adalah ....
a. –2 dan 3
b. 2 dan –3
c. 3 dan –2
d. –3 dan 2
e. –3 dan –2
8. Suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x – 1).
Sisa pembagian f(x) oleh (x – 1)(x + 1)
adalah ....
a. – 1
2
f(1)(1 – x)
b. – 1
2
f(1)(1 + x)
c. 1
2
f(–1)(1 – x)
d. 1
2
f(–1)(1 + x)
e. – 1
2
f(–1)(1 + x)
9. Diketahui f(x) = px3 + (2p – 1) x2 – 2px + 3
dan g(x) = 2px3 – 3px2 –(p + 4)x – p. Jika
sisa pembagian f(x) oleh (x + 1) sama
dengan sisa pembagian g(x) oleh (2x – 1)
maka nilai p adalah ....
a. 2
5
d. – 4
5
b. – 2
5
e. 3
5
c. 4
5
Suku Banyak 143
10. Jika f(x) = 4x4 – x3 – x2 +
1
2
x dibagi
dengan
(2x + 2 ) sisanya adalah ....
a. – 2 d.
1
2
b. –1 e.
1
2
2
c. –
1
2
11. Suku banyak f(x) = x3 – 2x2 + px + 6 habis
dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan (x + 3)
(x + 1) sisanya adalah ....
a. 16x + 24
b. 16x – 24
c. 24x + 16
d. 24x – 16
e. –24x + 16
12. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 1)
sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh
(x –2) sisanya 1. Sisa pembagian suku
banyak P(x) oleh (x2 – 3x + 2) adalah ....
a. 12x + 23
b. 12x – 23
c. 23x + 12
d. 23x – 12
e. –23x + 12
13. Sisa bagi dari (4x4 + 3x3 – x + 4) : (x2 + x –2)
adalah ....
a. 12x + 22
b. 12x – 22
c. –12x + 22
d. –12x – 22
e. 22x – 12
14. Diketahui suku banyak f (x) = x3 + ax2 + bx– 6.
Jika suku banyak ini habis dibagi oleh
(x – 3) dan (x – 2), maka sisa pembagian
f (x) oleh x2 + 5x + 6 adalah ....
a. 60(x + 1)
b. –60(x + 1)
c. 60(x – 1)
d. –60(x – 1)
e. 60(1 – x)
15. Diketahui P(x) = x3 + 3x2 + px + q. Jika
P(x) dibagi (x2 + 2x – 3) sisanya 7x + 3,
maka nilai p dan q berturut-turut adalah ....
a. 3 dan 2 d. –6 dan 0
b. –3 dan 2 e. 6 dan 0
c. –2 dan 3
16. Jika suku banyak x4 – 3x2 + ax + b
dibagi oleh x2 – 3x – 4, akan memberikan
sisa 2x + 5.
Nilai a dan b adalah ....
a. a = 35 dan b = 40
b. a = –35 dan b = 40
c. a = –35 dan b = –40
d. a = 40 dan b = –35
e. a = 40 dan b = –35
17. Banyak akar real dari persamaan
x4 – x – 3x2 + 4x – 4 = 0 adalah ....
a. 4 d. 1
b. 3 e. 0
c. 2
18. Jika f(x) dibagi dengan x + 2, sisanya
adalah 3. Jika f(x) dengan x2 – 4, sisanya
adalah ....
a. x + 5 d. x + 2
b. x + 4 e. x + 1
c. x + 3
19. Jika f(x) dibagi oleh x – 1 dan x + 1,
sisanya berturut-turut adalah 2 dan 3. Jika
g(x) dibagi oleh x – 1 dan x + 1, sisanya
berturut-turut adalah 1 dan –2.
Jika f(x) = h(x) . g(x) dibagi oleh x2 – 1
maka sisanya adalah ....
a. 4x + 2 d. 2x – 4
b. 4x – 2 e. –2x – 4
c. 2x + 4
20. Jika f(x) dibagi dengan x – 2, sisanya 24.
Jika f(x) dibagi dengan x + 5, sisanya
10. Jika f(x) dibagi dengan x2 + 3x – 10,
sisanya adalah ....
a. x + 34 d. 2x – 20
b. x – 34 e. x + 14
c. 2x + 20
144 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Tentukan f(x) + g(x), f(x) – g(x) dan
f(x) × g(x) untuk soal-soal berikut.
a. f(x) = 5x3 + 2x – 4 dan
g(x) = 3x4 – 4x – 7
b. f(x) = 6x4 – 2x3 + x + 5 dan
g(x) = 3x4 + 5x3 + 2x2 – 8
c. f(x) = (2x – 1)3 dan g(x) = (5x + 2)2
d. f(x) = (3x + 2)3 dan g(x)
= (x – 2) (x + 2)2
e. f(x) = (5 – 3x)3 dan
g(x) = (x2 – 2x) (x2 + 2x)
2. Hitunglah nilai suku banyak P(x) menggunakan
substitusi untuk soal-soal berikut
ini.
a. P(x) = 5x5 – 3x3 – x + 15 untuk x = 2
b. P(x) = 2x5 – x4 + 3x2 – 2x + 10 untuk
x = –2
c. P(x) = 3x7 – 5x4– 2x3 + 3x – 5 untuk
x = –1
d. P(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 – 3x + 5 = untuk
x 􀀝 􀀍
1
2
3. Carilah bilangan p dan q agar
(px3 – 5x2 – 22x + q) habis dibagi oleh
x2 – 4x – 5 dengan menggunakan cara
Horner dan cara pembagian biasa.
4. Buktikan bahwa
a. p2n – q2n habis dibagi oleh p + q
b. p2n + 1+ q2n + 1 habis dibagi oleh p + q.
Dalam hal ini n bilangan bulat positif.
5. Sebuah kotak terbuka akan dibuat dari
selembar karton. Karton tersebut berbentuk
persegipanjang dan berukuran 6 × 5 inci
(inci = 2,54 cm). Cara membuat kotak ini
adalah dengan memotong sebuah persegi
dari setiap sudutnya. Jika volume kotak
14 inci3, berapa inci2 persegi yang harus
dipotong?
x x
x
x
x x
x
x
Bab6
145
Fungsi Komposisi
dan Fungsi Invers
Sumber: Let’s Learn about Korea, 2002
Demikian pula halnya dengan domain, kodomain, dan
range fungsi telah Anda pelajari juga. Akan tetapi, pada
pembahasan mengenai hal tersebut tidak dipelajari sifat-sifat
fungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers.
Pada bab ini, konsep-konsep fungsi yang telah Anda pelajari
di SMP tersebut akan dikembangkan sampai pada sifat-sifat
fungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, fungsi invers, dan
invers dari fungsi komposisi. Salah satu manfaat belajar
materi ini ialah untuk menyelesaikan masalah berikut.
Jumlah n mobil yang diproduksi suatu pabrik selama 1
hari setelah t jam operasi adalah n(t) = 200t – 10t2, 0 ≤ t < 10.
Jika biaya produksi n mobil (dalam dolar) adalah C(n)
= 30.000 + 8.000n, tentukan biaya C sebagai fungsi dari
waktu. Berapakah biaya memproduksi mobil selama 1
bulan? Untuk menjawabnya, Anda harus mempelajari bab
ini dengan baik.
A. Fungsi dan Sifatnya
B. Aljabar Fungsi
C. Fungsi Komposisi
D. Fungsi Invers
E. Invers dari Fungsi
Komposisi
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan
masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
dalam pemecahan masalah.
146 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Coba jelaskan apa yang dimaksud dengan
relasi dan fungsi. Berikan 2 contoh relasi
yang merupakan fungsi dan yang bukan
fungsi.
2. Jika f (x) = 2x2 + 7x – 15, tentukan nilai
fungsi f pada
a. x = 1
2
b. x
a
􀀝
1
2 – 1
3. Diketahui f(x)=
x
x
􀀋
􀀍
2
6
.
a. Apakah titik (3,14) terletak pada
grafik f?
b. Jika x = 4, berapakah f(x)?
c. Tentukan domain, kodomain, dan
range dari f.
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
f bijektif f ° f –1(x) = x
(g ° f)–1(x) = (f –1 ° g–1)(x)
(f ° g)–1(x) = (g–1 ° f –1)(x)
cara
menentukannya
membahas
syarat sifat
f ° g:
Rg « D f
≠ φ g ° f:
R f « Dg ≠ φ
(f ° g)(x) ≠ (g ° f)(x)
(f ° (g ° h))(x) = (f ° g) ° h)(x)
(f ° I)(x) = (I ° f)(x) = f(x)
syarat memiliki
invers
Fungsi Komposisi Fungsi Invers
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 147
A. Fungsi dan Sifatnya
Sebelum membahas beberapa macam fungsi, mari awali
bagian ini dengan mengulang pengertian relasi dan fungsi.
1. Pengertian Relasi
Dari himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakan
bahwa ada suatu relasi dari A ke B jika ada anggota himpunan
A yang berpasangan dengan anggota himpunan B.
Amati diagram pada Gambar 6.1. Relasi yang ditunjukkan
diagram tersebut dapat dituliskan dalam bentuk himpunan
pasangan terurut berikut.
a. {(3, 2), (3, 6), (4, 7), (5, 6)}
b. {(Hasan, Rudi), (Hasan, Ani), (Tina, Rudi)}
c. {(a, x), (b, y), (c, z), (p, q), (r, s)}
Daerah asal (domain) dari relasi pada Gambar 6.1 (a)
adalah {3, 4, 5}, daerah kawannya (kodomain) adalah {2, 6,
7, 8}, dan daerah hasilnya (range) adalah {2, 6, 7}. Dapatkah
Anda menentukan domain, kodomain, dan range dari
Gambar 6.1 (b) dan (c)?
Misalkan antara x dan y yang keduanya bilangan real
terdapat hubungan (relasi)H, yang dinyatakan sebagai y = 2x.
Grafik relasi ini berupa garis lurus seperti diperlihatkan
pada Gambar 6.2. Domain relasi ini adalah DH = { x| x􀂌R},
kodomainnya adalah {y| y􀂌R} dan rangenya adalah RH = { y|
y􀂌R}. Titik-titik (x, y) yang memenuhi hubungan ini begitu
banyak sehingga jika dirinci satu per satu tidak mungkin
dilakukan. Dalam matematika, hubungan ini ditulis dengan
{(x, y)| y = 2x; x, y􀂌R}.
Relasi {(x, y)|y = x2; x, y 􀂌 R} jika disajikan dalam
diagram Cartesius terdiri atas semua titik yang terletak
pada kurva y = x2, seperti diperlihatkan pada Gambar 6.3(a).
Adapun relasi {(x, y)|x2 + y2 = 25; x, y􀂌R} terdiri atas semua
titik yang terletak pada x2 + y2 = 25 seperti diperlihatkan pada
Gambar 6.3(b).
Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk
umum relasi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan
kalimat Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari
tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 6.1
Relasi H dari himpunan A ke himpunan B ialah himpunan bagian
dari himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunan
bagian dari A × B. Jadi, H disebut relasi dari A ke B jika H
himpunan bagian dari {(x, y)|x 􀂌 A, y 􀂌 B}.
Gambar 6.1
Gambar 6.2
(c)
a
A B
bcp r
x
y
q s
z
(b)
A B
Hasan
Tina Ani
Rudi
(a)
A B
3
4
5
8
7
2
6
x
y
y = 2x
O
148 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Domain dari suatu relasi adalah himpunan yang
anggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama dari semua
pasangan berurutan yang merupakan anggota relasi tersebut.
Adapun range-nya adalah himpunan yang anggotanya terdiri
atas unsur-unsur kedua dari semua pasangan berurutan yang
merupakan anggota relasi itu.
2. Pengertian Fungsi
Amati kembali Gambar 6.2. Pada relasi {(x, y)|y = 2x; x,
y􀂌R}, setiap unsur pada daerah asal (domain) dihubungkan
dengan satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil (range).
Misalnya, –2 dihubungkan dengan –4, –1 dengan –2, 0
dengan 0, 1 dengan 2, 2 dengan 4, dan seterusnya.
Sekarang amati Gambar 6.3(a). Pada relasi {(x, y)|y = x2;
x, y􀂌R}, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan dengan
satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; –2 dihubungan
dengan 4, –1 dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan
4, dan seterusnya. Relasi {(x, y)|y = 2x; x, y􀂌R} dan relasi
{(x, y)|y = x2; x, y􀂌R} disebut fungsi.
Berbeda dengan Gambar 6.3 (b), yaitu relasi {(x, y)|x2 + y2
= 25; x, y􀂌R}. Pada relasi ini, untuk nilai x yang sama misalnya
x = 3, terdapat dua nilai y yang berbeda, yaitu y = 4 dan y = –4.
Jadi, relasi {(x, y)|x2 + y2 = 25; x, y􀂌R) bukan fungsi.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian
fungsi? Cobalah nyatakan pengertian fungsi dengan kata-kata
Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut
memperjelas definisi berikut.
Definisi 6.2
Fungsi ialah relasi dengan setiap unsur dari daerah asalnya
dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah kawannya.
Di antara grafik pada Gambar 6.4, manakah yang menyatakan suatu
fungsi dari R􀁬 R, x, y􀂌R? Jelaskan jawaban Anda.
Jawab:
a. Dari Gambar 6.4(a) tampak bahwa untuk x = 3 dihubungkan
dengan y􀂌R, misalnya 3 dengan 0, 3 dengan 1, 3 dengan 2,
dan seterusnya. Akibatnya, relasi {(x,y)| x = 3; x, y􀂌R} bukan
merupakan fungsi.
Contoh 6.1
Gambar 6.3
(a)
x
y
y = x2
O
(b)
O 5
5
x
y
x2 + y2 = 25
–5
(a)
x
y
O
x = 3
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 149
b. Dari Gambar 6.4(b) tampak bahwa setiap unsur pada domain
dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada range.
Misalnya, 4 dihubungkan dengan 2; –2 dihubungkan dengan –1;
0 dihubungkan dengan 0; 2 dengan 1; dan seterusnya. Dengan
demikian, relasi {(x,y)| y =
1
2
x; x, y􀂌R} merupakan fungsi.
Grafik pada Gambar 6.4(b), menyatakan fungsi.
Diketahui fungsi f : R 􀁬 R dan f(x) = x2 – 1.
a. Hitunglah f(–3), f(–1), f(0), f(2), dan f(3).
b. Jika f(a) = 3, tentukan nilai a yang memenuhi.
c. Gambarkan grafik fungsi tersebut.
d. Jika daerah asal fungsi tersebut adalah D f = { x|–3 ≤ x ≤ 3, x􀂌R},
tentukan daerah hasilnya.
Jawab:
a. f(x) = x2 – 1
f(–3) = (–3)2 – 1 = 9 – 1 = 8
f(–1) = (–1)2 – 1 = 0
f(0) = (0)2 – 1 = –1
f(2) = (2)2 – 1 = 3
f(3) = (3)2 – 1 = 8
b. f(a) = a2 – 1
3 = a2 – 1
a2 = 3 + 1
a2 = 4
a2 = 4
a = ±2
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 2 dan a = –2.
c. Sketsa grafik tampak pada Gambar 6.5.
d. Daerah hasil dari fungsi y = f(x) = x2 – 1 adalah
R f = { y| –1 ≤ y ≤ 8, y􀂌R}
Contoh 6.2
Gambar 6.4
(b)
x
y
O
Gambar 6.5
3. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Injektif
Misalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B =
{p, q, r, s}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan
fungsi f dan fungsi g yang dinyatakan dengan diagram
panah pada Gambar 6.6.
Pada Gambar 6.6(a), untuk setiap anggota himpunan A
yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di himpunan B.
Fungsi yang demikian dinamakan fungsi injektif atau fungsi
satu-satu.
y
x
–3–2–1 3
2 3
4
5
6
7
8
–1
Daerah asal
Daerah hasil
1 2
1
(a)
A
Fungsi f : A Æ B
B
f
1
2
3
s
r
p
q
Gambar 6.6
(b)
Fungsi g : A Æ B
A B
g
1
2
3
s
r
p
q
y = x2 –1
150 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Pada Gambar 6.6(b), terdapat dua anggota himpunan
A yang berbeda, yaitu 2 dan 3 mempunyai peta yang sama,
yaitu r di himpunan B. Oleh karena itu, fungsi g bukan fungsi
injektif.
Sekarang, amati kembali Gambar 6.2. Dari grafik fungsi
f(x) = 2x pada gambar tersebut, untuk setiap domain x1 dan
x2 (x1 ≠ x2) maka f(x1) ≠ f(x2). Misalkan untuk x1 = –1, x2 = 1
maka f(x1) = –2, f(x2) = 2, dan f(x1)≠f(x2). Jadi, untuk nilai x
yang berbeda menghasilkan nilai y = f(x) yang berbeda pula.
Fungsi yang demikian disebut fungsi injektif atau fungsi
satu-satu.
Amati pula grafik fungsi f(x) = x2 pada Gambar 6.3(a).
Pada fungsi ini, untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ≠ x2)
terdapat hubungan f(x1) = f(x2), misalnya f(–1) = f(1) = 1 dan
f(–2) = f(2) = 4. Jadi, untuk nilai x yang berbeda terdapat nilai
y = f(x) yang sama. Fungsi yang demikian bukan merupakan
fungsi injektif.
Secara umum, jika f fungsi dari himpunan A ke himpunan
B maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepat
suatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsur
yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan
tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam Bmaka f disebut
fungsi injektif atau fungsi satu-satu.
b. Fungsi Surjektif
Misalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B= {x, y, z}.
Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f yang
ditentukan dengan diagram panah pada Gambar 6.7(a).
Pada Gambar 6.7(a), tampak bahwa daerah hasil dari fungsi
f, yaitu R f = {x, y, z} sehingga R f
= B, dalam hal ini B adalah
daerah kawan. Suatu fungsi yang daerah hasilnya sama dengan
daerah kawannya dinamakan fungsi surjektif atau fungsi onto.
Jadi, fungsi f pada Gambar 6.7(a) merupakan fungsi surjektif.
Coba Anda selidiki Gambar 6.7(b). Apakah fungsi g : P􀁬Q
merupakan fungsi surjektif? Jelaskan jawaban Anda.
Sekarang, amatilah grafik f(x) = 2x (Gambar 6.2). Grafik
tersebut memiliki daerah hasil (range) R f
sama dengan daerah kawannya (kodomainnya). Oleh karena itu, fungsi
f(x) = 2x
disebut fungsi surjektif atau fungsi onto. Secara umum, jika
pada suatu fungsi f dari A ke B daerah hasilnya R f
= B maka
fungsi itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto
. Akan
tetapi, jika R f
ÃB maka fungsi tersebut bukan merupakan
fungsi surjektif
f.
Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut
fungsi bijektif. Jadi, fungsi y = 2x merupakan fungsi bijektif.
Gambar 6.7
(a)
(b)
A
P
Fungsi f : A Æ B
Fungsi g : P Æ Q
B
Q
f
g
1
a
x
2
2
b
y
4
3 z
6
Soal Terbuka
Buatlah 5 buah fungsi yang
satu-satu dan fungsi yang
tidak satu-satu.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 151
Gambar 6.8
Selidikilah fungsi berikut, apakah merupakan fungsi injektif atau
bukan, jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektif?
a. y = f(x) =
1
2
x + 3, x􀂌R,
b. y = f(x) = x2 – 2, x􀂌R,
Jawab:
a. Grafik fungsi y = f(x) =
1
2
x + 3, x 􀂌 R tampak pada Gambar
6.8 (a). Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ≠ x2)
maka f(x1) ≠ f(x2). Jadi, fungsi y = f(x) =
1
2
x + 3, x 􀂌 R
merupakan fungsi injektif. Oleh karena range R f
sama dengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)
=
1
2
x + 3, x􀂌R merupakan fungsi surjektif.
Dengan demikian, fungsi y = f(x) =
1
2
x + 3, x􀂌R adalah fungsi
bijektif.
b. Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 – 2, x􀂌R diperlihatkan pada
Gambar 6.8(b). Pada gambar tersebut, tampak bahwa terdapat
nilai-nilai x1, x2 􀂌D f dengan x1 ≠ x2, tetapi f(x1) = f(x2). Jadi,
fungsi y = f(x) = x2 – 2, x􀂌R bukan fungsi injektif.
Contoh 6.3
Mari, Cari Tahu
Selidikilah bersama 2 orang teman, sejarah penggunaan lambang
y = f(x). Anda dapat mencarinya di buku atau internet. Laporkan
hasilnya di depan kelas.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Di antara grafik berikut ini, manakah yang
menyatakansuatu fungsidariR􀁬R, x, y􀂌R?
Jelaskan jawaban Anda.
(a) (b)
2. Dari sketsa grafik berikut ini, manakah
yang merupakan relasi? Tentukan pula
mana yang merupakan fungsi dari x􀁬 y.
Jika fungsi, tentukan sifatnya injektif,
surjektif, atau bijektif.
a. b.
y
x
x
(a)
–6 x
3
y
(b)
x
y
x2 x1
y = f(x) = x2 – 2
y
x
y = x3
1
1
x
152 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Aljabar Fungsi
Anda telah mempelajari fungsi f(x) = x2 – 2 mempunyai
daerah asal D f = { x| x􀂌R}. Demikian halnya dengan fungsi
g(x) = x 􀀍 3 dengan daerah asal Dg = {x| x􀂌R} telahAnda
pelajari pula. Pada bab ini, Anda akan mempelajari cara
membentuk fungsi baru dari hasil operasi aljabar dua fungsi
f dan g yang diketahui tersebut, yaitu sebagai berikut.
• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 – 2 + x􀀍3
(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x2 – 2 – x􀀍3
• (f · g)(x) = f(x) · g(x) = (x2 – 2) x􀀍3

f
g
f
g
x
x
g ÊË ÊÊÊË
Ë Ê ˆ
¯
ˆ = (x)
(x)
= -
-
(x) , (x) π
2 2
3
0
Anda pun akan mempelajari cara menentukan daerah
asal fungsi hasil operasi. Untuk itu pelajari uraian berikut.
Misalkan, f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang
diketahui, berlaku hal-hal berikut.
• Jumlah dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
(f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan D f + g = D f « Dg.
• Selisih dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
(f – g)(x) = f(x) – g(x) dengan D f – g = D f « Dg.
3. Buatlah sketsa grafik relasi-relasi
berikut. Kemudian, tunjukkan mana yang
merupakan fungsi dari R􀁬 R.
a. {(x,y) | y = x2 – 1; x,y􀂌R}
b. {(x,y) | y = x2 – 2x – 3; x, y􀂌R}
c. {(x,y) | y2 = –2x; x, y􀂌R}
d. {(x,y) | x = –2; x, y􀂌R}
e. {(x,y) | y = 5 – x2; x, y􀂌R}
f. {(x,y) | y = x5; x, y􀂌R}
4. Periksalah fungsi berikut, apakah
merupakan fungsi injektif atau bukan.
Jika injektif, apakah merupakan fungsi
bijektif?
a. y = 4 – x2; x, y􀂌R
b. y = (x + 1)2; x, y􀂌R
c. y =
2
4
x
x 􀀍
; x, y􀂌R dan x ≠ 4
d. y = 8 – x3; x, y􀂌 R
5. Tentukan daerah asal fungsi-fungsi berikut
ini.
a. f(x) = 3x – 2
b. f
x x
􀀈x􀀉􀀝
3
2 2x􀀍3
6. Gambarkan grafik fungsi berikut ini.
Kemudian, tentukan daerah asalnya agar
menjadi fungsi injektif.
a. y = f(x) = x2 – 5x + 6
b. y = f(x) = 4 cos x, 0 ≤ x ≤ 2π
7. Jelaskan cara yang Anda lakukan untuk
menentukan apakah suatu fungsi satu-satu
atau bukan.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 153
• Perkalian dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
(f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan D f × g = D f « Dg.
• Pembagian dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
f
g
f
g
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
(x) 􀀝, dengan Df
g
= D f « Dg dan g(x) ≠ 0
Diketahui fungsi f(x) = x2 – 5 dan g(x) = 2 x , tentukan operasi
fungsi-fungsi berikut. Tentukan pula daerah asalnya.
a. (f + g) (x) c. (f × g) (x)
b. (f – g) (x) d. f
g
ÊË Ê
ÊÊË
Ë Ê ˆ
¯
ˆ (x)
Jawab:
D f = {x | x􀂌R} dan Dg={x | x ≥ 0, x􀂌R}.
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 – 5 + 2 x
D f+g = D f « Dg = {x | x 􀂌R} «{x | x ≥ 0, x􀂌R}
= {x | x ≥ 0, x􀂌R}
b. (f – g) (x) = f(x) – g(x) = x2 – 5 – 2 x
D f–g = {x | x ≥ 0, x􀂌R}
c. 􀀈 f g􀀉􀀈x􀀉 f 􀀈x􀀉􀁲g􀀈x􀀉 2x2 x 10 x
Df × g = {x | x ≥ 0, x􀂌R}
d. f
g
f
g
x
x x
x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀈x􀀉􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
􀀝 􀀍 􀀝 􀀈x 􀀉
x
􀀍
2
2
5
2
1
2
D x R f
g
{x x􀀞 , 􀂌 }
Contoh 6.4
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan
f
g
􀀈 f g􀀉􀀈x􀀉 􀀈 f 􀀍g 􀀉􀀈x􀀉 􀀈 f g􀀉􀀈x􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 , , 􀂵􀀈x􀀉,
f 2 􀀈x􀀉, dan g2 􀀈x􀀉 serta tentukan pula
daerah asal fungsi hasil operasi tersebut
jika diketahui fungsi-fungsi seperti
berikut.
a. f 􀀈x􀀉􀀝 3x􀀋2 dan g􀀈x􀀉 3 x􀀍1
b. f
x
x
􀀈x􀀉􀀝 g
􀀋 􀀈x􀀉􀀝 x􀀋
1
dan 1
2. Diketahui fungsi f(x) = 2x2 – 1 dan g(x) =
2x 1. Tentukanlah:
a. (f + g) (3)
b. (f – g) (2)
c. (f × g) (5)
154 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
C. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Sebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebih
lanjut, pelajari uraian berikut ini.
Misalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = { x| x􀂌R} dan g(x) =
x 􀀍2 dengan Dg = {x| x ≥ 2, x􀂌R}. Fungsi komposisi g ° f
dapat digambarkan pada Gambar 6.9.
Mula-mula unsur x􀂌D f dipetakan oleh f ke bayangan x,
yaitu f(x). Kemudian, f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)). Dengan
demikian, fungsi komposisi g ° f adalah pemetaan x 􀂌D f oleh
fungsi f, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g. Uraian
tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 6.3
Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi
f dan g ditulis g ° f, didefinisikan sebagai (g ° f)(x) = g(f(x))
untuk setiap x 􀂌Dg.
Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalam
daerah asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f(x) = 2 dapat
dipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) = 2 2 = 0.
Lain halnya jika x =
1
2
. Untuk x =
1
2
diperoleh f(x) =
1
1
4
yang berada di luar daerah asal fungsi g. Bayangan x,
yaitu f(x) = 1
1
4
tidak dapat dipetakan oleh g ke fungsi
komposisi g(f(x)) sebab g 1 1
4
2 3
4 􀀈1 1􀀉
4
􀀝 􀀍 􀀝 􀀍 . Nilai ini
tidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja pada
himpunan seluruh bilangan real. Dari uraian itu dapat
dipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukan
jika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g. Dengan
demikian, diperoleh daerah asal fungsi komposisi g ° f adalah
D f D gof f g { x D , 􀀈x􀀉􀂌 x 􀂌 }.
Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f ° g
adalah pemetaan x􀂌Dg oleh fungsi g, kemudian bayangannya
dipetakan lagi oleh f. Dengan demikian, daerah asal fungsi
komposisi f ° g adalah D f D fog g f { x D , 􀀈x􀀉􀂌 x } .
Misalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 1􀀍x . Kedua
fungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 6.10.
Gambar 6.9
g ° f
f g
Gambar 6.10
g
f
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 155
Daerah hasil R f = { x| x ≥ 2, x􀂌R} tidak dapat dipetakan
oleh g(x) = 1􀀍x sebab untuk x ≥ 2, g(x) tidak terdefinisi.
Coba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ≥ 2.
Jika Anda analisis uraian tersebut, diperoleh hal-hal
berikut.
• Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = x􀀍2 dapat dikomposisikan
menjadi fungsi komposisi g ° f sebab irisan antara daerah
hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakan
himpunan kosong.
R f «Dg = { x| x≥ 1, x􀂌R} «{x| x ≥ 2, x􀂌R} = {x| x ≥ 2, x􀂌R}.
• Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 1􀀍x tidak dapat
dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ° f sebab
irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi
g merupakan himpunan kosong.
R f « Dg = {x| x ≥ 2, x􀂌R} «{x| x ≤ 1, x􀂌R} = Ø.
Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat
dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g ° f) adalah
irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi
g bukan himpunan kosong, atau R f 􀂅 Dg ≠ Ø.
Pembahasan Soal
Fungsi g: R􀁬 R ditentukan
oleh g(x) = x2 – x + 3 dan
fungsi f: R􀁬R sehingga
(f ° g)(x) = 3x2 – 3x + 4
maka f (x – 2) = ....
Jawab:
g(x) = x2 – x + 3
(f ° g) (x) = 3x2 – 3x + 4
f(g(x)) = 3(x2 – x + 3) – 5
f (x) = 3x – 5
maka f(x – 2) = 3(x – 2) – 5
= 3x – 11
Soal Ebtanas 1999
1. Jika f(x) = 2x3 dan g(x) = x + 3, tentukan g ° f(x).
2. Jika g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x2 + 2x +5, tentukan h ° g(x).
Jawab:
1. g ° f(x) = g {f (x)} = f(x) + 3 = 2x3 + 3
2. h ° g(x) = h{g(x)} = {g(x)}2 + 2{g(x)} + 5
= (2x + 4)2 + 2(2x + 4) + 5
= 4x2 + 16x + 16 + 4x + 8 + 5
= 4x2 + 20x + 29
Contoh 6.5
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 3x2. Tentukan:
1. (f ° g) (x) dan (g ° f) (x)
2. a. daerah asal (f ° g) (x) dan daerah hasil (f ° g) (x)
b. daerah asal (g ° f) (x) dan daerah hasil (g ° f) (x)
Jawab:
1. (f ° g) (x) = f (g (x)) = f (3x2) = 2(3x2) + 5 = 6x² + 5
(g ° f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 5) = 3 (2x + 5)2
= 3(4x2 + 20x + 25) = 12x2 + 60x + 75
Contoh 6.6
Tugas
Anda telah mengetahui syarat
fungsi f dan fungsi g dapat
dikomposisikan menjadi fungsi
g ° f. Bagaimana dengan
syarat agar fungsi f ° g dapat
dikomposisikan? Selidikilah
bersama teman Anda kemudian
laporkan hasilnya kepada guru
Anda.
156 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Situs Matematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang Fungsi
Komposisi dan Fungsi Invers
melalui internet dengan
mengunjungi situs berikut.
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁘􀁉􀁚􀁑􀁆􀁓􀁎􀁂􀁅􀁊􀀏
􀁘􀁐􀁓􀁍􀁅􀁑􀁓􀁆􀁔􀁔􀀏􀁄􀁐􀁎
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁎􀁂􀁕􀁆􀁎􀁂􀁕􀁊􀁌􀁂􀀎􀁔􀁎􀁂􀀏
􀁃􀁍􀁐􀁈􀁔􀁑􀁐􀁕􀀏􀁄􀁐􀁎
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁎􀁂􀁕􀁉􀁘􀁐􀁓􀁍􀁅􀀏􀁘􀁐􀁍􀁇􀁓􀁂􀁎􀀏
􀁄􀁄􀁐􀁐􀁎
2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Untuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi, pelajari
uraian berikut. Diketahui, f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6.
(f ° g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11
(g ° f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16
Amati lagi hasil contoh 6.5. Apakah nilai (f ° g)(x) sama
dengan (g ° f) (x)? Coba selidiki untuk fungsi lainnya. Apa
yang Anda peroleh? Jika melakukannya dengan benar, akan
diperoleh kesimpulan berikut.
(f ° g) (x) ≠ (g ° f) (x)
Amati fungsi f(x) = 2x + 1, g(x) = x2, dan h(x) = 3x + 5.
Misalkan, (g ° h) (x) = s(x) maka
s(x) = (g ° h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2
= 9x2 + 30x + 25
sehingga
(f ° (g ° h))(x) = (f ° s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)
= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1
= 18x2 + 60x + 51
Jadi, (f ° g ° h) (x) = 18x2 + 60x + 51.
Kemudian, misalkan (f ° g) (x) = t(x) maka
t(x) = (f ° g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga
((f ° g) ° h) (x) = (t ° h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)
= 2(3x + 5)2 + 1
= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51
Jadi, (f ° (g ° h)) (x) = 18x2 + 60x + 51.
Amati lagi uraian tersebut. Apa yang Anda peroleh
mengenai nilai f ° (g ° h)(x) jika dihubungkan dengan nilai
(f ° g) ° h(x)? Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yang
lainnya? Untuk itu, bersama dengan teman sebangku buat 3
buah fungsi. Kemudian, hitung nilai f ° (g ° h) dan (f ° g) ° h.
Apakah hasil keduanya sama? Ulangi lagi untuk fungsi
lainnya. Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulan
berikut?
(f ° (g ° h)) (x) = ((f ° g) ° h) (x)
2. a. Daerah asal (f ° g) (x) = D
f ° g = {x|x􀂌R} dan
daerah hasil(f ° g) (x) = R
f ° g = {y|y􀂌R}.
b. Daerah asal (g ° f) (x) = Dg ° f = {x|x􀂌R} dan
daerah hasil(g ° f) (x) = Rg ° f = {y|y􀂌R}.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 157
Diketahui f(x) = 5x2 + 6 dan I(x) = x.
a. Carilah (f ° I)(x) dan (I ° f) (x).
b. Apakah (f ° I)(x) = (I ° f) (x)?
Jawab:
a. (f ° I)(x) = f (I (x)) = f(x) = 5x2 + 6
(I ° f)(x) = I (f (x)) = I (5x2 + 6) = 5x2 + 6
b. Dari hasil (a) tampak bahwa (f ° I)(x) = (I ° f) (x).
Dalam hal ini fungsi I(x) = x disebut fungsi identitas terhadap
operasi komposisi fungsi.
Contoh 6.7
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga sifat-sifat
komposisi fungsi? Cobalah nyatakan sifat-sifat komponen
fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.
• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya
tidak komutatif.
(f ° g)(x) ≠ (g ° f)(x)
• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif
(f ° (g ° h))(x) = ((f ° g) ° h)(x)
• Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat
sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x sehingga (f ° I)(x) =
(I ° f)(x) = f(x)
3. Menentukan Fungsi f atau gjika
Diketahui Fungsi Komposisi dari f atau g
Pada bagian sebelumnya, Anda telah belajar menentukan
fungsi komposisi f ° g atau g ° f jika fungsi f dan g
diketahui. Bagaimana jika terjadi sebaliknya? Fungsi yang
diketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsi
yang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana cara
menentukan fungsi lainnya?
Anda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsi
komposisi (f ° g) (x) = 10x – 5 dan f(x) = 2x – 5, yaitu sebagai
berikut.
(f ° g)(x) = 10x – 5
f(g(x)) = 10x – 5
2(g(x)) – 5 = 10x – 5
2 (g(x)) = 10x
g(x) = 5x
Soal Terbuka
1. Diketahui fungsi komposisi
(f ° g)(x) = 3x2 + 2. Tentukan
fungsi f dan g yang
mungkin.
2. Diketahui fungsi komposisi
(g ° f)(x) = x –2. Tentukan
fungsi f dan g yang
mungkin. Sebutkan pula
cara Anda memperoleh
jawaban ini.
158 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Untuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsi
komposisi (f ° g)(x) = 30x2 – 15 dan g(x) = 10x2 – 3 caranya
sebagai berikut.
(f ° g)(x) = 30x2 – 15
f(g(x)) = 30x2 – 15
f(10x2 – 3) = 30x2 – 15 = 3(10x2 – 3) – 15 + 9
f(10x2 – 3) = 3(10x2 – 3) – 6
f(x) = 3x – 6
Jika fungsi f dan fungsi komposisi f ° g atau g ° f diketahui
maka fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika fungsi
g dan fungsi komposisi f ° g atau g ° f diketahui maka fungsi
f dapat ditentukan.
Diketahui f ° g (x) =
1
x
dan f (x) =
1
x
. Tentukan g(x).
Jawab:
f ° g (x) =
1
x
􀂙 f (g (x)) =
1
x
􀂙
1 1
g(x) x =
􀂙 x = g(x)
􀂙 g(x) = x2
Contoh 6.8
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan f ° g(x) dan g ° f (x) dari fungsifungsi
berikut ini.
a. f (x) = 3 – 4x dan g(x) = 2x3 + 2
b. f(x) = 3x + 4 dan g(x) = x3 + x
c. Untuk soal nomor 1a dan 1b, tentukan
f ° g(–2) dan g ° f(–2).
2. Diketahui f (x) = 5 – x dan g(x) = x2 – 4.
Tentukan nilai x jika diketahui sebagai
berikut.
a. f ° g(x) = –16
b. g ° g (–x) = 21
3. Diketahui f (x) = x 􀀋1, g(x) = x2 – 2,
dan h(x) = 1􀀍2x . Tentukanlah nilai x
dari fungsi-fungsi berikut ini.
a. f ° g ° h (x) = 2
b. f ° g ° f (x) = 5
4. a. Jika f (x) = 2x2 + 7 dan f ° g (x) =
3(3 – 2x), tentukanlah g(x).
b. Jika g(x) = 2 (x – 1) dan
g ° f (x) = 2x (x – 5), tentukanlah f (3).
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 159
c. Jika f (x) =
x
x
􀀍 5
dan g ° f (x) =
x
x
􀀍
􀀍
5
1
,
tentukanlah g (2x – 1).
d. Jika g (x) = x – 1 dan f ° g (x) = x2 – 1,
tentukanlah f 􀀈 x􀀋 􀀉.
5. Diketahui f (x) = 2x – 5, g(x) = 6x2 – 5,
carilah nilai a yang mungkin jika
a. f ° g(a) = 285
b. g ° f (a) = 1
6. Fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan
terurut berikut.
f = {(a, b), (c, d), (e, f), (g, h), (i, j)}
g = {(b, –1), (d, –3), (f, –5), (h, –7), (j, –9)}
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut
ini dalam pasangan terurut.
a. f ° f c. f ° g
b. g ° g d. g ° f
7. a. Jika f (x) = x2 – 2, g(x) = sin x, dan
f (g (a)) =􀀍
7
4
, tentukan nilai a.
b. Jika f (x) = 3 – x2, g (x) =
x
x 􀀍1
, dan h(x)
= 3x + 1, tentukan f ° g ° h (10).
8. Harga sebuah produk p yang terjual
sebanyak x memenuhi persamaan
p =􀀍
1
4
x + 100, 0 ≤ x ≤ 400
Misalkan, c adalah biaya membuat x buah
produk tersebut yang memenuhi persamaan
c =
x
25
+ 600. Jika semua produk terjual,
tentukan biaya c sebagai fungsi dari harga p.
9. Volume sebuah balon (dalam cm3) adalah
V(r) =
4
3
􀁐r3. Jika jari-jari r bertambah
terhadap waktu t (dalam sekon) memenuhi
rumus r (t) =
1
3
t 3 , t ≥ 0. Tentukan volume
balon sebagai fungsi waktu.
10. Sebuah drum yang berbentuk tabung mempunyai
volume 500 cm3. Bagian alas dan
atasnya dibuat dari bahan yang berharga
Rp6.000,00 per cm2. Adapun bagian sisa
dibuat dari bahan berharga Rp4.000,00 per
cm2.
a. Ekspresikan biaya total
bahan c sebagai fungsi
dari r (jari-jari tabung).
b. Berapa harga total bahan
untuk membuat drum
dengan jari-jari 4 cm
atau 8 cm?
D. Fungsi Invers
Di SMP, tentunya Anda telah belajar cara mengubah
satuan dari derajat Celsius ke Fahrenheit, yaitu dengan
menggunakan persamaan y􀀝 x􀀋
9
5
32 . Bagaimana cara
mengubah satuan dari Fahrenheit ke Celsius? Untuk
mengetahuinya, Anda harus belajar fungsi invers.
Apakah setiap fungsi selalu memiliki fungsi invers? untuk
mengetahuinya, lakukan aktivitas matematika berikut.
160 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Lakukanlah kegiatan berikut bersama kelompok Anda.
Langkah ke-1
a. Melengkapi tabel fungsi y = f(x)
Misalkan fungsi f dari x ke y didefinisikan sebagai y= f(x), seperti
Tabel 6.1. Salin dan lengkapilah Tabel 6.1 di buku tugas Anda.
Tabel 6.1 Fungsi y = f(x)
x (masukan) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y (keluaran) 0 2 4 6 8 ... ... ... ...
b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran
Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti
Tabel 6.2, kemudian salin dan lengkapilah Tabel 6.2 di buku
tugas Anda.
Tabel 6.2
y (masukan) 0 2 4 6 8 ... ... ... ...
x (keluaran) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.2 merupakan fungsi
dari y ke x? Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas
Anda.
Langkah ke-2
a. Melengkapi tabel fungsi s = g(r)
Misalkan fungsi g dari r ke s didefinisikan sebagai s=g(r), seperti
Tabel 6.3. Salin dan lengkapilah Tabel 6.3 di buku tugas Anda.
Tabel 6.3 Fungsi s = g(r)
r (masukan) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
s (keluaran) ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran
Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti Tabel
6.2, lalu salin dan lengkapi Tabel 6.4 di buku tugas Anda.
Tabel 6.4
s (masukan) ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
r (keluaran) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.4 merupakan fungsi dari s ke r?
Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas Anda.
Langkah ke-3
Dapatkah Anda menduga, fungsi yang bagaimana yang memiliki
fungsi invers? Jawablah dengan cara menganalisis Tabel 6.1 sampai
dengan Tabel 6.4.
Aktivitas Matematika
Lambang –1 di dalam f –1
bukan berupa pangkat.
Ingatlah
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 161
Jika fungsi f memetakan setiap x􀂌D f ke y􀂌R f
maka balikan dari fungsi f mengembalikan unsur y tersebut ke unsur
x semula. Proses pembalikan tersebut belum tentu menghasilkan
fungsi baru. Jika f fungsi bijektif maka pembalikan
tersebut menghasilkan fungsi baru. Akan tetapi, jika f bukan
fungsi bijektif pembalikan itu hanya menghasilkan suatu
relasi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.
Telah diketahui fungsi y = 2x seperti Gambar 6.12
merupakan fungsi bijektif.
Amati bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalam
domain f dikawankan dengan dua unsur yang berbeda di
dalam daerah kawan f. Sebagai contoh, x1 = 2 dan x2 = –2
dikawankan berturut-turut dengan y1 = 4 dan y2 = –4. Balikan
dari fungsi ini akan menghubungkan dua unsur yang berbeda
tersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu 4
dengan 2 dan –4 dengan –2.
Balikan dari fungsi tersebut jelas sesuai dengan aturan
fungsi, yang hanya membolehkan setiap unsur di dalam
daerah asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satu
unsur di dalam daerah hasil. Jadi, balikan dari fungsi f(x) = 2x
merupakan fungsi. Lain halnya dengan fungsi y = x2 seperti
Gambar 6.13. Fungsi ini bukan merupakan fungsi bijektif.
Amati bahwa setiap unsur x dan –x di dalam domain
f dikawankan dengan unsur y yang sama di dalam daerah
kawan f. Contohnya, unsur 2 dan –2 keduanya dipetakan ke
unsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya, balikan dari fungsi ini
menghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2
dan –2. Balikan dari fungsi ini jelas menyalahi aturan fungsi.
Jadi, balikan dari fungsi f(x) = x2 bukan merupakan fungsi,
tetapi hanya relasi saja.
Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk
umum fungsi invers? Cobalah nyatakan bentuk tersebut
dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda
pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 6.4
Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan daerah asal D f
dan daerah hasil Rf R.. Fungsi invers(fungsi balikan) f adalah f –1 jika dan
hanya jika (f –1 ° f) (x) = x untuk setiap x di dalam D f dan ( f –1 ° f)
(x) = x untuk setiap x di dalam R f
. Dari Definisi 6.4 tampak bahwa setiap x􀂌D f
dipetakan oleh f ke f(x) dan f(x) oleh f –1 dikembalikan ke x. Demikian
halnya untuk setiap x􀂌R f dipetakan oleh f –1 ke f –1(x) dan
Gambar 6.12
Gambar 6.13
x
y
O
y = 2x
x
y
O
y = x2
162 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan invers dari fungsi berikut ini.
y = f (x) = 5x – 7
Kemudian, gambarkan grafik f (x) dan f –1 (x).
Jawab:
y = 5x – 7􀂙5x = y + 7
􀂙 x =
y 􀀋 7
5
􀂙x = f –1 (y) =
y 􀀋 7
5
Jadi, fungsi invers dari y = f (x) = 5x – 7 adalah f –1 (x) =
x 􀀋 7
5
.
Gambar grafik f (x) = 5x – 7 dan f –1 (x) =
x 􀀋 7
5
tampak pada
Gambar 6.14. Amati Gambar 6.14 dengan saksama, bagaimana
posisi grafik f(x) dan f –1(x) terhadap y = x. Apakah simetris?
Jika Anda amati grafik f (x) dan f –1(x) dengan saksama, tampak
bahwa grafik f –1(x) simetris terhadap grafik f(x). Grafik f –1(x)
diperoleh dari grafik f(x) dengan mencerminkannya terhadap garis
y = x. Oleh karena itu, untuk mencari f –1(x) jika diketahui f (x)
dapat pula dikerjakan dari persamaan f ° f –1(x) = x.
Coba Anda selesaikan invers dari f(x) = 5x – 7 dengan menggunakan
f ° f –1(x) = x.
Contoh 6.9
Gambar 6.14
f –1(x) oleh f dikembalikan ke x. Dengan demikian, invers
suatu fungsi invers menghasilkan fungsi asalnya, dituliskan
(f –1)–1 = f. Dari uraian tersebut, Anda dapat menentukan invers
suatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut.
• Diketahui, y = f(x).
• Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai
fungsi y atau x = f –1(y).
• Ganti variabel y dengan x pada f –1(y) sehingga diperoleh
f –1(x) = y sebagai fungsi invers dari y = f(x).
x
y
O
y = x
f –1(x) =
f(x) = 5x – 7
Soal Terbuka
Bersama teman sebangku,
buatlah 5 fungsi yang
mempunyai invers. Berikan
alasannya. Kemudian, berikan
hasilnya pada teman yang lain
untuk dicek dan dikomentari.
1. Diketahui f (x) = 3x2 + 4 dan g(x) =
x 􀀍 4
3
.
Periksalah apakah g merupakan balikan (invers) dari f.
2. Tentukan fungsi invers dari f (x) =
3 4
2 1
x
x
􀀋
􀀍
.
Contoh 6.10
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 163
Diketahui f(x) =
ax b
cx d
􀀋
􀀋
.
Tentukan f–1. Jika c ≠ 0, apakah
syarat a, b, c, dan d sehingga
f = f –1.
Tantangan
untuk Anda
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut.
Kemudian, gambarkan grafik fungsi f dan f –1
dalam satu diagram.
a. f (x) = 2x – 5
b. f (x) = 3x2 – 4
c. f (x) =
2
3x 2
d. f (x) = 2 – x2
e. f (x) = x􀀋1
f. f (x) = 10x + 1
g. f (x) =
1
5 3
3
x 5
; x 􀁷
h. f (x) = x2 – 6x + 5; x ≥ 3
i. f (x) = x2 – 9; x ≤ 0
2. Tunjukkan bahwa fungsi g merupakan
invers bagi fungsi f.
a. f (x) =
x
x 􀀍1
dan g (x) =
x
x 􀀍1
b. f (x) = 5 – x2 dan g (x) = 5 􀀍 x
c. f (x) = 5x2 6 dan g (x) =
x2 6
5
􀀋
d. f (x) = 103x dan g (x) =
1
3
log x
e. f (x) = 22x dan g (x) = 2log x
f. f (x) =
3 4
2 1
x
x
􀀋
dan g (x) =
x
x
􀀋 4
2x􀀍3
Jawab:
1. Untuk menentukan apakah g fungsi invers f, periksalah
apakah fungsi komposisi (g ° f) (x) = x dan (f ° g) (x) = x.
(g ° f) (x) = g {f (x)} = g (3x2 + 4) =
3 4 4
3
2
x 2
x
􀀋 􀀍
􀀝 = x
(f ° g) (x) = f {g (x)} = f
􀂤 x􀀍 x
􀂦
􀂥 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂵 􀂵 􀂵
􀂵
􀀝
􀂤 􀀍
􀂦
􀂥 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂵 􀂵 􀂵
􀂵
4
3
3
4
3
2
= 3 4
3
(x - )+ 4
= x – 4 + 4 = x
Jadi, g merupakan balikan f sehingga f juga balikan g. Dengan
kata lain, g = f –1 dan f = g–1.
2. y = f (x) =
3 4
2 1
x
x
􀀋
􀀍
􀂙 y (2x–1) = 3x + 4
􀂙 2yx – y = 3x + 4 􀂙 2yx – 3x = y + 4
􀂙 x (2y – 3) = y + 4 􀂙 x =
y
y
􀀋
􀀍
4
2 3
􀂙 x = f –1 (y) =
y
y
􀀋
􀀍
4
2 3
Jadi, f –1 (x) =
x
x
􀀋
􀀍
4
2 3
.
164 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
3. Diketahui f (x) = 4x2 + 8, g(x) =
x
x
􀀋 5
2x􀀍1
,
dan h(x) = x2 􀀍2 . Tentukan nilai-nilai
fungsi berikut.
a. f –1 (12)
b. g –1 (15)
c. g –1 (6)
d. h –1 ( 7 )
e. f –1 (24) + g–1 (18)
f. f –1 (9) + g–1 (3) – h–1 ( 2 )
4. Tunjukkan bahwa fungsi invers dari
fungsi-fungsi berikut sama dengan fungsi
asalnya.
a. f (x) = x
b. f (x) = 15 – x
c. f (x) =
1
x
d. f (x) =􀀍 9􀀍x2
e. f (x) = 16􀀍x2
f. f (x) =
10
x
5. Misalkan, f(x) = ax + b; a ≠ 0 dan g(x) =
cx + d; c ≠ 0. Apa syaratnya agar f
merupakan balikan g, demikian pula
sebaliknya g merupakan balikan f.
6. Untuk mengubah satuan dari derajat
Celsius ke derajat Fahrenheit, digunakan
rumus y = f (x) =
9
5
x􀀋 32. Sebaliknya,
untuk mengubah satuan dari derajat
Fahrenheit ke derajat Celsius, digunakan
rumus y = g (x) =
5
9
􀀈x􀀍32􀀉. Tunjukkan
bahwa f adalah invers dari g.
7. Permintaan barang di suatu negara
memenuhi persamaan p(x) = 300 – 50x,
dengan p adalah harga barang (dalam dolar)
dan x banyak barang yang diproduksi
(dalam jutaan). Ekspresikan banyak
barang x sebagai fungsi dari p.
8. Dari beberapa macam fungsi yang telah
dipelajari, fungsi manakah yang memiliki
invers?
E. Invers dari Fungsi Komposisi
Seperti halnya fungsi yang lain, fungsi komposisi dapat
memiliki invers, asalkan syarat fungsi invers dipenuhi. Amati
Gambar 6.15.
Diketahui, fungsi f dan g keduanya bijektif. Fungsi f
memetakan x ke y dan fungsi g memetakan y ke z. Oleh
karena f dan g bijektif maka balikan fungsi f adalah f –1 dan
balikan fungsi g adalah g–1. Amati bahwa fungsi komposisi
g ° f memetakan x ke z sehingga balikan g ° f, yaitu (g ° f)–1
memetakan z ke x. Dari Gambar 6.15 tampak bahwa g–1
memetakan z ke y dan f –1 memetakan y ke x. Dengan demikian,
pemetaan komposisi f –1
° g–1 memetakan z ke x. Jadi, invers
fungsi komposisi (g ° f) adalah
(g ° f)–1(x) = (f –1
° g–1)(x)
Gambar 6.15
x y z
f g
f –1 g–1
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 165
Analog dengan cara tersebut, invers fungsi komposisi
(f ° g) adalah
(f ° g)–1(x) = (g–1 ° f –1)(x)
Diketahui f (x) = 3x2 – 6 dan g (x) = 3x – 19. Tentukan
a. (f ° g)–1 (x) b. (g ° f)–1 (x)
Jawab:
• f ° f –1 (x) = x • g ° g–1 (x) = x
f (f –1 (x)) = x g (g–1 (x)) = x
3 (f –1 (x))2 – 6 = x 3 (g–1 (x)) – 19 = x
(f –1 (x))2 =
x 􀀋 6
3
g–1 (x) =
x 􀀋19
3
f –1 (x) = 􀁯
x􀀋6
3
a. (f ° g)–1 (x) = g–1 ° f –1 (x) = g–1 (f –1 (x))
= g- ± x + = ± x + + = ± x + + Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
1 6
3
6
3
19
3
1
3
6
3
19
b. (g ° f)–1 (x) = f –1 (g–1(x)) = f –1 (x + 19 )
3
= 􀁯
􀀋
􀀋
􀀝 􀁯
􀀋
􀀝 􀁯 􀀋
x
x
x
19
3
6
3
37
9
1
3
37
Contoh 6.11
Jika f (x) =
1
x􀀍1
, g –1 (x) =
1􀀍 x
x
, dan h (x) = g {f (x)}, tentukan
h –1 (x).
Jawab:
Pertama, hitung g(x) sebagai berikut.
g–1 (x) =
1􀀍 x
x
􀂙 x g–1 (x) = 1 – x
􀂙 x g–1 (x) + x = 1
􀂙 x (g–1 (x) + 1) =1
􀂙 x = 1
g-1 (x) + 1
Contoh 6.12 Hal Penting
􀁴􀀁 􀁇􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊
􀁴􀀁 􀁅􀁐􀁎􀁂􀁊􀁏
􀁴􀀁 􀁌􀁐􀁅􀁐􀁎􀁂􀁊􀁏
􀁴􀀁 􀁓􀁂􀁏􀁈􀁆
􀁴􀀁 􀁊􀁏􀁋􀁆􀁌􀁕􀁊􀁇
􀁴􀀁 􀁔􀁖􀁓􀁋􀁆􀁌􀁕􀁊􀁇
􀁴􀀁 􀁃􀁊􀁋􀁆􀁌􀁕􀁊􀁇
􀁴􀀁 invers
166 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jadi, g (x) =
1
x􀀋1
.
Kemudian, hitung h(x) sebagai berikut.
h (x) =g {f (x)}􀂙h (x) = 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
f
x x
x
x
􀀈x􀀉􀀋
􀀝
􀀋
􀀝
􀀍
􀀋
􀀍
􀀍
􀀝
􀀍
􀀝
1 􀀍
1
1
x
x
x
x
Hitung h–1(x) sebagai berikut.
h (x) =
x
x
􀀍1
􀂙x h (x) = x – 1 􀂙x h (x) – x = – 1
􀂙 x (h (x) – 1) = – 1 􀂙 x =
􀀍
􀀈 􀀉􀀍
1
h1
Jadi, h–1 (x) = h
x x x (x) = - = ( ) x
-
- ( ) --
=
-+
1 1 =
1
1
1
1
1 .
Tes Kompetensi Subbab E
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan f –1 (x), g–1 (x), (f ° g)–1 (x), dan
(g ° f)–1 (x) jika diketahui:
a. f (x) =
x
x 􀀋1
dan g (x) = 2x + 3
b. f (x) = 5 – 2x dan g (x) =
x
x
􀀍 3
c. f (x) =
1
4 􀀍 x
dan g (x) = x2 – 1
d. f (x) = 5x – 4 dan g (x) =
2
2x 4
e. f(x) =
1
2x
dan g(x) = 16􀀍x2
f. f(x) =
3 2
6
x
x 􀀍
dan g(x) =
2
2
x
x 􀀍
2. Diketahui f
x
􀀈x􀀉􀀝
􀀍
2
4
dan g􀀈x􀀉􀀝 x􀀍8.
Tentukanlah:
a. (f ° g)–1 (–2) d. (f ° g)–1 (x – 3)
b. (g ° f)–1 (2) e. (g ° f)–1 (2x + 1)
c. (g ° f)–1 (- ) f. (f ° g)–1 (x2 – 1)
• Fungsi atau pemetaan dari A ke B didefinisikan sebagai suatu
relasi dari himpunan A ke B, dengan setiap x A dipasangkan
pada satu dan hanya satu y􀂌B.
• Himpunan unsur-unsur dalam A disebut daerah asal (domain).
• Himpunan peta dari A ke B disebut daerah hasil (range).
Sekarang tuliskan rangkuman materi yang telah dipelajari di buku
latihan Anda. Beberapa siswa membacakan hasilnya di depan
kelas.
Rangkuman
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 167
Setelah Anda mempelajari Bab 6,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Refleksi
Tes Kompetensi Bab 6
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika f(x) = x + 2 maka f(x2) + 3f(x) – (f(x))2
sama dengan ....
a. –x + 4 d. –x + 5
b. x + 4 e. x + 5
c. –x + 2
2. Jika f (x)= x2 􀀋1 dan f ° g (x) =
1
2
2 4 5
x
x
􀀍
􀀍4x􀀋 maka g(x – 3) adalah ....
a. 1
x􀀍5
d. 1
x2
b. 1
x􀀋1
e. 1
x􀀋 3
c. 1
x􀀍1
3. Jika h(x + 2) = x2 + 2x maka h(x) = ....
a. 2x + x2 d. –x2 – 2x
b. 2x – x2 e. x2 – 2x
c. –x2 + 2x
4. Jika f(x) = 3x2 – 2x maka f(x – 2) – 4f(2x –
1) + f(2) = ....
a. 45 x2 – 50x + 4
b. 45x2 + 50x – 4
c. 45x2 + 50x + 4
d. –45x2– 50x + 4
e. –45x2 + 50x + 4
5. Fungsi berikut ini yang dapat digolongkan
ke dalam fungsi satu-satu adalah ....
a. f(x) = k, k konstanta sebarang
b. f(x) = x + 9
c. f(x) = x2 – 9x
d. f(x) = x2 – 2x + 1
e. f(x) = x2 + 2x + 1
6. Jika f(x) = 2ax +
1
x2
, g(x) = bx –
3
x
, dan
C = 2a + b maka jumlah kedua fungsi tersebut
adalah ....
a. ax d. abx =
3
x
b. bx e. ax = C
c. Cx
7. Jika f(x + y) = f(x) + f(y), untuk semua
bilangan rasional x dan y serta f(1) = 10,
maka f(2) adalah ....
a. 0
b. 5
c. 10
d. 20
e. tidak dapat ditentukan
8. Diketahui f(g(x)) =
3
3 5
􀀍 x
x
dan g(x) =
x
x
􀀍1
3x􀀍5
maka nilai f(0) adalah ....
a. –4 d. 2
b. –2 e. 4
c. 0
9. Fungsi f: R􀁬R dengan f(x) = 4x + n
g: R􀁬R dengan g(x) = 3x – 10
Jika f ° g (x) = g ° f(x) maka nilai n yang
memenuhi persamaan itu adalah ....
168 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
a. –15 d. 10
b. –10 e. 15
c. 5
10. Jika f(x) = 5 – 2x, g(x) = x2 – 25, dan
h(x) =
1
4
g(f(x)) maka h–1 (x) = ....
a. 5
2
25
4
􀁯 􀀋
b. 5
2
1 25
4
Ê
± +
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
x
c. 25
4
25
4
􀁯 􀀋
d. 25
4
1 5
2
Ê
± +
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
x
e. 25
4
25
4
􀁯 􀀋
11. Jika f = {(2, 4), (3, 5), (4, –1), (5, 2)
g = {(2, –3), (3, 3), (4, 2), (5, 4), (–1, 1)}
maka f ° g = ....
a. {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 3), (5, 4)}
b. {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 3), (5, 5)}
c. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 3), (5, 2)}
d. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}
e. {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 5)}
12. Jika suatu fungsi ditentukan sebagai
himpunan pasangan berurut f = {(1, 3), (2,
5), (4, 2), (5, 0)} maka f –1 = ....
a. {(3, 1), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}
b. {(1, 3), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}
c. {(1, 3), (2, 5), (2, 4), (5, 0)}
d. {(3, 1), (5, 2), (2, 4), (0, 5)}
e. {(3, 1), (5, 2), (4, 2), (5, 0)}
13. Jika f = {(1, 3), (4, 5), (7, –2), (9, –4)}, g
= {(1, 4), (6, 0), (7, 3), (9,12), (10, –6)},
dan h =
f
g
maka h sama dengan ....
a. {(1 3), , }
4
,
(7 2 )
3
,
(9 1)
3
,
b. {(1 3), , }
4
,
(7 2 )
3
,
- (9 1)
3
,
c. {(1 3), , }
4
,
(7 2 )
3
,
- (9 1)
3
, -
d. {(1 3), , }
4
,
- (7 2 )
3
,
- (9 1)
3
,-
e. {(1 3), , }
4
,
- (7 2 )
3
,
(9 1)
3
,
14. Apabila g(x) = 3x + 1 dan g(f(x)) = 5x2 +
x – 3 maka f(x) = . . . .
a. 1
3
(x2 – x – 4)
b. 1
3
(x2 – x + 4)
c. 1
3
(x2 – x – 2)
d. 1
3
(5x2 + x + 4)
e. 1
3
(5x2 + x – 4)
15. Jika f(x) = 2x – 3 dan g ° f(x) = 2x + 1 maka
g(x) = ....
a. x – 4 d. x – 6
b. x + 4 e. 2x –1
c. 2x – 3
16. Pernyataan-pernyataan berikut benar,
kecuali ....
a. (f ° f –1)(x) = (f –1 ° f )(x)
b. (f –1 ° g–1)(x) = (f ° g)–1 (x)
c. jika f (x) = x + 1 maka f –1(x) = x –1
d. jika f (x) = 2x – 1 maka f –1 (x) =
1
2
(x + 1)
e. jika f (x) = x3 maka f –1 (x) = 3 x
17. Jika f (x) = px q
rx s
􀀋
􀀋
, maka f –1 (x) = ....
a. sx q
rx p
􀀋
􀀋
d. sx q
rx p
􀀍
􀀋
b. sx q
rx p
􀀍
􀀍
e. sx q
p rx
􀀍
c. sx q
rx p
􀀋
􀀍
18. Diketahui f(x) = log x, g(x) = 2x – π, dan
h(x) = sin x, f ° g ° h(x) = 0, nilai x yang
memenuhi adalah ....
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 169
a. p4
d. p8
b. 2
4
p e. 3
8
p
c. 3
4
p
19. Fungsi berikut ini yang memiliki invers
fungsi adalah ....
a. y = x2 + 2x + 1 d. y = 5
b. y = x2 + 5x e. y = 2x2 + 4x + 3
c. y = 2x + 3
20. Jika f(x) = x + 1 dan g(x) =
1
0
x
, x π
maka
(1) f ° f (x) = x + 2
(2) f ° g(x) =
1
x􀀋1
(3) f ° f –1(x) = x
(4) g ° f –1(x) = x
Pernyataan yang benar adalah ....
a. 1, 2, dan 3 d. 2, 3, dan 4
b. 1 dan 3 e. 1, 2, 3 dan 4
c. 2 dan 4
21. Jika f(x) = x dan g(x) = x2 + 1 maka
(g ° f ° f)(x) = ....
a. x – 1 d. x 􀀋1
b. x + 1 e. x 􀀋1
c. x 􀀋1
22. Diketahui f (x) = 2x + 5dan g(x) =
x
x
􀀍
􀀋
1
4
.
Jika f ° g(a) = 5 maka a = ....
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
23. Fungsi berikut ini yang tidak memiliki
fungsi invers adalah ....
a. y = 5x2 + 7 d. y = 5log x
b. y = x3 + 4 e. y = 2x + 10
c. y = 10 – 150x
24. Jika f ( x ) = 2x – 3, dengan x 􀂌
R dan f –1 adalah fungsi invers dari
f (x) maka kedua kurva f (x) dan
f –1(x) akan berpotongan pada titik ....
a. (1, –3) d. (3, –3)
b. (–1, 3) e. (3, 3)
c. (–3, 3)
25. Jika f : x􀁬52x maka f –1 adalah ....
a. 5log 2x d. y = xm
b. 5log x e. 2log 5x
c. 2x log 5
26. Invers dari y =
x
m
dengan m konstanta
sebarang adalah ....
a. y
m
x
􀀝 d. y = x2
b. y
x
m
􀀝 e. y = x + m
c. y = mx
27. Diketahui f = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 8)}
maka f –1(3) adalah ....
a. 1 d. 6
b. 5 e. 8
c. 4
28. Jika f(x) = 8x dan g(x) = 3x2 + 4 maka
f –1(g(x)) = ....
a. 8log (3x2 + 4) d. 8log 3x2 + 4
b. 8log (3x2 – 4) e. log (3x2 + 4)
c. 8log 3x2 – 4
29. Diketahui f(x) = 15x dan h(x) = x3 + 4
untuk setiap x bilangan real, x ≠ 0 maka
f –1(h(x2) – 4) = ....
a. 15log (x5 + 2) d. 15log x6
b. 15log (x5 – 4) e. 15log x5
c. 15log (x3 + 4)
30.
Jika y = f (x) =
1
2
x + 3, z = f (y) =
1
3
y + 2,
w = f (z) =
1
4
z + 1
maka fungsi komposisi dari x ke w adalah ....
a. 1
24
(x + 42) d. 1
24
(4x + 16)
b. 1
24
(2x + 7) e. 1
12
(6x + 18)
c. 1
24
(3x + 21)
x Reservoir
A
Reservoir
B
Reservoir
C
y = f(x) z = f(y) w = f(z)
170 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Dari fungsi-fungsi berikut, tentukan
f(–2), f(–1), f(0), f(1), dan f(2). Kemudian,
gambarkan grafiknya. Jika daerah asalnya
Df D={x|–2 < x< 2, x􀂌R}, tentukan daerah
hasilnya.
a. f (x) = 3x – 1
b. f (x) = 3 – 2x
c. f (x) = x – 2
d. f (x) = 4 – 2x 2
e. f (x) = x2 – 3x+2
f. f (x) = x3– 1
2. Diketahui fungsi f
x
x
􀀈x􀀉􀀝
􀀋
3x􀀍1
2 2 dan
g􀀈x􀀉􀀝 14􀀍4x . Tentukanlah:
a. (f + g) (2)
b.
f
g
ÊË Ê
ÊÊË
Ë Ê ˆ
¯
ˆ (- )
c. (f – g) (–2)
d. (f × g) (–10)
e. f 2(4)g(–1)
f. g 2(–7) : f (2)
3. Tentukan f ° g ° h(x) dan h ° g ° f(x) dari
fungsi-fungsi berikut ini.
a. f (x) = x – 3, g(x) = 2x + 1, dan h(x) =
x2 – 2
b. f (x) = 3x – 1, g(x) = x2 + 1, dan h(x)
= x2 + 2x + 5
c. f (x) = x2 – 1, g(x) = x + 2, dan h(x) =
x2 – 2
d. f (x) = 4x 8 , g(x) = x2, dan h(x) =
x 􀀋1
4. Jumlah mobil yang diproduksi suatu pabrik
selama 1 hari setelah t jam operasi adalah
n(t) = 200t – 10t2, 0 ≤ t < 10. Jika biaya
produksi n mobil (dalam dolar) adalah
C(n) = 30.000 + 8.000 n, tentukan biaya
C sebagai fungsi dari waktu. Berapakah
biaya memproduksi mobil selama 1
bulan?
5. Dengan menggunakan sifat f –1 ° f (x) = x,
tentukan f –1 (x) untuk fungsi-fungsi
berikut.
a. f (x) = 3x + 7
b. f (x) = (x + 2)2
c. f (x) = (x +2) (x – 2)
d. f (x) =
5
2
2
2
x
x 􀀍
e. f (x) = x
x
3
3
8
6
􀀍
􀀋
f. f (x) = x
x
3
3
12
8
􀀋
􀀍
Bab
171
Limit
Sumber: davelicence.zenfolio.com
Anda telah mempelajari nilai fungsi f di a pada Bab 5.
Sebagai contoh, diketahui f(x) =
x x
x
2 + 2 . Untuk x = –1 diperoleh
f(–1) = 1. Untuk x = 1 diperoleh f(1) = 3. Berapakah
nilai f untuk x = 0?
Ternyata, Anda tidak dapat menentukan nilai f di
x = 0 sebab pembagian bilangan hanya terdefinisi jika
pembagi tidak sama dengan 0. Akan tetapi, Anda masih
dapat mempelajari bagaimana nilai f jika x mendekati 0
dengan menggunakan limit. Konsep limit suatu fungsi dapat
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan berikut.
Misalkan persamaan posisi motor setelah bergerak t jam
dinyatakan oleh S = f(t) = 24t2 + 4t. Kecepatan motor pada
saat t = 1 jam dapat diperoleh dari limit kecepatan rata-rata
dalam selang t = 1 sampai t = 1 + Dt dengan mengambil Dt
mendekati nol (Dt 􀁬 0). Pernyataan tersebut dapat dinyatakan
secara matematis sebagai berikut.
V ( t = 1) – lim
􀀤
􀀤
t 􀀤
􀀤􀀤S
􀁬0 t
– lim
)
(
)
􀀤
􀀤
t 􀀤
f ( t f
􀁬 t
0
􀀍 Dengan menggunakan konsep limit, Anda dapat
menentukan kecepatan pada saat t = 1 jam.
A. Limit Fungsi
B. Limit Fungsi
Trigonometri
7
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menjelaskan limit
fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya;
menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu
fungsi aljabar dan trigonometri.
172 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Sederhanakanlah pecahan berikut dengan
merasionalkan penyebut.
a.
10
3 6
b.
x
x
-
-
2
4
2. Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.
a. x2 – y2
b. a3 – b3
c. x2 + 2xy + y2
3. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dengan
menggunakan sudut tunggal.
a. sin 2
b. tan 2
c. cos 2
4. Isilah titik-titik berikut.
a. sin (a ± b) = ....
b. cos (a ± b) = ....
c. tan (a ± b) = ....
5. Ubahlah ke bentuk penjumlahan.
a. 2 sin a cos b
b. 2 cos a cos b
6. Ubahlah ke bentuk perkalian.
a. sin a + sin b
b. cos a – cos b
c. tan a – tan b
Diagram Alur
Limit
untuk menentukan nilai
metode penyelesaian berupa
diselesaikan dengan diselesaikan dengan
mempelajari
Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri
Di x a Di x ∞
Substitusi
Memfaktorkan
Terlebih Dahulu
Perkalian dengan
Bentuk Kawan
lim
)
x ( )
f (x
Æ• g(x
=


lim
xÆ•[ f (x) - g(x)] = ∞ – ∞
Teorema
Limit Utama
Kalikan dengan
Bentuk Kawan
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Limit 173
A. Limit Fungsi
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar
kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Ronaldo hampir
mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/
jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam
matematika disebut limit.
1. Pengertian Limit
Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran
suatu variabel pada suatu bilangan real. Notasi
lim )
x a
f (x L
Æ
=
dijabarkan sebagai "limit fungsi f(x) pada saat x
mendekati a sama dengan L". Suatu limit dikatakan ada
jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan
yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real
dari sebelah kiri yang dinotasikan lim ) x a–
f (x
Æ
. Sedangkan
limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari
sebelah kanan yang dinotasikan lim )
x a
f (x
Æ + . Untuk lebih
memahaminya perhatikan uraian berikut.
Misal, diberikan suatu limit fungsi
f(x)=
4 4
4 6 4
x x
x x
,
,
jika
jika > {
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama.
• lim (
)
x
x
Æ - 4
4x = 4 = 16, karena x < 4
• lim lim l
x x
x x
Æ4+ xÆ4+ Æ4+
4x + 6 4x + lim 6 = 16 + 6 = 22
Oleh karena nilai limit kiri dan nilai limit kanan
berbeda, limit fungsi tersebut tidak ada.
Selanjutnya, perhatikan bentuk fungsi berikut.
lim )
x
f (x
x
Æ x
=
-
3 -
2 9
3
Limit fungsi tersebut, tidak terdefinisi di x = 3 karena
daerah asal fungsi f adalah{x | x ≠ 3).
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada
tabel berikut.
Augustin Louis Cauchy
(1789–1857)
Definisi yang tepat
tentang limit pertama kali
diperkenalkan oleh Cauchy.
Cauchy adalah seorang mahaguru
di Ecole Polytechnique,
Sarbone, dan College
de France. Sumbangansumbangan
matematisnya
sangat cemerlang sehingga
semua buku ajar moderen
mengikuti penjelasan kalkulus
yang terperinci oleh Cauchy.
Sumber: Kalkulus dan Geometri
Analitis Jilid 1, 1987
Tokoh
Matematika
174 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tabel 7.1
x 2,99 2,999 2,9999Æ Æ3,0001 3,001 3,01
f x
x
x
x) = -
-
2 9
3
5,99 5,999 5,9999Æ Æ6,0001 6,001 6,01
Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa
pada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6.
Jadi,
lim
( )(
)
x
x
x
x
x
Æ
-
-
=
-
= +
3
2 9
3
3)( 3
3
3 ; jika x π 3
Oleh karena x + 3 mendekati 6 jika x mendekati 3
maka x
x
2 9
3
-
-
mendekati 6 jika x mendekati 3.
Meskipun fungsi f(x) tidak terdefinisi untuk x = 3, tetapi
fungsi tersebut mendekati nilai 6 pada saat x mendekati 3.
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa nilai limit fungsi
tersebut adalah 6.
Selanjutnya, perhatikan pula bentuk fungsi berikut.
lim
x
x
Æ
+
3
3
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada tabel
berikut.
Tabel 7.2
x 2,99 2,999 2,9999Æ Æ3,0001 3,001 3,01
f x x ) = + 3 5,99 5,999 5,9999Æ Æ6,0001 6,001 6,01
Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa
pada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6.
Jadi,
lim
x
x
Æ
+
3
3 = 6.
Dapat disimpulkan bahwa limit lim
x
x
Æ
+
3
3 = 6 dapat
diperoleh tanpa menggunakan Tabel 7.2. Ketika x mendekati
3, nilai x + 3 akan mendekati 6.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
lim li ( )
x
x
Æ x xÆ
-
= lim(
3
2
3
9
3
3) = 6
Secara umum, lim
xÆa
f(x) = L mengandung arti bahwa
jika x mendekati atau menuju ke a, tetapi berlainan
dengan a maka f(x) menuju ke L.
Limit 175
Untuk menghitung
lim
x
x x
Æ x
+
0
2 2
, sebaiknya
x2 2x
2
+
difaktorkan,
lalu disederhanakan,
sebelum menyubstitusikan
x = 0 karena jika x = 0
disubstitusikan secara
langsung maka diperoleh
lim
x
x
Æ x
-
+
0
2 + 2x 02 2◊0
0
=
0
0
dan ini bentuk tidak tentu.
Ingatlah
Tentukan limit berikut.
1. lim
x􀁬2
(2x – 4)
2. lim
x􀁬4
(x2 – 5x + 6)
Jawab:
1. lim
x􀁬2
(2x – 4), artinya jika xmendekati 2 maka (2x – 4) mendekati
(2 · 2 – 4) = 0. Dengan demikian, lim
x􀁬2
(2x – 4) = 0.
2. lim
x􀁬4
(x2 – 5x + 6), artinya jika x mendekati 4 maka (x2 – 5x + 6)
akan mendekati (42 – 5.4 + 6) = 2.
Jadi, lim
x􀁬4
(x2 – 5x + 6) = 2.
Diketahui f (x) =
x x
x
x
x
2 2
0
5 0
+
π
Ï
Ì
Ô Ï
Ì
Ó Ô Ó
Tentukan:
a. nilai fungsi di titik 0
b. nilai limit di titik 0.
Jawab:
a. f(0) = 5
b. lim
x
x x
Æ x
+
0
2 2
= 2
Diketahui limit lim
x
x
Æ x
+
5 -
2 25
5
Tentukan nilai limit tersebut.
Jawab:
lim
x
x
Æ x
+
5 -
2 25
5
= lim
( )(
)
x
Æ5 x -
5)( 5
5
= lim
x
x
Æ
+
5
5
= 5 + 5
= 10
Contoh 7.1
Contoh 7.2
Contoh 7.3
Dengan teman sebangku, cari
nilai n (bilangan asli positif )
yang memenuhi lim
x
xn n
Æ x
-
2 -
2
2
.
Tantangan
untuk Anda
176 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Limit Fungsi Aljabar
Limit konstanta k untuk x mendekati a ada dan nilainya
sama dengan k, ditulis lim
x a
k = k. Secara grafik, hal tersebut
dapat Anda lihat pada Gambar 7.4. Pandang fungsi f(x) = k
maka lim
x a
f (x) = lim
x a
k = k. Limit x untuk x mendekati a
pun ada dan nilainya sama dengan a, ditulis lim
x a
x = a.
Untuk mengetahui adanya limit secara mudah, Anda dapat
menggunakan teorema berikut.
Teorema Limit Utama
Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi dan k konstanta maka
1. lim
x a
(f (x) + g(x)) = lim
x a
f (x) + lim
x a
g(x)
2. lim
x a
(f (x) – g(x)) = lim
x a
f (x) – lim
x a
g(x)
3. lim
x a
(f (x) · g(x)) = lim
x a
f (x) · lim
x a
g(x)
4. lim
)
x a ( )
f (x
g(x
=
lim )
lim ( )
x a
x a
f (x
g(x
; lim
x a
g(x) ≠ 0
5. lim
x a
k f (x) = k lim
x a
f (x); k = konstanta
6. lim
x a
[f (x)]n = lim )
x a
n
f x ( 􀂧􀂩
􀂨 􀂧
􀂩
􀂷􀂹
􀂸 􀂷
􀂹
; dengan n bilangan bulat
positif 7. lim )
x a
n f (x = lim )
x a
n f (x ; dengan lim
x a
f (x) ≥ 0
a. Menentukan Limit dengan Substitusi
Langsung
Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan
dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut.
a
f(x) = k
x
y
Gambar 7.1
Grafik fungsi f(x) = k
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.
1. lim
x􀁬􀀍􀀈x 􀀋 x 􀀋x 􀀉
4
􀀍 2. lim
x
x
Æ x
+
0 +
3 1
1
Jawab:
1. lim
x􀁬􀀍􀀈x 􀀋 x 􀀋x 􀀉
4
􀀍
= (–4)3 + 4(–4)2 + (–4) – 6 = –10
2. lim
x
x
Æ x
+
0 +
3 1
1
=
0 1
0 1
3
= 1
Contoh 7.4
Limit 177
Mari, Cari Tahu
Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 orang. Cari informasi di
buku atau internet riwayat orang yang berjasa merumuskan konsep
limit, di antaranya Augustin Louis Cauchy. Tuliskan dan laporkan
riwayatnya atau salah satu karyanya yang terkenal. Kemudian,
fotonya dapat Anda tempel di ruang kelas.
Pembahasan Soal
lim
t
t
􀁬 t t
􀀍
2 􀀋􀀍
3
2
8
6
= ....
Jawab:
lim
t
t
􀁬 t t
􀀍
2 􀀋􀀍
3
2
8
6
= lim
( )(
)
t􀁬 ( )(
)
2 2
= lim
t
t
􀁬 t
􀀋 t􀀋
2 􀀋
2 2t4
3
=
12
5
Soal PPI, 1979
b. Menentukan Limit dengan Cara
Memfaktorkan Terlebih Dahulu
Jika dengan cara substitusi langsung pada lim
)
x a ( )
f (x
g(x
diperoleh bentuk
0
0
(bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoran
terlebih dahulu terhadap f (x) dan g(x). Kemudian,
sederhanakan ke bentuk paling sederhana. Agar lebih jelas,
perhatikan uraian berikut.
lim
)
x a ( )
f (x
g(x
= lim
( ) ( )
x a ( ) ( )
P(
Q(x
= lim
( )
x a ( )
P(
Q(x
=
P
Q a
(a)
(a)
Dalam hal ini P(a) ≠ 0 dan Q(a) ≠ 0.
Pertanyaan: Mengapa f (x) dan g(x) boleh dibagi oleh
(x – a)?
Bersama kelompok belajar Anda, lakukan kegiatan menghitung limit
bentuk
0
0
. Permasalahannya adalah menentukan lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
2 1
1
.
Langkah-langkah yang dapat Anda lakukan adalah sebagai berikut.
Langkah ke-1
Menyubstitusikan x = 1 ke dalam fungsi yang dicari nilai limitnya,
yaitu
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
2 1
1
=
... ...
... ...
-
-
=
0
0
Langkah ke-2
Agar tidak muncul bentuk
0
0
, faktorkanlah x2 – 1, kemudian
sederhanakan sebagai berikut.
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
2 1
1
= lim
(... ...)(... ...)
xÆ ( )
+ ...)(...-
1
= lim
x􀁬1
(... + ...)
Aktivitas Matematika
178 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Langkah ke-3
Setelah fungsi yang dicari limitnya disederhanakan, substitusikan
x = 1 pada limit fungsi yang sederhana itu, sebagai berikut.
lim
x􀁬1
(... + ...) = ... + ... = ...
Jadi, lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
2 1
1
= ....
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.
1. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
2 􀀍
2 4
2
3. lim
x
x x
􀁬 x x
􀀋
0
2
2
3x2 3
2x2 8
2. lim
x
x
􀁬􀀍 x
􀀋
3 􀀋
3
3
Jawab:
1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
2 􀀍
2 4
2
=
2 4
2 2
2
=
0
0
(bentuk tak tentu). Agar tidak muncul
bentuk
0
0
, faktorkanlah x2 – 4 sebagai berikut.
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
2 􀀍
2 4
2
= lim
( ) (
)
x􀁬 ( )
2
= lim
x􀁬2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
2. Dengan cara substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x
􀁬􀀍 x
􀀋
3 􀀋
3
3
=
􀀍 􀀋
􀀍 􀀋
33
33
=
0
0
Agar tidak muncul bentuk
0
0
, faktorkanlah x + 3 sebagai berikut.
lim
x
x
􀁬􀀍 x
􀀋
3 􀀋
3
3
= lim
x
x
􀁬􀀍 x
􀀋􀀋 x􀀋
3 􀀋􀀋
3 􀀋􀀋3
3
= lim
x
x
􀁬􀀍
􀀋
3
3= 􀀍3􀀋􀀋3 = 0 = 0
3. Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah
diperoleh bentuk
0
0
. Agar tidak muncul bentuk
0
0
, faktorkanlah
(3x3 + 3x) dan (2x2 – 8x) sebagai berikut.
lim
x
x x
􀁬 x x
􀀋
0
2
2
3x2 3
2x2 8 = lim
x ( )
x
􀁬 x(
􀀈x 􀀋
􀀉
0
3x2x(
=
3
2
1
0 4
2
lim
x
x
􀁬 x
􀀋
􀀍
=
3
2
0 1
0 4
2
􀂕
􀀋 = 􀀍
3
8
Contoh 7.5
Limit 179
c. Menentukan Limit dengan Mengalikan
Faktor Sekawan
Jika pada lim
)
x a ( )
f (x
g(x
diperoleh bentuk tak tentu
0
0
untuk
x = a dan sulit untuk memfaktorkan f(x) dan g(x), lakukan
perkalian dengan faktor sekawan dari g(x) atau f(x). Agar
lebih jelas, pelajari contoh berikut.
Tentukan limit berikut.
1. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
0
3􀀍 9 9
3
2. lim
x
x x
􀁬 x x
􀀋
1
3x 1 1
2x 1
Jawab:
1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
0
3􀀍 9 9
3
=
3 9 0
3 0
􀀍
=
0
0
(bentuk tak tentu).
Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah lim
x
x
􀁬 x
􀀍
0
3􀀍 9 9
3
dengan
3 9 9
3 9 9
􀀋 􀀍
􀀋 􀀍
x
x
, sebagai berikut.
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
0
3􀀍 9 9
3
·
3 9 9
3 9 9
􀀋 􀀍
􀀋 􀀍
x
x
= lim
(
)
x􀁬0 x􀀈 􀀋􀀋 x􀀉
9􀀍3x􀀍
= lim
x
x
􀁬0 x 􀀈 􀀋􀀋 x􀀉
9
3 􀀍
lim
x􀁬0 􀀋 􀀍 x
3
39 9
=
3
3􀀋 9􀀍0
=
3
6
=
1
2
2. Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah
diperoleh bentuk
0
0
? Agar tidak muncul bentuk
0
0
, kalikanlah
3x 1 x􀀋1 dengan faktor sekawannya, sebagai berikut.
lim
x
x x
􀁬 x x
􀀋
1
3x 1 1
2x 1
= lim
x
x x
x x
x x
x x
x
􀁬
􀀋
􀂕
􀀍 􀀋 􀀋
􀀍 􀀋 􀀋
􀂕
􀀍 􀀋
1
3x 1 1
2x 1
3x 1 1
3x 1 1
2x1 x
2x􀀍1􀀋 x
= lim
x
x
x
x x
􀁬 􀀍 x x
􀂕
􀀍 􀀋
1 􀀍 􀀋 􀀋
2x􀀍2
1
2x 1
3x 1 1
= lim
( )
x ( )
x x
􀁬 x x
􀂕
􀀍 􀀋
1 􀀍 􀀋 􀀋
2 2x 1
3x 1 1
= 2
2 1
1 3 1 1
lim
x
x x
􀁬 x x
􀀍􀀋
􀀍􀀋 􀀋
= 2 ·
2 1 1
3 1 1 1
􀀍􀀋
􀀍􀀋 􀀋
= 2 ·
2
2 2
= 2
Contoh 7.6
SitusMatematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang limit
fungsi melalui internet
dengan mengunjungi situs
berikut.
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁎􀁂􀁕􀁉􀁘􀁐􀁓􀁍􀁅􀀏
􀁘􀁐􀁍􀁇􀁓􀁂􀁎􀀏􀁄􀁐􀁎
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐 􀁎􀁂􀁕􀁉􀁔􀁕􀁖􀃲􀀏􀁄􀁐􀁎
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐 􀁚􀁐􀁖􀁏􀁈􀁄􀁐􀁘􀀏􀁏􀁆􀁕
180 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
O
asimtot tegak
y
f (x) =
1
x2
x
Gambar 7.2
Grafik f(x) =
1
x2
Soal Terbuka
1. Buatlah 4 soal limit x
menuju 1 yang nilainya
2. Berikan soal ini kepada
teman Anda untuk dicek
dan dikritisi.
2. Buatlah uraian
singkat strategi yang
Anda lakukan untuk
menyelesaikan soal limit.
Kemudian, bacakan
(beberapa siswa) hasilnya
di depan kelas.
3. Limit Tak Hingga dan Limit Fungsi di
Tak Hingga
Lambang ∞ (dibaca: tak hingga) digunakan untuk
menyatakan nilai bilangan yang semakin besar. Jadi, ∞ bukan
merupakan lambang bilangan dan tidak dapat dioperasikan
secara aljabar sehingga tidak benar ∞ – ∞ = 0 atau ∞

= 1.
Amati fungsi berikut.
f (x) =
1
x2
Fungsi f tidak terdefinisi di x = 0 sebab pembagian
bilangan satu hanya terdefinisi jika pembagi ≠ 0. Anda dapat
menentukan f (x) =
1
x2
pada beberapa nilai x yang mendekati
0 seperti diperlihatkan pada Tabel 7.3.
Amati tabel tersebut. Jika x menuju 0 maka nilai
1
x2
bernilai positif yang semakin membesar tanpa batas. Dalam
lambang matematika ditulis lim
x􀁬0 x2
1
= ∞. Bentuk grafik fungsi
seperti ini diperlihatkan pada Gambar 7.2.
Tabel 7.4 memperlihatkan nilai
1
x2
untuk nilai x yang
menjadi sangat besar.
Tabel 7.4
x 1 10 1.000 10.000 100.000 ?
1
x2
1 0,01 0,000001 0,00000001 0,0000000001 0
Amatilah tabel tersebut, ternyata nilai
1
x2
menuju 0 jika
x menjadi sangat besar. Dalam lambang matematika, ditulis
lim
x􀁬􀁣x
1
2 = 0.
Lain halnya dengan fungsi f (x) = x2. Ketika x menjadi
sangat besar maka nilai x2 pun bernilai semakin besar tanpa
batas. Dalam lambang matematika, ditulis
lim
x􀁬􀁣
x2 = ∞ (Amati kembali Gambar 7.2)
Tabel 7.3
x
1
x2
–0,01 10.000
–0,001 1.000.000
–0,0001 100.000.000
–0,00001 10.000.000.000
0 ?
0,00001 10.000.000.000
0,0001 100.000.000
0,001 1.000.000
0,01 10.000
Limit 181
Untuk fungsi g(x) = x2 +1 , ketika x menjadi sangat
besar maka nilai x2 +1 pun bernilai semakin besar tanpa
batas. Dalam lambang matematika, ditulis lim
x
x
Æ•
2 +1 = ∞.
Untuk menyelesaikan limit fungsi tak hingga Anda dapat
menggunakan Teorema Limit Utama pada halaman 144.
Pelajari contoh-contoh berikut.
a. lim
x
x
􀁬􀁣 x
􀀋
􀀋
6x1
2x10
= lim
x
x
x
􀁬􀁣
􀀋
􀀋
6
1
2
10 =
6 0
2 0
􀀋
􀀋
= 3
b. lim
x
x
􀁬􀁣 x
􀀋
􀀍 x􀀋
8 100
3x2 5 10 = lim
x
x x
x x
􀁬􀁣
􀀋
􀀍 􀀋
8 100
3
5 10
2
2
=
0 0
3 0 0
􀀋
􀀍􀀋
=
0
3
= 0
c. lim
x􀁬􀁣 x x
􀀍 x 􀀋
􀀋
6 100
2x 3
2
2 = lim
x
x
x
􀁬􀁣
􀀍 􀀋
􀀋
6
100
2
3
2
=
􀀍 􀀋
􀀋
60
20
=
-6
2
= –3
d. lim
x
x
􀁬􀁣 x2 x􀀍1
=lim
x
x x
􀁬􀁣
􀀍 􀀍
1
1
1 1
2
=
1
1 0􀀍0
=
1
1
=
1
1
=1
e. lim
x
x x
􀁬􀁣 x
􀀋
􀀋
3 2
2
2
3
= lim
x
x
x x
􀁬􀁣
􀀋
􀀋
1
2
1 3
3
Perhatikan, ketika x semakin membesar tanpa batas, nilai
1 +
2
x
menuju 1, sedangkan nilai
1 3
x x3
􀀋 menuju nol. Akibatnya,
nilai
1
2
1 3
3
􀀋
􀀋
x
x x
membesar tanpa batas.
Dengan demikian, lim
x
x
x x
􀁬􀁣
􀀋
􀀋
1
2
1 3
3
= ∞.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum limit? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan katakata
Anda sendiri. Konsep limit yang telah Anda pelajari
tersebut memperjelas ketentuan limit berikut.
Dari Gambar 7.5, jika x
menjadi sangat kecil (xÆ ∞)
maka nilai
1
x2
menuju 0.
Dalam lambang matematika
ditulis lim
x􀁬􀁣x
1
2 = 0.
Ingatlah
Pada soal a, pem bilang dan
penye but bentuk
6 1
2 􀀋0
ma sing-masing di bagi
dengan x ka rena jika
disubstitusikan secara
langsung diperoleh bentuk


. Dengan penalaran
yang sa ma, pembilang dan
penyebut fung si pada soal
b, c, d, dan e masing-ma sing
harus di bagi dengan pangkat
tertinggi dari pem bilang
supaya tidak diperoleh
bentuk ∞

.
Ingatlah
182 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Lambang tak hingga yang
digunakan sekarang (∞), kali
pertama diperkenalkan oleh
John Wallis (1616–1703) pada
tahun 1655 dalam jurnalnya
yang berjudul On Conic
Sections.
The symbol we now use for
infinity (∞), was first used by
John Wallis (1616–1703) in
1655 in his treatise On Conic
Sections.
Sumber: www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Information
for you
Secara umum,
• lim
)
x ( )
f (x
􀁬􀁣g(x
= koefisien pangkat tertinggi
koefisien p
f x)
angkat tertinggi g(x)
, j ika
pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x);
• lim
)
x ( )
f (x
􀁬􀁣g(x
= 0, jika pangkat tertinggi f(x) < pangkat
tertinggi g(x);
• lim
)
x ( )
f (x
􀁬􀁣g(x
= ±∞, jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat
tertinggi g(x);
dengan f(x) dan g(x) keduanya merupakan fungsi
polinom.
Cara lain untuk memperoleh penyelesaian limit fungsi
adalah mengalikan dengan faktor sekawan. Pelajari contohcontoh
berikut.
1. lim
x􀁬􀁣􀀈 x x􀀉
􀁣
􀀋 􀀍 = lim
x􀁬􀁣􀀈 x x􀀉
􀁣
􀀋 􀀍 􀁲
􀀈 x􀀋 􀀋 x􀀉
􀀈 x􀀋 􀀋 x􀀉
= lim
x􀁬􀁣 x x
􀀈 x􀀋 􀀉 􀀈 x􀀉
􀀋1􀀋
2 2 = lim
( )
x
x
􀁬􀁣 x x
􀀍
􀀋1􀀋
= lim
x􀁬􀁣 x􀀋 􀀋 x
1
1
= lim
x
x
x
􀁬􀁣
􀀋 􀀋
1
1
1
1
= lim
x􀁬􀁣 􀀋
0
11
= 0
2. lim
x􀁬􀁣􀀈 x x 􀀉
􀁣
􀀋􀀋
= lim
x􀁬􀁣􀀈 x x 􀀉
􀁣
􀀋
􀁲
􀀈 x 􀀍 􀀋 x 􀀋
􀀈 x 􀀍 􀀋 x 􀀋
􀀋􀀋 􀀋􀀋 = lim
x􀁬􀁣 x x
􀀈 x 􀀉 􀀈 x 􀀋
􀀉
􀀍 􀀋 􀀋
2 2
2 2
􀀋􀀋 x2 1
Pembahasan Soal
lim
( )
xƕ ( )
3
3 sama dengan ....
Jawab:
lim
( )
xƕ ( )
3
3
= lim
x
x x
Æ• x x
x + -
x + +
27 54 36 8
64 108 27
3 54x3
3+144x2
= lim
x
x x x
x x x
Æ•
- + -
+ + +
27
54 36 8
64
144 108 27
2 x3
2 x3
=
27
64
Soal SKALU, 1978
Limit 183
= lim
x􀁬􀁣 x x
􀀍
􀀍 􀀋 􀀋
2
2 1􀀋􀀋 x2 1
= lim
x
x
x x
􀁬􀁣
􀀍
􀀍 􀀋 􀀋
2
1
1
1
1
2 2 =
0
1􀀍0 􀀋 1􀀋0
= 0
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Jika limitnya ada, hitunglah limit fungsi
berikut.
a. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
4 􀀍
2
2
b. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
1
1
c. lim ( )
x
x
􀁬􀀍
􀀋
1
1
d. lim
x􀁬 􀀈 x 􀀉 􀀈
x 􀀋 􀀉
3 e. lim
x􀁬 x
x􀀋
2 􀀍
2􀀍 2
2
f. lim( ) (
)
x􀁬􀀍
3
3)2 2
g. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
4 􀀍
2
4
h. lim( )
x
x
􀁬1
􀀍4
2. Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
x
x
􀁬􀁣x􀀋1
b. lim
x
x
􀁬􀁣 x
3x􀀋􀀋2
4x􀀍5
c. lim
x
x
􀁬􀁣 x2 2x􀀍1
d. lim
x
x
􀁬􀁣 x
2 􀀍 x􀀋
2
2x1
3x2 􀀍2
e. lim
x
x
􀁬􀁣 x
􀀍 x􀀋
􀀋
3x 2 1
100
2
f. lim
x
x
􀁬􀁣 x
5x􀀍3x 􀀋6
3x 􀀍8
2
3
g. lim
x
x
􀁬􀁣 x
2
1􀀍2
h. lim
x
x
􀁬􀁣x
􀀋
􀀍
92
2 3
3. Hitunglah limit fungsi f (x) berikut.
a. f (x) = x x
x
2 2
2
􀀋
􀀋
di x = –2
b. f (x) =
1
2 2
1
􀀍
􀀍􀀋
x
x di x = 1
c. f (x) =
2
2 4
4
􀀍
􀀍 􀀋
x
x di x = 2
d. f (x) = x
x
􀀍
􀀍
1
1
di x =1
e. f (x) =
3
9
􀀍
􀀍
x
x
di x = 9
f. f (x) = x x
x
3 9
􀀍3
di x = 3
g. f (x) = x x
x
3 9
􀀋3
di x = –3
h. f (x) = x
x
􀀍
􀀍
2
2
di x = 4
184 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Limit Fungsi Trigonometri
Pada Subbab A telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali
ini akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini
dengan mempelajari sifat berikut.
lim
x􀁬0
sin x = sin 0 = 0
lim
x􀁬􀁐
cos x = cos p = –1
lim
x􀁬􀀍􀁐
cos x = lim
x􀁬􀀍􀁐 cos x
1
=
lim
lim cos
x
x
x
􀁬􀀍
􀁬􀀍
􀁐
􀁐
1
=
1
cos(􀀍􀁐)
= –1
1. Menentukan Rumus Limit Fungsi
Trigonometri
Sifat Prinsip Apit
Amati Gambar 7.3. Diketahui f, g, dan h adalah fungsifungsi
yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x
dekat a, kecuvali mungkin di a. Jika lim
x a
f (x) = lim
x a
h(x) = L
maka lim
x a
g(x) = L.
y
x
a
h(x)
g(x)
f (x)
0
Gambar 7.3
4. Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
( )
x􀁬􀁣 4x 􀀋􀀋9
2
4
b. lim
x􀁬􀁣􀀈 x x 􀀉
􀁣
􀀋 􀀍 􀀍
c. lim
x
x x x
􀁬􀁣 x x
􀀍􀀍
􀀋
2
2x3 2
d. lim
x􀁬􀁣􀀈 x x 􀀉
􀁣
􀀍􀀍 x􀀋
e. lim
x
a
x
a
􀁬􀁣 x
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍 􀀍
􀂦
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥 􀁣􀁣􀁣􀁣􀁣􀁣􀂦􀂦􀂥􀂥
1 1 􀂴
􀂤
􀂤 2 2 􀂤􀂤 􀂴􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂴􀂴􀂴 􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
f. lim
x􀁬􀁣􀀈 x x 􀀉
􀁣
􀀍 􀀋􀀋􀀋
g. lim
x􀁬􀁣􀀈 x x x 􀀉
􀁣
􀀍x􀀋􀀋 􀀍 􀀋
h. lim
x
x
􀁬􀁣 􀀈x 􀀋􀀋a 􀀉􀀍
5. Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
x
x x
􀁬 x x
􀀍x 􀀋 􀀍
1 􀀍x 􀀋
3 2
4 3
1
2x􀀍2
b. lim
x
x x
􀁬 x
􀀍 x 􀀋 􀀍
2 􀀋x􀀍
3 2
2
x2 4 8
6
c. lim
x
x x
􀁬􀀍 x x
􀀋 x 􀀋
1 􀀋 x 􀀋 􀀋
3 2
4 3 2x2
d. lim
x
x x
􀁬􀀍 x x
􀀋 x 􀀋 􀀋
1 􀀋 x 􀀋 􀀋
3 2
4 3
3x3
2x2
e. lim
x
x x
􀁬 x
􀀍x 􀀋
1 􀀋 x􀀍
3 2
2
3x􀀍3
3x4
f. lim
x
x x
􀁬 x x
􀀍 x 􀀋 􀀍
3 􀀍 x 􀀋
3 2
4 3
x2 4 12
x3 􀀍3
6. Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍 2
1
1
b. lim
x
x x
􀁬0 x 􀀋x
Limit 185
(a)
(b)
y
x
P(cos t, sin t)
A(1, 0)
t
O
y
x
A(1, 0)
t
O
P(cos t, sin t)
T(1, tan t)
Gambar 7.3
Sekarang amati Gambar 7.3(a). Diketahui, 0 < t< 􀁐
2
. Ketika
tÆ0 maka titik P bergerak ke arah A(1, 0) sehingga
lim
t􀁬0
cos t = 1 dan lim
t􀁬0
sin t = 0.
Perpanjangan OP dan garis tegak lurus sumbu-x yang
melalui A akan berpotongan di titik T(1, tan t) seperti diperlihatkan
pada Gambar 7.3 (b).
Sekarang amati DOAP, tembereng OAP, dan DOAT pada
Gambar 7.3(b). Dari hasil pengamatan tentunya Anda memahami
bahwa
luas DOAP ≤ luas juring OAP ≤ luas DOAT ....(1)
Anda ketahui:
luas DOAP =
1
2
alas × tinggi =
1
2
· 1 · sin t =
1
2
sin t,
luas juring OAP =
1
2
jari-jari × sudut dalam radian
=
1
2
· 12 · t =
1
2
t, dan
luas DOAT =
1
2
alas × tinggi
=
1
2
· 1 · tan t =
sin
cos
t
2 t
.
Dengan demikian, ketidaksamaan (1) dapat dituliskan
sebagai
1
2
sin t ≤
1
2
t ≤
sin
cos
t
2 t
....(2)
Kalikan ketidaksamaan (2) dengan bilangan positif
2
sint
,
diperoleh
1 ≤
t
sint

1
cos t
¤cos t ≤
sint
t
≤ 1
Sampai uraian ini anggaplah 0 < t < 􀁐
2
. Akan tetapi, jika
– 􀁐
2
< t < 0 maka 0 < –t < 􀁐
2
sehingga cos (–t) ≤
sin(- )
-
t
t
≤ 1
cos t ≤
sint
t
≤ 1 ....(3)
Dalam ketidaksamaan (3), misalkan tÆ0, f (t) = cos t,
g(t) =
sint
t
, dan h(t) = 1.
186 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
1. lim
sin
x
x x
􀁬0 x
5
2. lim
sin
x
x
􀁬0 x
2
2 3. lim
sin
x tan
x
􀁬0 x
3
2
Contoh 7.8
Anda tentu memahami bahwa lim
t􀁬0
f(t) ≤ lim
t􀁬0
g(t) ≤ lim
t􀁬0
h(t).
Untuk t = 0 maka f(t) cos t = cos 0 = 1 dan karena h(t) = 1 maka
1 ≤
sint
t
≤ 1. Dalam hal ini tidak ada kemungkinan lain kecuali
sint
t
= 1. Dengan demikian, lim
t􀁬0
g(t) = lim
sin
t
t
􀁬0 t
= 1.
Dapatkah Anda membuktikan bahwa
lim
t sin
t
􀁬0 t
= 1, lim
t tan
t
􀁬0 t
= 1, dan lim
tan
t
t
􀁬0 t
= 1?
Silakan buktikan sendiri.
2. Menentukan Limit Fungsi
Trigonometri
Setelah Anda memahami rumus limit fungsi trigonometri,
pelajari cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut.
Dalam beberapa hal, cara menghitung limit fungsi trigonometri
sama dengan cara menghitung limit fungsi aljabar.
Oleh karena itu, teorema limit utama pada Subbab A.2 berlaku
juga untuk limit fungsi trigonometri.
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
1. lim
t sin
x
􀁬0 x
2
2
2. lim
cos
x sin
x
􀁬 x x
􀀍
0
1
Jawab:
1. lim
t sin
x
􀁬0 x
2
2
= 1 (sesuai rumus)
2. lim
cos
x sin
x
􀁬 x x
􀀍
0
1
= lim
sin
sin cos
x
x
x x x
􀁬 􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
0
2 2
1
2
2
1
2
1
2
= lim
sin
cos x
x
x x 􀁬0
1
2
1
2
= lim
sin
lim
cos x
x
x x
􀂕
0 x􀁬0
1
2
1
2
1
2
1
2
= 1 ·
1
2 1
=
1
2
Contoh 7.7
Limit 187
Tentukanlah lim
( )
x
f (x h) f
􀁬􀁣 h
)
bagi fungsi-fungsi berikut ini.
1. f(x) = cos x 2. f(x) = sin x
Jawab:
1. lim lim
cos cos
h h
f f
h h
􀀈x􀀋h􀀉 􀀈x􀀉
􀀝
􀀈x􀀋h􀀉 􀀈x􀀉
􀁬0
= lim
cos o sin i cos
h
x cosh x sin h x
􀁬 h
􀀍􀀍
0
= lim
cos
lim
sin i
h h
x
h
x sin h
h
􀀈cosh􀀍 􀀉
􀀍
􀁬0
= cos lim
cos
sin lim
sin
x
h
h
x
h
h h h
􀀍
􀀍
􀁬0
1
= cos x.0 – sin x.1 = –sin x.
2. lim
( )
x
f (x h) f
􀁬􀁣 h
)
= lim
sin sin
lim
sin o cos sin
h h
x
h
􀀈x􀀋h􀀉 x cosh x
􀀝
􀀋
􀁬0
h x
h
i
= lim
sin
lim
cos i
h h
x
h
x sin h
h
􀀈cosh􀀍 􀀉
􀀋
􀁬0
= sin lim
cos
cos lim
sin
x
h
h
x
h
h h h
􀀍
􀀋
􀁬0
1
= sin x . 0 + cos x . 1 = cos x.
Contoh 7.9
Jawab:
1. lim
sin
x
x x
􀁬0 x
5
= lim
sin
x
x
x
x
􀁬 x
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
0
5
= lim lim
sin
x
x
x
􀀍
0 x􀁬0
5 = 5 – 1 = 4
2. lim
sin
x
x
􀁬0 x
2
2 = lim
sin sin
x
x x
􀁬0 x x
= lim
sin
lim
sin
x
x
x
x
x
􀂕
0 x􀁬0
= 1 · 1 = 1
3. lim
sin
x tan
x
􀁬0 x
3
2
= lim
sin
x tan
x
x
x
􀁬 x
􀂕 􀂕
0
3
2
2
3
3
2
=
3
2
3
3
2
0 0 2
lim
sin
lim
x x tan
x
x
x
x
􀂕
=
3
2
· 1 · 1 =
3
2
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
a. lim
sin
x tan
x
􀁬0 x
b. lim
tan
sin x
x
x 􀁬0
2
1
2
Contoh 7.10
188 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Hitunglah:
a. lim tan e
x
x sec x
􀁬0
3 2 b. lim
x􀁬
􀀈cos x cos x cot x􀀉
􀁐
2
Jawab:
a. lim tan e
x
x sec x
􀁬0
3 2 = lim
tan
cos
lim
tan
x cos
x
x
x
x
x
x
􀀝 􀂕
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
0 x􀁬0
3
2
3
3
2
2
3
􀂥􀂥2 􀂥􀂥􀂥􀂥
􀂥􀂦􀂦􀂥􀂥􀂥􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
=
3
2
3
3
2
0 0 2
lim
tan
lim
x cos
x
x
x
x
􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸
􀂷
􀂸 􀂸
􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹 􀂸
􀂷
􀂸􀂸􀂹􀂹 􀂸
=
2
3
(1) (1) =
2
3
b. lim
x􀁬􀁐
2
(cosec2 x – cosec x cot x) = lim
sin
cos
x x sin
x
􀁬 x
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀁐
2
2 sin2
1
= lim
cos
x sin
x
􀁬 x
􀂤 􀀍
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴 􀂵 􀂵 􀂵 􀁐
2
2
1
= lim
cos
x cos
x
􀁬 x
􀀍
􀀋
􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀁐
2
2
1
1
= lim
cos
x
x
􀁬
􀀍
􀀈 cos x􀀉􀀈
􀀋cos x􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀁐 􀂵
2
1
􀀍=
lim
lim
x
x
􀁬
􀁬
􀀈 􀀋cos x􀀉
􀁐
􀁐
2
2
1
=
1
1
2
1
1 0
1
􀀋
􀀝
􀀋
􀀝
cos 􀁐
Contoh 7.11
Pembahasan Soal
lim
sin
....
x􀁬 x
􀀈x􀀍 􀀉
􀀍
􀀝
2 2 4
Jawab:
lim
sin
x􀁬 x􀀋 x
􀂕 􀀈x􀀍 􀀉
􀀍
􀀝
􀀋
􀂕
􀀝
2
1
2 2
1
22
1
1
4
Soal UMPTN 1998
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁍􀁊􀁎􀁊􀁕 􀁇􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊
􀁴􀀁 􀁇􀁂􀁌􀁕􀁐􀁓 􀁔􀁆􀁌􀁂􀁘􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁍􀁊􀁎􀁊􀁕 􀁇􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊 􀁕􀁓􀁊􀁈􀁐􀁏􀁐􀁎􀁆􀁕􀁓􀁊
􀁴􀀁 􀁑􀁓􀁊􀁏􀁔􀁊􀁑 􀁂􀁑􀁊􀁕
􀁴􀀁 􀁍􀁊􀁎􀁊􀁕 􀁕􀁂􀁌 􀁉􀁊􀁏􀁈􀁈􀁂
Jawab:
a. lim
sin
tan
lim
sin
tan
l
x
x
x
x
x
x
x
􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
0 x􀁬0
im
sin
lim
x tan
x
x
x
x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
0 0 x 􀁬 􀂶􀂦 􀂦
= (1)(1) = 1
atau lim
sin
tan
lim
sin
sin
cos
lim cos
x x x
x
x
x
x
x
􀁬
􀀝 􀀝
0 􀁬0 0
x 􀀝 cos0􀀝1
b. lim
tan
sin
lim
tan
li
x
x
x
x
x
􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
0 x 􀁬 0 􀂦 i
3
1
2
3
3
m
sin x
x
x 􀁬
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀈 􀀉
0
1
2
1
2
= (1) (1) (6) = 6
Limit 189
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Tes Kompetensi Subbab B
• Jika nilai fungsi f(x) untuk mendekati satu bilangan real L, x
mendekati a maka L merupakan nilai limit fungsi f(x) di x = a,
ditulis f(x) = L atau jika xa maka f(a)L.
• Agar sumbu limit fungsi f(x) di x = a ada, nilai limit fungsi
tersebut harus ada dan nilainya sama, ditulis
lim lim lim
x a x a x a
f x f x f x L
􀁬 􀁬 􀁬
􀀈 􀀉􀀝 􀀍 􀀈 􀀉􀀝 􀀋 􀀈 􀀉􀀝
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 7,
1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telah
dipahami,
2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di buku
latihan Anda.
Refleksi
d. lim
cos
x cos sin
x
􀁬 x x 􀁐
4
2 cos2
3. Hitunglah lim
h
f f
􀁬 h
􀀈x􀀋h􀀉 􀀈x􀀉
0
untuk
fungsi berikut.
a. f(x) = sin 3x
b. f(x) = sin (3x + π)
c. f(x) = sin 3x + π
d. f(x) = cos (x – π)
e. f(x) = cos x – π
4. Hitunglah lim
h
f f
􀁬 h
􀀈x􀀋h􀀉 􀀈x􀀉
0
untuk
fungsi berikut.
a. f(x) = 2 sin 3x
b. f(x) = –2 sin (3 x + π)
c. f(x) = –sin 3 x + π)
1. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim
x sin
x
􀁬0 x
3
5
d. lim
sin
x
x
􀁬0 􀀍 x
3
3
b. lim
sin
x
x
􀁬0 x
3
e. lim
x tan
x
􀁬0 x
2
5
c. lim
x sin
x
􀁬0 x
2
5
f. lim
tan
x
x
􀁬0
1
3
4
2. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim
tan
x cot
x
􀁬 x
􀀍
􀁐
4
1
2
b. lim
x􀁬 si x
􀀈sin x cos x􀀉
􀁐
4
2
1􀀍sin 2
c. lim
cos
x cos
x
􀁬 x 􀁐
4
2
2 􀀍1
190 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. lim
x
x x
􀁬􀀍 x
􀀋
2 􀀍
2 2
2
= ....
a. 0 d. 4
b. 1
2
e. ∞
c. 2
2. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
10 1
1
adalah ....
a. 1 d. –1
b. ∞ e. tidak ada
c. 0
3. lim
x ∞􀀈 x 􀀋x􀀈 a􀀋 b􀀉􀀋 ab􀀍x􀀉
adalah ....
a. 0 d. a + b
b. ∞ e. a􀀋b
2
c. a – b
4. Jika f(x) = 2x – x2, lim
x
f f
􀁬 h
􀀈 h􀀉 􀀈
􀀉
0
􀀉􀀍 adalah ....
a. 1 d. 3
b. –2 e. –4
c. 2
5. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
3 􀀍
2 9
3
= ....
a. 3 d. 12
b. 6 e.
c. 9
6. lim
x ∞
􀀈 x 􀀉 16x2 􀀍3x􀀋􀀋7 adalah ....
a. 12
11
b. 􀀍
11
12
c. 0
d. 11
e. 􀀍
22
8
7. lim
x􀁬
􀀈x􀀍 􀀉
5 6􀀍 x2 􀀋􀀋11
adalah ....
a. 12
11
c. 0
b. 􀀍
11
12
d. 11
e. 􀀍
22
8
8. lim
x􀁬
􀀈x􀀍 􀀉
5 6􀀍 x2 􀀋􀀋11
adalah ....
a. 0 d. 4
b. 1
4
e. ∞
c. 1
9. lim
x􀁬 x
􀀈x 􀀉􀀈 x 􀀋
􀀉
3 􀀍
3
adalah ....
a. 0 d. 12
b. 3 e. ∞
c. 6
10. lim
x
x
􀁬 x
􀀍 x􀀋
3 􀀍
2 8x15
3
= ....
a. 6 d. 3
b. 4 e. 2
c. 5
11. lim
x
x
􀁬3 x x􀀋
2
2
5x2 􀀍1
2x2 􀀍5 = ....
a.
2
5
d. 5
2
b. 3
5
e. 7
2
c. 1
12. lim ....
x ∞
x
x 􀀋 x􀀋
􀀝
6x􀀍5
2 2x4
a. 3 d. 7
b. 4 e. 8
c. 6
Tes Kompetensi Bab 7
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
Limit 191
13. lim ....
x
x x
􀁬􀀍 x
􀀍
􀀋 x􀀋
􀀝
1
2
2
2
4x3
a. 􀀍
3
2
d. 1
2
b. 􀀍
2
3
e. 3
2
c. 􀀍
1
2
14. lim
sin
tan
....
x
x
􀁬 x
􀀝
0
3
4
a. 􀀍
3
4
d. 3
4
b. 􀀍
4
3
e. 4
3
c. 1
4
15. lim
cos
x
x
􀁬0 x2
1􀀍cos2
= ....
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
16. Jika lim
x􀁬2 f(x) = –3 dan lim
x􀁬2 g(x) = 4
maka lim
x
f x
􀁬 g
􀀈x􀀉 􀀍
3 􀀈x􀀉
3 􀀉􀀍2 1
2
= ....
a. 1 d. – 3
4
b. 3
4
e. –
5
6
c. –
1
2
17. Diketahui f (x) =
2 1
3
x
x x
􀀋x 􀀜
􀁱
􀂪􀂫 􀂭
􀂪
􀂭 􀂫
􀂭
􀂬 􀂭
􀂫􀂭
􀂬􀂬 􀂭
jika 3
jika 3
maka lim
x􀁬1 f (x) = ....
a. –2 d. 2
b. –1 e. 3
c. 1
18. lim
sin
x
x
􀁬0 x
8 = ....
a. 8 d. –2
b. 4 e. –4
c. 2
19. lim
sin
x
x
􀁬0 x2 = ....
a. –2 d.
1
2
b. –1 e. 2
c. 0
20. lim
cos
x
x
􀁬 x
􀀍
0
1
= ....
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
192 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Kerjakanlah soal-soal berikut pada buku latihan Anda.
1. Jika limitnya ada, hitunglah limit fungsi
berikut.
a. lim
x
x x
􀁬 x
􀀋 x 􀀍
2 􀀍
3 2 4x􀀍4
2
b. lim
x􀁬 􀀈x 􀀍 x􀀋
􀀉
2
c. lim
x
x
􀁬 x x
􀀋 x􀀋
3
2
2
6x5
2x􀀍3
2. Tentukan nilai limit berikut.
a. lim
x􀁬0
f(x) dengan
f(x) =
–x jika x < 0
3x jika x ≥ 0
b. lim
x􀁬1
f(x) dengan
x + 1 jika x < 1
x jika x ≥ 1
f(x) =
c. lim
x􀁬2
f(x) dengan
2x –1 jika x ≤ 2
f(x) = –x + 5 jika x > 2
3. Sebuah benda ditembakkan vertikal ke
atas. Jika persamaan gerak dari benda
itu dinyatakan S = f(t) = – 5t2 + 40t maka
kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu tepat t1 detik dinyatakan oleh
V
f f
t 0 t
􀀈t 􀀉 1 􀀝
􀀈t t 􀀉 1 􀀋􀀤􀀈t
􀀉 1 􀀤􀁬 􀀤lim
Hitunglah
a. kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu tepat 2 detik, dan
b. kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu.
4. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim
sin
x
x
􀁬0 x
2
b. lim
sin
x
x
􀁬0 x
2
2
c. lim
sin
x
x
􀁬0 x2
5. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim
tan
x
x
􀁬0 􀀍 x
3
2
b. lim
sin x
x
􀁬 x
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀁐
􀁐
􀁐
2
2
2
c. lim
tan
x
x
􀁬 x
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴 􀂵 􀂵 􀂵
􀀍 􀁐
􀁐
􀁐
2
2
2
Bab8
193
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Sumber: www.duniacyber.com
Pembahasan limit fungsi yang telah Anda pelajari di
Bab 7 dapat dikembangkan pada pembahasan turunan fungsi
karena dengan mengetahui turunan fungsi, Anda dapat
mempelajari sifat-sifat fungsi. Sifat-sifat fungsi tersebut
misalnya, kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecukupan
fungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapat
mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat serta
dapat menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasi
permasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut.
Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakan
oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam
memenuhi persamaan Q􀀈v􀀉􀀝􀀍 x 􀀋 x􀀍
1
45
2 2x20 liter. Dengan
memahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlah
maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun.
A. Konsep Turunan
B. Menentukan Turunan
Fungsi
C. Persamaan Garis
Singgung pada Kurva
D. Fungsi Naik dan Fungsi
Turun
E. Maksimum dan
Minimum Fungsi
F. Turunan Kedua
G. Nilai Stasioner
H. Menggambar Grafik
Fungsi Aljabar
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan
turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi
dan memecahkan masalah; merancang model matematika yang
berkaitan dengan ekstrim fungsi, menyelesaikan modelnya, dan
menafsirkan hasil yang diperoleh.
194 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, 3).
Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan
pula cara mencarinya.
2. sin (α ± β) = ....
3. cos (α + β) = ....
4. tan (α + β) = ....
5. cos 2α = ....
6. f(x) = 2x3 + 3x, tentukan f(x + 1) dan
f (a + b).
7. = ....
8. Tentukan gradien garis singgung kurva
di titik
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Limit Turunan
menghasilkan
teori
rumus
Laju
Perubahan
Fungsi
Interval
Fungsi
Naik/
Turun
menentukan
Gradien Titik Balik
Maks./Min.
dan
Titik Belok
menentukan menentukan menentukan
Aplikasi
lim lim
x a x a '
f
g
f '
g'
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
lim
'
lim
x a x a ''
f '
g
f ''
g' g''
􀀈x􀀉
􀀈􀀈x􀀉􀀉
􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
menyelesaikan
masalah
lim
)
x a ( )
f (x
g(x
􀀝
0
0
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 195
A. Konsep Turunan
Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah
dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama
adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua
adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu
menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika
terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah
itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya,
pelajari uraian berikut.
1. Garis Singgung
Amati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetap
pada grafik y = f(x) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang
dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(x). Misalkan,
titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat
(a + Δx, f(a + Δx)). Garis yang melalui A dan B mempunyai
gradien (kemiringan)
f f
x
􀀈a􀀋􀀤x􀀉􀀍 􀀈a􀀉
􀀤. Garis ini memotong
grafik di dua titik A dan B yang berbeda.
Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekati
titik A maka nilai Δx semakin kecil. Jika nilai Δx mendekati
nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya,
garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalah
garis yang melalui A(a, f(a)) dengan gradien
m
f f
x
AB x
􀀝
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀁬 􀀤lim
0
...(1)
Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh
tegak lurus sumbu-x?
Tentukan gradien garis singgung pada kurva
a. f(x) = x2 di titik dengan absis 2
b. f(x) = x3 di titik dengan absis 3
Jawab:
a. m
f f
x x
x
􀀝
􀀈 􀀤x􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀈 􀀋􀀤x􀀉
􀀤􀁬 􀀤 􀀤lim l
􀀝 im
0 x􀁬0
􀀉􀀍 2
􀀍22 􀀝􀀝
􀀤 􀀋􀀤
􀀤
􀀝 􀀤
􀀤 􀁬 􀀤 􀁬
lim lim
􀀤􀀤x􀀤􀀤x
􀀤􀀤 􀀋􀀤􀀤x
􀀤􀀤􀀤x
x
0
2
0
4
4􀀍􀀤􀀤􀀤 􀀝 4
Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik dengan
absis x = 2 adalah m = 4.
Contoh 8.1
Gambar 8.1
Gambar 8.2
x
y
f(a + )
f(a)
y = f(x)
O a a +
A(a, f(a))
B(a + ,
f(a + ))
x
y
O
y = f(x)
B(a + ,
f(a + ))
f(a) A(a, f(a))
a a +
f (a + )
196 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. m
f f
x x
x x
􀀝
􀀈 􀀤x􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀝
􀀈 􀀋􀀤x􀀉
􀀤􀁬 􀀤 􀀤lim lim
0 􀁬0
􀀉􀀍 3
􀀍33 􀀝􀀝
􀀋 􀂕 􀀤 􀀋􀀤
􀀤
􀀝
􀀤 􀀋
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
lim
lim
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
􀀋 x
􀀤􀀤x
􀀤􀀤 0
3 2 3 3
0
33 􀀋􀀋 32􀀤􀀤􀀤 􀀋􀀋􀀤􀀤􀀤􀀍3
27 9􀀈􀀈􀀈􀀤􀀤􀀤x􀀉 􀀋􀀈􀀤 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤 􀀋􀀈􀀤 􀀉 􀀉􀀤
􀀤
􀀝
􀀤 􀁬
􀀤
2 3 0
􀀤􀀤
􀀤􀀤x
􀀤􀀤 􀀋 􀀤􀀤 􀀤􀀤x
􀀤􀀤x 􀀤􀀤x
lim
lim
􀀤􀀤􀀤􀀤x􀁬
􀀋 􀀤 􀀋 􀀤
0
27 x􀀋􀀤x2 􀀝 27
Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x3 di titik dengan
absis x = 3 adalah m = 27.
2. Kecepatan Sesaat
Misalkan, fungsi f(x) = 15x2 + 20x menyatakan jarak
(dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah x jam
perjalanan selama selang waktu 0 ≤ x ≤ 2. Kecepatan ratarata
mobil itu selama perjalanannya adalah
􀀤
􀀤
􀀝
􀀈 􀀉 􀀈
􀀉
􀀝
􀂕􀀈 􀀉􀀋 􀂕 􀂧
􀂩
􀂨 􀂩
􀂷
􀂹
􀂸 􀀤􀀤f 􀂹􀀍 􀂕􀀈 􀀉
􀀤􀀤x
f 􀀉􀀉􀀍 f 2􀀍0
15 20 2 15 2 20 0
2
50
􀀋 􀂕 􀂧􀂩
􀂨 􀂧
􀂩
􀂷􀂹
􀂸 􀂷 􀂹
􀀝 km/jam
Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam
selang c ≤ x ≤ d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1.
Amati tabel tersebut. Nilai 􀀤
􀀤
f
􀀤􀀤x
mendekat ke bilangan
50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil
(Δx mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan
(sesaat) pada x = 1.
Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat
diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata
dengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau Δx
dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat
pada x = 1 ditulis
lim lim
􀀤 􀁬 􀀤
􀀤
􀀤
􀀝
􀀈 􀀤 􀀉 􀀈
􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋􀀤 􀀉
􀀤􀀤xx
f
􀀤􀀤􀀤 x
f 􀀋 􀀤􀀤 f
􀀤􀀤x
􀀤􀀤
0 􀀤􀀤􀀤􀁬0
2
􀀋􀀤􀀤 􀀉􀀍 15 􀀋􀀋􀀋 􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀋 􀂕 􀀉
􀀤
􀀝
􀀤 􀀋􀀤
􀀤 􀁬 􀀤
20 􀀉􀀍􀀈 􀂕
50
0
2
􀀤􀀤
􀀤􀀤x
􀀤􀀤 􀀋􀀤􀀤x
􀀤􀀤x 􀀤􀀤x
lim 􀀝􀀝 50
Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam.
Tabel 8.1
Selang
Waktu
0 – 1
0,8 – 1
0,9 – 1
0,99 – 1
0,999 – 1
0,9999 – 1
1 – 1,0001
1 – 1,001
1 – 1,01
1 – 1,5
1 – 2
35,0000
47,0000
48,5000
49,8500
49,9850
49,9985
50,0015
50,0150
50,1500
57,5000
65,0000
􀀤
􀀤
f
􀀤􀀤x
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 197
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan
kecepatan sesaat v di x = a? Cobalah nyatakan dengan katakata
Anda sendiri.
Uraian tersebut menggambarkan definisi kecepatan
sesaat v di x = a, yaitu
v v
f f
x
􀀝 􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤x􀁬 􀀤x􀁬 􀀤
lim lim
0 0 rata-rata ...(2)
Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda
menyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatan
sesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus
tersebut, yaitu rumus (1) dan (2). Kedua rumus tersebut
menggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama,
tetapi dalam situasi yang berlainan.
Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya
setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6x3 + x2 , dengan
f(x) dinyatakan dalam meter.
a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu
2 ≤ x ≤ 3.
b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?
Jawab:
a. f x x f x
x
􀀈 􀀋􀀤 􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀂕 􀀋 􀀉􀀍􀀈 􀂕 􀀋 􀀉
􀀍
􀀝
6 3 3 6 2 2
3 2
119
3 2 3 3
Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.
b. lim
lim
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋􀀤 􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀋 􀀋􀀤
x
x
f x f
x
x x
0
0
3 2
2 2
􀀈6 2 􀀈􀀈2 􀀉􀀉􀀍􀀈 􀂕 􀀋 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤 􀀋 􀀤 􀀋􀀤 􀀉
􀀤 􀁬
6 2 2
6 8 12 6
3 2
0
2 3
x
x x x
x
lim
􀀋􀀋􀀈 􀀋 􀀤 􀀋􀀤 􀀉􀀍
􀀤
􀀝 􀀤 􀀋 􀀤 􀀋 􀀝
􀀤 􀁬
4 4 52
6 37 76 76
2
0
2
x x
x
x x
x
lim
Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah
76 meter/detik.
Contoh 8.2
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 8.3
Jarak yang ditempuh mobil ini
mengikuti fungsi
f(x) = 15x2 + 20x. Berapakah
kecepatan rata-ratanya?
198 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Coba Anda tunjukkan
lim
cos
􀀤 􀁬
􀀤 􀀍
􀀤
􀀝
􀀤􀀤
􀀤􀀤
0 􀀤􀀤x
1
0 .
Tantangan
untuk Anda
3. Turunan Fungsi di x = a
Jika fungsi y = f(x) terdefinisi di sekitar x = a maka
lim lim
􀀤 􀁬 􀀤
􀀤
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀤xx 􀀤
􀀤􀀤y
􀀤􀀤􀀤 x
f 􀀤􀀤 􀀉􀀍 f
0 􀀤􀀤􀀤􀁬0 􀀤􀀤x
.
Jika lim
􀀤 􀁬
􀀤
􀀤􀀤x 􀀤
􀀤􀀤y
0 􀀤􀀤x
ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(x)
di x = a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi
turunan yang dilambangkan dengan f ‘(x). Untuk menyatakan
turunan di x = a dinyatakan dengan f ‘(a). Jadi,
f
f f
x
f
x
􀀈a􀀉􀀝 lim lim 􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀤
􀀈 a􀀉􀀝
􀀤x􀁬 􀁬
0
0 􀀤􀀉
atau
f f
x a
􀀈x􀀉􀀍 􀀈a􀀉
Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini.
Jika f (x) = x2 – x , tentukan f'(5).
Jawab:
f
f f
x
f
f
x
x
' lim
' lim
􀀈􀀈a􀀉􀀉
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀈 􀀉
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0
􀀈5􀀋􀀤􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀤 􀀉􀀉􀀍􀀈 􀀉
􀀤 􀁬
􀀤􀀤􀀤 􀀉􀀍 f
􀀤􀀤x
􀀤 􀀍􀀤􀀤
􀀤􀀤x
􀀋􀀤􀀤􀀤 􀀉􀀉 􀀍􀀈􀀈 􀀍
0
lim
􀀤􀀤
􀀝
􀀤 􀀍􀀤 􀀍􀀤
􀀤
􀀝 􀀋􀀤 􀀍
􀀤 􀁬 􀀤 􀁬
􀀤􀀤􀀤􀀤x
􀀤􀀤x􀀍􀀤􀀤x 􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x􀀤􀀤x
lim li
0
2
0
10
10 1􀀝 9
Contoh 8.3
Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.
a. f(x) = x2 + x b. f(x) = cos x
Jawab:
a. f x
f
x
􀀈x􀀉􀀝 x 􀀋
􀀈x􀀉
􀀈􀀈x􀀋􀀤x􀀉 􀀋􀀈x􀀋􀀤x􀀉􀀉􀀍
􀀤􀁬
2
0
'􀀉􀀝 lim
􀀈􀀈􀀈x2 􀀋 x􀀉
􀀤
􀀝
􀀤 􀀋􀀤 􀀋􀀤
􀀤
􀀝 􀀋􀀤 􀀋 􀀝
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
􀀤􀀤x
x􀀤􀀤 􀀤􀀤 􀀋􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
􀀋 􀀤
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
lim
li
0
2
0
2
2 􀀋􀀋􀀤􀀤􀀤 1 2x􀀋1
Contoh 8.4
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 199
Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya.
Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.
Jawab:
Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas =
L = p × l = 3l.l = 3l 2.
Jadi, L = f (l) = 3l2.
Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L ‘(5).
L
L
x h x
' lim lim
L 3 3,
0 0
2
􀀈5􀀉
􀀈5􀀋h􀀉 􀀈5􀀉
􀀝
􀀈5􀀋h􀀉 􀀍
􀀤􀁬 􀀤5
3 75 30
2
0 0
2
h
h
h h3
x x
􀀝
􀀈25􀀋10h􀀋h2 􀀉
􀀝
􀀋
􀀤􀁬 􀀤􀁬
lim lim
h
x
􀀝 􀀈 􀀋 h􀀉
􀀤􀁬
li
0
􀀉􀀝 30
Contoh 8.5
b. f x
f
x
x x
􀀈x􀀉􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀋􀀤x􀀉
􀀤􀀝
􀀤􀁬
􀀤
cos
'􀀉􀀝 lim
cos􀀉􀀍cos
lim
0
􀀤􀀤􀀤􀀤x
x
x
􀁬 x
􀀤􀁬
􀀈 x 􀀤x􀀍 x 􀀤x􀀉􀀍
􀀤􀀝
0
0
cos
lim
cos x
x
x x
x
x
x
x
lim
sin sin
cos lim
􀀈cos􀀤x􀀍 􀀉
􀀤􀀍
􀀤􀀤􀀝
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0 0
cos 1
sin lim
􀀤 􀀍 sin
􀀤
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀍
􀀤
􀀤
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂤􀂥
􀀤
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
􀂥􀂥􀂥􀂥􀂥􀂥 x 􀀤􀀤x
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀝 cos x 􀂕 0􀀍sin x 􀂕1􀀝􀀍sin x
4. Mengenal Notasi Leibnitz
Anda telah mempelajari bahwa turunan fungsi f(x)
dinotasikan dengan f '(x). Nilai Δx menyatakan perubahan
nilai x, yaitu Δx = x2 – x1. Adapun perubahan f(x + Δx) – f(x)
menyatakan perubahan nilai fungsi f(x) dinotasikan dengan
Δf. Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan
menjadi lim
􀀤 􀁬
􀀤
􀀤􀀤x 􀀤
􀀤􀀤f
0 􀀤􀀤x
.
Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan
fungsi, yaitu df
dx
. Diketahui fungsi
y = f(x) ....(1)
Gottfried Wilhelm Leibnitz
(1646–1716)
Gottfried Wilhelm Leibnitz
adalah orang jenius. Ia ahli
dalam bidang hukum, agama,
politik, sejarah, filsafat, dan
matematika. Bersama Newton
merumuskan pengertian
dasar tentang kalkulus
diferensial. Leibnitz pun
dikenal karena menemukan
suatu jenis mesin hitung.
Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis
Jilid 1, 1990
Tokoh
Matematika
200 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
sehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi
dy
dx
= y ' = f '(x)
Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli
matematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz
(1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya
notasi Double d Leibnitz.
Misalkan f(x) = x3, tentukanlah
a. df
dx
b. nilai x sehingga df
dx
= 12
Jawab:
a. df
dx
f f
x
x
x x
􀀝
􀀈x􀀋􀀤x􀀉 􀀈x􀀉
􀀤􀀤􀀝
􀀈x􀀋􀀤x􀀉 􀀍
􀀤􀁬 􀀤
lim lim
0 􀀤􀁬0
3 3
0
2
2 3
0
3 3 2 3 3
􀀤
􀀝
􀀋 􀀤 􀀋􀀤
􀀤
􀀝 􀀋
􀀤 􀁬 􀀤 􀁬
􀀤􀀤x
x 􀀤 x􀀤􀀤 􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
3x
􀀤􀀤x􀀤􀀤x
lim li 􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤 􀀋􀀋􀀤􀀤􀀤x2 􀀝 3x2
b. df
dx
= 3x2 maka 3x2 = 12 􀂙 x = ± 2.
Jadi, nilai x yang memenuhi df
dx
= 12 adalah x = ± 2.
Contoh 8.6
Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi
persamaan s = f(t) = t2 – 3t. Tentukanlah laju perubahan sesaat
jarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga
laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15.
Jawab:
Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah
ds
dt
df
dt
f f
t t
t
􀀝 􀀝
􀀈t 􀀋􀀤t􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀝
􀀤􀁬
􀀤􀁬
lim
lim
0
0
􀀈 􀀉 t t 􀀋􀀤􀀈􀀈 􀀍 􀀈 􀀉 􀀋􀀤 􀂧􀂩
􀂨 􀂧
􀂩
􀂷􀂹
􀂹􀂹 􀀈 􀀉
􀀝
􀀋 􀀤 􀀋 􀀤
􀀤 􀁬
2
0
2
3􀂸 􀂷
􀀋􀀋􀀤 􀂹􀀍􀀈 􀀍
t t
􀀤􀀤t
lim
t t t t t
t
t t t t
t t
2 2
0
2
3 3
2t 3
􀀤􀀋
􀀤
􀀝
􀀋􀀤􀀋􀀤􀀍􀀤􀀤
􀀝
􀀤􀁬
lim lim
􀀤 􀁬
􀀋 􀀤 􀀝
t
t t t
0
2t 􀀋􀀋􀀤􀀤􀀍3 2t 􀀍3
Contoh 8.7
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 201
Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16,
diperoleh
df
dx
= 2t – 3 􀂙 15 = 2t – 3
􀂙 2t = 18􀂙 t = 9
Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan
soal-soal berikut.
a. Jika f(x) = x2 + 3x, tentukan f '(x).
b. Jika f(x) = x2 – 2x + 6, tentukan f '(x).
c. Jika f(x) = 2x , tentukan f '(x).
d. Jika f(x) = 1
1
􀀋
x
, tentukan f '(x).
2. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan
soal-soal berikut.
a. Jika f(x) = 4 – x2, tentukan f '(–3).
b. Jika f(x) = 6x – 2x3, tentukan f '(2).
c. Jika f(x) =
x
x 􀀍1
, tentukan f '(5).
d. Jika f(x) = x
x
x
2
1
􀀋
􀀋
, tentukan f '(1).
3. Dengan menggunakan konsep limit,
tentukan gradien garis singgung pada
kurva berikut ini.
a. f(x) = 5x2 di titik dengan absis x = 2
b. f(x) = x 2 + x – 5 di titik dengan absis
x = –1
c. f(x) =
x
x2 di titik dengan absis x = –2
d. f 􀀈x􀀉􀀝 x 􀀋 x di titik dengan absis
x = 4
4. Dengan menggunakan konsep limit, hitung
nilai
df
dx
dari fungsi berikut untuk x yang
diberikan.
a. f(x) = 2x2 di x = –1
b. f(x) = x2 – 5 di x = –4
c. f(x) = 2x +
1
x
di x
d. f(x) = 3cos xdi x = 􀁐
2
Gunakan konsep limit untuk soal-soal
berikut.
5. Sebuah benda bergerak, kedudukannya
setelah t sekon memenuhi persamaan S (t)
= 3t2 + 4t.
a. Berapa kecepatan rata-rata pada
selang waktu t = 3 sekon dan t = 5
sekon?
b. Berapa kecepatan sesaat pada waktu
t = 2 sekon?
6. Sebuah perusahaan mendapatkan
keuntungan setelah t tahun sebesar
2.500.000t2–5.000t.
a. Berapa besar keuntungan antara t = 3
tahun dan t = 4 tahun?
b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t
= 2 tahun?
7. Gunakan rumus turunan untuk mencari
turunan fungsi-fungsi berikut.
a. f(x) = 6x + 4 d. f(x) = sin x
b. f(x) = ax + b e. f(x) = cos x
c. f(x) = 3x2 + 2 f. f(x) = tan x
202 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Menentukan Turunan Fungsi
Proses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsung
yang menggunakan definisi turunan, yaitu dengan menyusun
hasil bagi selisih f f
x
􀀈x􀀋􀀤x􀀉 􀀈x􀀉
􀀤dan menghitung limitnya,
memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlu
mengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkan
Anda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu.
Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.
1. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axn
Misalkan, fungsi f(x) = axn dengan n = 1, 2, dan 3.
Untuk n = 1, diperoleh f(x) = ax dan turunan fungsi tersebut
adalah
f
f f
x
a
x
x
' lim
lim
􀀈􀀈x􀀉􀀉
􀀈x􀀋􀀤x􀀉 􀀈x􀀉
􀀤􀀝
􀀈x􀀋􀀤x􀀉􀀍
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0
ax
x
ax x ax
x
a x
􀀤x x x
􀀝
􀀋a􀀤􀀍
􀀤􀀤􀀤􀀤􀁬 􀀤 􀀤lim l
􀀝 im
0 􀀤􀁬0
= a ....(1)
Untuk n = 2, diperoleh f (x) =ax2 dan turunan fungsi tersebut
adalah
f ' (x) = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋􀀤􀀉􀀍 􀀈
􀀉
􀀤􀀤x 􀀤
f f 0 􀀤􀀤x
= lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋􀀤 􀀉
􀀤􀀤x 􀀤
a􀀤􀀤 􀀍ax
0 􀀤􀀤x
2 2
= lim
􀀤 􀁬
􀀋 􀀤 􀀋 􀀤
􀀤􀀤x 􀀤
ax 􀀤􀀤x􀀤􀀤x 􀀍ax
0 􀀤􀀤x
2 2 2
= lim
􀀤 􀁬
􀀋 􀀤
􀀤􀀤x
ax 􀀤􀀤x
0
2
= 2ax
Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsi
f(x) = ax3 , f(x) = ax4 dan f(x) = ax5.
Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsi
berikut.
f(x) = ax6, f ‘(x) = 6ax5
􀀢
f(x) = ax15, f ‘(x) = 15ax14
􀀢
f(x) = axn, f ‘(x) = naxn – 1
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 203
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut
dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda
pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.
Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan asli maka f '(x) = naxn – 1.
Untuk n = 0, f(x) = axn menjadi f(x) = ax0 = a. Fungsi
f(x) = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa
pun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsi
konstan adalah
f
f f x
x
a a
x
x
x
lim
lim lim
􀀈x􀀉􀀝
􀀈x􀀋􀀤x􀀉􀀍 􀀤􀀤􀀝
􀀤􀀝
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0 􀀤􀀤 􀀤 􀀤
􀀝
􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤x􀁬0 􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤x 􀀤􀀤􀀤x􀁬0
0
lim 0 􀀝 0
sehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai
berikut.
Misalkan, f(x) = axn dengann bilangan bulat maka f '(x) = anxn–1
untuk f(x) = a, f '(x) = 0 dengan a sebarang bilangan real.
Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini.
a. f(x) = x4 b. f(x) = –8x3
Jawab:
a. f(x) = x4 maka f '(x) = 4x4–1 = 4x3
b. f(x) = –8x3 maka f ' (x) = –8(3)x3–1 = –24x2
Contoh 8.8
Tentukan
df
dx
untuk fungsi-fungsi berikut.
a. f 􀀈x􀀉􀀝 1 x􀀍
2
4 b. g
x
􀀈x􀀉􀀝􀀍
1
3 8
Jawab:
a. df
dx
􀀝 f 􀀈x􀀉􀀝 􀀈􀀍 􀀉 x x􀀍 1
2
􀀍4􀀍1 2 5
b. g
x
x
dg
dx
􀀈x􀀉􀀝􀀍 􀀝􀀍 􀀍 􀀝 g 􀀈 x􀀉􀀝􀀍 􀀈􀀍 􀀉 x 􀀍 1
3
1
3
1
8 3
8 8 􀀉 􀀈 g 􀀍 maka ' 1
􀀝
8
3x9
Contoh 8.9
Rumus ini juga berlaku untuk
n = –1
f
a
x
f
a
x
􀀈x􀀉􀀝
􀀈x􀀉􀀝
􀀍
2
Tunjukkanlah dengan cara
limit.
Tantangan
untuk Anda
204 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axn
dengan n Bilangan Rasional
Misalkan, f(x) = x
1
2 , turunan fungsi f(x) adalah
f
f f
x
f
x
x
x
lim
lim
􀀈x􀀉􀀝
􀀈x􀀋􀀤x􀀉 􀀈x􀀉
􀀤􀀈x􀀉􀀝
􀀋 􀀤
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0
􀀤􀀤􀀤􀀤x x
x
x x x
x x x
x
x
􀀤􀂕
􀀋 􀀤􀀋
􀀋 􀀤􀀋
􀀝
􀀈x􀀋􀀤x􀀉􀀍
􀀤􀁬 􀀤x
lim
0 􀀈􀀈􀀈 x􀀋􀀤x 􀀋 x􀀉 􀀝
􀀤
􀀤 􀀈 􀀋􀀤 􀀋
􀀉
􀀝
􀀋 􀀤 􀀋
􀀝
􀀋
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
lim
lim
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
􀀤􀀤 􀀤􀀤 x􀀋􀀤􀀤x x x x
0
0
1 1
􀀝􀀝􀀝 􀀝
1 􀀍
2
1
2
1
2
x
x
Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cari
turunan fungsi f(x) = x–1/3 dan f(x) = x–2/5.
Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk
umum turunan fungsi f(x) = axn? Cobalah nyatakan
bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep
turunan fungsi f(x) = axn yang telah Anda pelajari tersebut
memperjelas kesimpulan berikut.
Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan rasional maka
turunannya adalah f '(x) = naxn – 1.
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
a. f 􀀈x􀀉􀀝 x
3
4 b. f
x
􀀈x􀀉􀀝
1
3 3 2
c. f 􀀈x􀀉􀀝 x3 x2
Contoh 8.11
Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia 11 tahun sampai
12 tahun adalah tetap, yaitu T(t) = 120 cm. Tentukanlah laju
pertumbuhan (laju pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut.
Jelaskan.
Jawab:
Tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 12 tahun
tetap. Oleh karena itu, T(t) = 120 adalah fungsi konstan sehingga
T ‘(t) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anak
tersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia
11 tahun sampai 12 tahun tidak mengalami perubahan.
Contoh 8.10
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 205
Jawab:
a. f x f x x
x
x
􀀈x􀀉􀀝 􀀈x􀀉 􀀝 􀀝 􀀝
􀀍 􀀍
3
4
3
4
1
1
4
1
4
1
3
4
3
4
3
4
3
4
k '
b. f
x x
f x
f
􀀈x􀀉􀀝
􀂕
􀀝
􀂕
􀀈x􀀉􀀝
􀀈x􀀉􀀝
1 􀀍
3
1
3
1
3
1
3 3 2
3
2
3
3
2
maka 3
3
2
3
2
3 3
2
3 3
1
3
2
3
1
5
3
5
3
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍 􀂕
􀀝 􀀍
􀀍 􀀍 􀀍
x 􀀝􀀍 x
x
2
3 3
1 2
3 2 3 3 3 2
􀂕 􀀝
x x x 3x
c. f 􀀈x􀀉􀀝 x x 􀀝 x f 􀀈x􀀉 x 􀀝 􀀝 x
3 2 􀀍
5
3
5
3
1
2
3 3 2 5
3
5
3
5
3
k '
3. Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v
Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) + v(x), dalam
hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a
untuk a bilangan real. Dengan demikian,
f f
f f
x
f
x
lim
' lim
􀀈􀀈a􀀉􀀉􀀝 􀀈a􀀉􀀝
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀈a􀀉
􀀤􀁬
􀀤
0
􀀤􀀤􀀤􀀤x
u u v
􀁬 x
􀀈 􀀉 a x 􀀋􀀤􀀋v􀀈 􀀉 x 􀀋 a 􀀤􀂧
􀂩 􀂧 􀂷
􀂹 􀂷􀀍 􀀈 􀀉 a 􀀋 􀀈 􀀉 a 􀂧
􀂩 􀂧 􀂷
􀂹 􀂷
􀀤􀀝
0
lim
􀀤􀀤􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉􀀋 􀀈 􀀋􀀤 􀀉􀀍 􀀈
􀀉
􀀤
􀀝
􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
u􀀤􀀤 􀀉􀀍u 􀀋􀀤􀀤 v􀀤􀀤x
u
0
0
lim
􀀈a􀀋􀀤􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀋
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝 􀀈 􀀉􀀋
􀀤 􀁬
􀀤􀀤􀀤 􀀉􀀍u
􀀤􀀤x
v􀀤􀀤 􀀉􀀍v
􀀤􀀤x
u v
􀀤􀀤x
lim
'􀀈􀀈 '
0
􀀈a􀀉
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum turunan fungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuk
tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan
fungsi y = u ± v yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
kesimpulan berikut.
Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku
y ' = f '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y' = u' + v'
Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan bahwa untuk
y = u – v maka y' = u' – v'.
206 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
4. Turunan Fungsi y = c . u
Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = c . u(x), dalam
hal ini c konstanta dan u(x) fungsi yang dapat diturunkan di
x = a untuk a bilangan real sehingga
f
f f
x
c x
x
x
' lim
lim
􀀈􀀈a􀀉􀀉
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀝
􀂕 u􀀈a􀀋􀀤􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0
􀀉􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀈 􀀉
􀀤 􀁬
c 􀂕 u
􀀤􀀤x
c
u􀀤􀀤 􀀉􀀍u
􀀤􀀤x
cu
􀀤􀀤x
lim '
􀀋 􀀝 0
Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk
y = f(a) = c . u(a) berlaku f '(a) = c . u'(a). Akibatnya, dari
y = cu berlaku y' = c . u'.
Pembahasan Soal
Diketahui
f(x) = 3x2 – 5x + 2
g(x) = x2 + 3x – 3
Jika h(x) = f(x) – 2g(x) maka h’
(x) adalah....
Jawab:
h(x)= f(x) – 2g(x)
= 3x2 – 5x + 2 –
2 (x2 + 3x – 3)
= x2 – 11x + 8
h’(x) = 2x – 11
Soal UMPTN 1997
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) = 3x2
b. f(x) = 􀀍
8
x
c. f(x) = 3 cos x
d. f(x) = 3 5 x
Jawab:
a. f(x) = 3x2 maka f '(x) = 6x
b. f(x) = 􀀍
8
x
= –8x–1 maka f '(x) = 8x –2 =
8
x2
c. f(x) = 3 cos x maka f ‘(x) = –3 sin x
Contoh 8.13
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f (x) = x3 – 3x2 c. f(x) = sin x + cos x
b. f(x) = 3x +
1
x
Jawab:
a. f(x) = x3 – 3x2 maka f '(x) = 3x2 – 6x
b. f(x) = 3x +
1
x
= 3x + x–1 maka f '(x) = 3 – x–2 = 3 –
c. f '(x) = cos x – sin x
Contoh 8.12
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 207
5. Turunan Fungsi y = uv
Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) · v(x),
dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan
di x = a, untuk a bilangan real. Oleh karena itu
f
f f
x
u
x x
'􀀈􀀈a􀀉􀀉 lim lim
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀤􀀝
􀀈a􀀋􀀤x􀀉􀂕
􀀤􀁬0 􀀤􀀤􀀤􀁬0
v u v
x
u v
x
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀝
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀋􀀤x􀀉􀀍
􀀤􀁬
lim
0
u v u v u v
x
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀈a􀀋􀀤x􀀉
􀀋
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉 􀀈a􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀂧
􀂩
􀂨􀂨
􀂧􀂧
􀂨
􀂩􀂩
􀂨􀂨􀂨􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸 􀂹
􀂸􀂸
􀀝
􀀈 􀀋􀀤 􀀉􀁛 􀀈 􀀋􀀤 􀀉􀀍 􀀈
􀀉􀁝
􀀈 􀀋􀀤 􀀉
􀀋
􀀤 􀁬
lim
􀀤􀀤x
u􀀤􀀤 􀀋􀀤􀀤 0 􀀋􀀤􀀤
v
x
x
􀀈a􀀉􀁛u􀀈a􀀋􀀤x􀀉 u􀀈a􀀉􀁝
􀀤􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨
􀂨
􀂨 􀂩
􀂨
􀂷
􀂹
􀂸
􀂷
􀂸
􀂸
􀂸 􀂹
􀂸
􀀝 u
􀀤􀁬
li
0
v v
x
v
u u
x
􀀈a􀀋􀀤􀀤􀀤􀀤􀀤x􀀉
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀋 􀀈a􀀉
􀀈a􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀁬 􀀤
lim
0 􀀤􀀤􀀤􀀤x
􀀝 u􀀈a􀀉􀂕 v '􀀈􀀈􀀈a􀀉􀀉􀀉􀀋􀀋v􀀈􀀈􀀈a􀀉􀀉􀀉􀂕 u '􀀈a􀀉
Oleh karena itu, jika y = f(x) = u(x) · v(x) dengan a
bilangan real sebarang berlaku f '(a) = u(a) · v'(a) + v(a) · u'(a).
Untuk y = u · v, maka y' = uv' + vu'.
Pembahasan Soal
Turunan dari y = (1 – x)2(2x + 3)
adalah ....
Jawab:
Misalkan, u = (1 – x)2 maka
u ‘ = 2(1 – x)(–1) = –2(1 – x).
Misalkan, v = (2x + 3)􀁬v ‘ = 2
y = uv
y ‘= u’v + uv’
= –2(1 – x)(2x + 3) + (1 – x)2(2)
= 2(1 – x)[(–2x – 3) + (1 – x)]
= 2(1 – x)(–3x – 2)
= 2(1 – x)(–1)(3x + 2)
= 2(x – 1)(3x + 2).
Soal UMPTN 1999
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2)
b. f(x) = cos x sin x
Jawab:
a. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2)
Misalkan, u = 5x2 – 1 maka u' = 10x dan v = 3x – 2 maka v' = 3
sehingga
f '(x) = u (x) . v' (x) + v (x) . u' (x) = (5x2 – 1) . 3 + (3x – 2) . 10x
= 30x2 – 20x + 15x2 – 3 = 45x2 – 20x – 3
b. f(x) = sin x cos x
Misalkan, u􀀈x􀀉􀀝 sin x k u '􀀈x􀀉 cos x dan
v􀀈x􀀉􀀝 cos x k v '􀀈x􀀉 sin x
sehingga f '(x)= u (x) . v' (x) + v (x) . u' (x)
= sin x (– sin x) + cos x . cos x
= cos2 x – sin2 x = cos2 x – (1 – cos2 x)
= 2 cos2 x – 1 = cos 2x
Contoh 8.14
d. f(x) = 3 5 x = 5 5
1
6
5
1
2
3 3
1
6 3
5
x 􀀝 x maka f '􀀈x􀀉􀀝 x6
=
5
6
1
6
3 25
6 5 5
6
x x
􀀝
208 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) = (2 + 3x2)9 c. f(x) = 3
1
2
3 2
sin3 2 cos
x
x
􀀋 .
b. f(x) = (5 + 2x)3+ 2x􀀋1
Jawab:
a. f(x) = (2 + 3x2)9
Misalkan, u = 2 + 3x2 maka u’(x) = 6x sehingga f (x) = u9
f ‘(x) = 9u8 .u’(x) = 9(2 + 3x2)8 .6x = 54x(2 + 3x2)8
b. f(x) = (5 + 2x)3+ 2x􀀋1 = 3
1
􀀈5􀀋2 􀀉􀀉 􀀋􀀋􀀈2 􀀋1􀀉2
f '(x) = 3(5 + 2x)2 · 2 + 1
2
2
1
􀀈2x􀀋1􀀉 2 􀂕 􀀍 = 6(5 + 2x)2 + 1
2x􀀋1
c. f
x x x
􀀈x􀀉 sin cos
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 3􀂥3 􀂵 􀀍 1 1 􀂴
􀂴􀂤 􀂤
2 1
2
􀂤􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂤􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀝 􀀍
2 2 2
1
2
cos
x
9 1 1
2
2 2 2
2
x x x
x x
sin2 cos 􀀍 sin cos
Contoh 8.15
6. Turunan Fungsi y = un
Diketahui y = f(u) dengan f(u) = un dan u = g(x). Jika
fungsi u = g(x) dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan
real maka
g'(a) = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀤x 􀀤
g􀀤􀀤 􀀉􀀍g
0 􀀤􀀤x
Oleh karena a bilangan real sebarang maka
g'(x) = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀤x 􀀤
g􀀤􀀤 􀀉􀀍g
0 􀀤􀀤x
􀁬 g'(x) = lim
􀀤 􀁬
􀀤
􀀤􀀤x 􀀤
u
0 􀀤􀀤x
Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh
f '(u) = lim
􀀤 􀁬
􀀤
u 􀀤
􀀤􀀤y
0 u
?
Untuk Δx mendekati nol maka Δumendekati nol sehingga
f
y
u
g
u
u x
x
u
lim ' lim
lim
􀀈u􀀉􀀝
􀀤􀀤􀀤
􀀈 x􀀉􀀝
􀀤
􀀤􀁬 􀀤 􀀤􀀤􀁬
0
0 􀀤􀀉
􀁬
dan
0 0
0
􀀤
􀀤
􀂕
􀀤
􀀤
􀀝 􀀈 􀀉 􀀈
􀀉
􀂙
􀀤
􀀤
􀂕
􀀤
􀀤
􀀤 􀁬
􀀤􀀤y
u
u
􀀤􀀤x
f g 􀀤􀀤y
u
x
u
lim '
lim
u
x
f g
y
x
f g
y x
u
􀀤􀀝 􀀈u􀀉 􀀈x􀀉
􀂙
􀀤􀀤􀀝 􀀈􀀈u􀀉􀀉 􀀈x􀀉
􀂙 􀀈
􀀤􀁬
'
lim 􀀉'
'
0
􀀉􀀉􀀝 f 􀀈􀀈􀀈 􀀉􀀉u '􀀈􀀈 􀀉
f(u) = un, f '(u) = nun – 1 sehingga y'(x) = nun – 1 u'(x).
Untuk y = unmaka y' = nun – 1 u'(x).
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 209
7. Aturan Rantai
Perhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y =
un. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = f(u) =
un dengan u = g(x) maka turunannya y' = nun–1 u'(x). Hasil
tersebut menggambarkan aturan rantai.
Misalkan, y = f(u) dan u = g(x).
(f o g)(x) = f{g(x)} = f(u) = y
Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f
mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi y =
f{g(x)} = f o g(x) ditentukan sebagai berikut.
(f o g)'(x) = f '(g(x)) . g'(x)
atau dy
dx
dy
du
du
dx
􀀝 􀂕 .
Tentukan turunan fungsi y = 􀀈 x 􀀍3􀀉
6
.
Jawab:
Misalkan, u = x 􀀍 3 maka y = u6.
du
dx
x
x
dy
du
u
dy
dx
dy
du
du
dx
u
􀀝 􀀝
􀀝
􀀝 􀂕
􀀝 􀂕
1
2
1
2
6
6
1
2
1
2
5
5
x
x
x
x
x
􀀝 􀀈 􀀍 􀀉 􀂕
􀀝
􀀈 􀀍 􀀉
6 3
1
2
3 3
5
5
Contoh 8.16
8. Turunan Fungsi y =
u
v
Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) =
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
, dalam hal
ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk
a bilangan real maka
210 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) = cosec x
b. f(x) = tan x
Jawab:
a. f(x) = cosec x =
1
sin x
Misalkan u = 1 maka u' = 0 dan v = sin x maka v' = cos x.
f(x)=
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
sehingga f '(x) =
u v uv
v
'􀀍uv'
2
=
0 1 1
2 2
􀀈 􀀉
􀀈 􀀉
􀀝
􀀍
􀀝 􀀍
i cos
sin
cos
sin
x 􀀈􀀈 x
x
x
x sin
cot
x
x x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍 cosec
Contoh 8.17
Situs Matematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang
Fungsi dan Turunannya
melalui internet dengan
mengunjungi situs berikut.
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁄􀁂􀁍􀁄􀁖􀁍􀁖􀁔􀀏􀁐􀁓􀁈
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁘􀁘􀁘􀀏􀁘􀁂􀁍􀁕􀁆􀁓􀀎􀁇􀁆􀁏􀁅􀁕􀀏􀁅􀁆
􀁴􀀁 􀁎􀁂􀁕􀁆􀁎􀁂􀁕􀁊􀁌􀁂􀀎􀁔􀁎􀁂􀀏􀁃􀁍􀁐􀁈􀁔􀁑􀁐􀁕􀀏
􀁄􀁄􀁐􀁐􀁎
f '(a)= lim lim
􀀤 􀁬 􀀤
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋􀀤 􀀉
􀀈 􀀋􀀤 􀀉
􀀤􀀤xx
f 􀀤􀀤 􀀉􀀍 f
􀀤􀀤􀀤 x
u􀀤􀀤
v􀀤􀀤
0 􀀤􀀤􀀤􀁬0
􀀍􀀍
􀀈
􀀉
􀀈
􀀉
􀀤
uv􀀤􀀤x
= lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀉 􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉 􀀈 􀀋􀀤 􀀉
􀀤􀀤x 􀀤 􀀈 􀀉 􀀈 􀀋􀀤 􀀉
vu􀀤􀀤 􀀉􀀍u v 􀀋􀀤􀀤
0 􀀤􀀤xv v 􀀋􀀤􀀤
= lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀉 􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉 􀀈 􀀉􀀋 􀀈 􀀉 􀀈 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀤x
vu􀀤􀀤 􀀉􀀍v u u 􀀉􀀉 􀀉􀀍u v
0
􀀈a􀀋􀀋􀀋􀀤 􀀉
􀀤 􀀈 􀀉 􀀈 􀀋􀀤 􀀉
􀀤􀀤
􀀤􀀤x v v 􀀋􀀤􀀤
= lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀉 􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀍 􀀈 􀀉
􀀤􀀤x
vu􀀤􀀤 􀀉􀀍u
􀀤􀀤x
uv
0
v
x
v a v
􀀈a􀀋􀀤x􀀉􀀍 􀀈a􀀉
􀀤􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂦􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀈􀀉 􀀈a􀀋􀀤x􀀉
=
lim lim lim
􀀤 􀁬 􀀤 􀀤 􀁬
􀀈 􀀉􀂕
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀍
􀀤􀀤x􀀤􀀤x
vu􀀤􀀤 􀀉􀀍u
􀀤􀀤x
u
0 􀁬0
􀀉
􀀤􀀤x 0
􀀈􀀈􀀈a􀀉􀂕
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀈 􀀉 􀀈 􀀋􀀤 􀀉
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
lim
lim
􀀤􀀤x
􀀤􀀤x
v􀀤􀀤 􀀉􀀍v
􀀤􀀤x
vav􀀤􀀤
0
0
=
u v u v
v v
'􀀈􀀈a􀀉􀀉􀂕 􀀈􀀈a􀀉􀀉􀀍􀀈a􀀉􀂕 v'􀀈a􀀉 u' v u
􀀈a􀀉􀂕 􀀈a􀀉
􀀝
􀀈a􀀉􀂕 􀀈a􀀉􀀍 􀀈a􀀉 v 􀀈a􀀉
􀀈v􀀈a􀀉􀀉
'
2
Oleh karena itu, jika y = f(x) =
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
dengan a sebarang bilangan
real sehingga berlaku f '(a) =
u'􀀈􀀈a􀀉􀀉􀂕 v􀀈a􀀉􀀍u􀀈a􀀉􀂕 v'􀀈a􀀉
􀀈v􀀈a􀀉􀀉2
maka f '(x) =
u'􀀈􀀈x􀀉􀀉􀂕 v􀀈x􀀉􀀍u􀀈x􀀉􀂕 v'􀀈x􀀉
􀀈v􀀈x􀀉􀀉2 .
Untuk y =
u
v
, berlaku y' =
u v uv
v
'􀀍uv'
2 .
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 211
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) =
x
x
􀀍
􀀋
2
2
b. f(x) =
x
􀀈x 􀀉􀀉 􀀈􀀈 x􀀋 􀀉
2
3
2
Jawab:
a. Misalkan, u = x – 2 maka u' = 1 dan v = x + 2 maka v' = 1.
f(x) =
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
sehingga
f '(x) =
u'􀀈􀀈x􀀉􀀉􀂕 v􀀈x􀀉􀀍u􀀈x􀀉􀂕 v'􀀈x􀀉
􀀈v􀀈x􀀉􀀉2
=
4
2 2
􀀈1􀀉􀀈 􀀋2􀀉 􀀈 􀀍2􀀉􀀈1􀀉
􀀈 􀀋2􀀉
􀀝
􀀈
􀀋2􀀉
􀀉􀀍􀀈
b. f(x) =
x
􀀈x 􀀉􀀉 􀀈􀀈 x􀀋 􀀉
2
3
2
Misalkan, u = (x – 1)3(2x + 3) maka u’ = 3(x – 1)2(2x + 3) + (x –1)3(2)
v = 2x2 maka v’= –4x.
f(x) =
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
sehingga f '(x) =
u u
v
'􀀈x􀀉v􀀈x􀀉􀀍 􀀈x􀀉v􀀈x􀀉
2 􀀈x􀀉
=
3 2 3 2 3 􀀈 􀀉 1 x 􀀈 􀀉 2 3 x 􀀋 􀀋􀀈 􀀉 1 􀀍 x 􀀈 􀀉 2 􀂧􀂩
􀂨 􀂧
􀂩
􀂷􀂹
􀂹􀂹􀀈2x􀀉 􀀈x 1􀀉 􀀈2x􀀋􀀋 􀀉􀀈
􀀉
􀀈 􀀉
2
=
4 2 2 6 4 2 9 x x 􀀈 􀀉 1 x 􀀋􀀈 􀀉 2 2 􀀍 2x 􀂧
􀂩 􀂧 􀂷
􀂹 􀂷􀀍􀀈 􀀉 2 x 􀀈 􀀉 1 x 􀀈 􀀉 2 3 x 􀀋 􀂧􀂧􀂩􀂧􀂧􀂧􀂧 􀂷
􀂹 􀂷
4x4
=
4
4
2
4
x x
x
􀀈 􀀉 1 x 􀀈 􀀉 12 18 2 6 x 􀀋 􀀍 6x 􀀈 􀀉 3 2 2 x 􀀋 2x 􀀍 􀂧
􀂩
􀂨 􀂩
􀂷
􀂹
􀂸 􀂹
=
x
􀀈 􀀉 x 􀀈 􀀉 x x x x 􀀋
􀀍 x 􀀍 􀀋 􀂧 􀂩
􀂩􀂩
􀂷
􀂹
􀂸 􀂹 􀂧 2 3
=
x
􀀈x 􀀉􀀉􀀈􀀈 x 􀀋􀀋􀀋 x 􀀍 x􀀋 􀀉
3
Contoh 8.18
Pembahasan Soal
Jika f(x) =
3 2
x􀀋4
, maka
turunan f –1(x) adalah ....
Jawab:
f(x) =
3 2
x􀀋4
􀂜 􀀝
􀀋
y
x
3x􀀍2
4
maka x =
4 2
3
y
y
􀀋
􀀍
f –1(x) =
4 2
3 x
􀀋
􀀍
df
dx
􀀍 􀀈x􀀉
􀀝 􀀈 􀀍x􀀉􀀍􀀈 􀀋
􀀉􀀈􀀍 􀀉
􀀈 􀀍x􀀉
􀀝
􀀈 􀀍x􀀉
1
2
2
4x14
Soal UMPTN 1997
b. f(x) = tan x =
sin
cos
x
x
Misalkan u = sin xmaka u' = cos x dan v = cos x maka v' = – sin x.
f '(x) =
cos cos sin cos sin
cos
x x􀀍 x􀀈 sin x􀀉 x x
􀀈cos x􀀉
􀀝
􀀋
2
2 sin2
2 2
1
x x
􀀝
cos
= sec2 x.
212 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
1. f(x) = 4x5 – x3 + 1
2. f(x) = 3 2x 3x
3. f(x) =
x
9 x
9
􀀋
4. f(x) =
18 2
x 3 4x
􀀋
5. f(x) = x
x
3
4x􀀋1
6. f(x) =
x
x
3
2 􀀋5
7. f(x) = (x2 – 1)(x3 + 3)
8. f(x) = x4(x – 5)
9. f(x) = (x–3 + 5)(3x2 – 11)
10. f(x) = ( )( )
1
3
1
3 2
11. f(x) =
x
x
􀀋
􀀋x􀀋
8
2 2
12. f(x) = x 8x􀀋5
13. f(x) = sin (x + 2)
14. f(x) = 5 sin(3 – x)
15. f(x) = x2 sin x
16. f(x) = 4x3 cos(–6x)
17. f(x) = tan (5x + 1)
18. f(x) = tan (x3 – 5x)
19. f(x) = cot(5x – 3)
20. Luas permukaan kubus berusuk x cm
ditunjukkan oleh fungsi L(x) = 6x2. Tentukan
laju perubahan luas (L) terhadap x untuk x =
7 cm dengan cara menghitung L’ (7).
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 10
m/detik. Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi persamaan h(t) =
30t – 6t² dengan h(t) adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter.
a. Carilah kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.
b. Kapan peluru berhenti?
Jawab:
Diketahui:
Kecepatan awal peluru = 10 m/detik.
Kedudukan peluru pada t detik = h(t) = 30t – 6t².
Ditanyakan:
a. Kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.
b. Kapan peluru berhenti.
Pengerjaan:
a. Dalam fisika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukan
terhadap waktu sehingga v(t) = h'(t) = 30 – 12t.
Jadi, kecepatan peluru pada saat t = 1,5 adalah
v(1,5) = 30 –12(1,5) = 12 m/detik.
b. Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga v(t ) = 0
􀂙30 – 12t = 0
􀂙t = 2,5.
Jadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik.
Contoh 8.19
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 213
21. Panjang dan lebar sebuah persegipanjang
adalah 3x + 2 dan 2x. Carilah laju perubahan
luas terhadap x untuk lebar 6 cm.
22. Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah
barang (x) dengan biaya p(x) = 3x2 – 2x +
15. Jika biaya total marginal didefinisikan
sebagai dp
dx
, tentukan biaya total marginal
untuk memproduksi barang itu. Berapa biaya
total untuk memproduksi 20 barang?
23. Pendapatan koperasi "Maju" dalam x tahun,
mulai 1 Januari 2004 adalah
P(x) =
3
4
x2 􀀋3x􀀋20,
dengan P dalam jutaan rupiah.
a. Tentukan laju perubahan sesaat P pada
1 Januari 2006.
b. Tentukan laju perubahan sesaat P pada
1 Januari 2009.
24. a. Misalkan pertumbuhan bakteri pada
waktu t memenuhi persamaan
N(t) = 3t2 t .
Tentukan laju pertumbuhan bakteri
tersebut.
b. Populasi penduduk pada suatu daerah
memenuhi persamaan
N = 240.000 –
4
3
3 600
2 t 􀀋
􀀋
􀀈t 􀀋3􀀉
.
.
Tentukan dN
dt
.
C. Persamaan Garis Singgung
pada Kurva
Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis
singgung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah
f '(a) = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀤x 􀀤
f 􀀤􀀤 􀀉􀀍 f
0 􀀤􀀤x
Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1) dengan
gradien m adalah
y – y1 = m(x – x1)
Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik
A(a, f(a)) pada kurva adalah
y – f(a) = f '(a) (x – a)
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.
a. f(x) = x2 di titik (–2, 4)
b. y = x3 di titik yang memiliki absis x = 1 dan x = 2.
Jawab:
a. Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4)
adalah y – 4 = f '(–2) (x – (–2)).
f(x) = x2 maka f '(x) = 2x sehingga f '(–2) = 2(–2) = –4
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik
(–2, 4) adalah y – 4 = –4 (x + 2) 􀂙 y = –4 x – 4.
Contoh 8.20
214 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.
a. y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x
b. y=f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y=–
1
24
x .
Jawab:
a. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (1, 4),
menurut rumus adalah y – f (1) = f '(1) (x – 1). Diketahui f(1) = 4
dan f '(x) = 3x2 + 6x maka
f '(1) = 3 . 12 + 6 . 1 = 9.
Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah
y – 4 = 9 (x – 1) 􀂙 y = 9x – 5.
b. Jika g: y = mx + n adalah garis singgung pada kurva y = 2x3 dan
tegak lurus terhadap garis h: y = –
1
24
x maka m (–
1
24
x ) = –1
􀂙 m = 24.
Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 adalah y – f(x1) =
f '(x1) (x – x1) dengan x1 absis titik singgung pada kurva y = 2x3.
Selanjutnya, nilai x1 ditentukan sebagai berikut.
f '(x) = 6x2 maka f '(x1) = 6x1
2.
Contoh 8.21
Menentukan Persamaan Garis Singgung pada
Kurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui
Untuk menentukan persamaan garis singgung pada
kurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajari
beberapa contoh berikut.
Pembahasan Soal
Kurva y = (x2 + 2)2 memotong
sumbu-y di titik A. Persamaan
garis singgung pada kurva
tersebut di A adalah ....
Jawab:
A adalah titik potong kurva
y = (x2 + 2)2 terhadap sumbu-y.
absis x A = 0
y A = (0 + 2)2 = 4
m =
dy
dx
= 2(2x)(x2 + 2)
mA = 2(0)(0 +2) = 0
Persamaan garis singgung
y – y A = mA(x – x A )
y – 4 = 0 􀁬 y = 4
Soal UMPTN 2001
b. Untuk absis x = 1.
Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalah
y – f (1) = f '(1) (x – 1)
f(1) dan f '(1) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 maka
f(1) = 13 = 1.
f '(x) = 3x2 sehingga f '(1) = 3 . 12 = 3
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik
(1, 1) adalah y – 1 = 3 (x – 1) 􀂙 y = 3x – 2.
Untuk absis x = 2.
Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalah
y – f(2) = f '(2) (x – 2)
f(2) dan f '(2) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 maka
f(2) = 23 = 8.
f '(x) = 3x2 sehingga f '(2) = 3 . 22 = 12
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik
(2,8) adalah y – 8 = 12(x – 2) 􀂙 y = 12x – 16.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 215
Diketahui f '(x1) = 24 sehingga 6x1
2 = 24 􀂙x1
2 = 4􀂙x1 = ± 2.
Untuk x1 = 2, diperoleh f (x1) = 2 . 23 = 16. Persamaan garis
singgung yang tegak lurus terhadap garis y = –
1
24
x adalah
y – 16 = 24 (x – 2) 􀂙 y = 24x – 32.
Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk x1 = –2.
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihanmu.
1. Tentukan persamaan garis singgung kurvakurva
berikut.
a. f(x) = x2 di titik (2,4)
b. f(x) = 1 –
1
2
x2 di titik (2,–1)
c. f(x) = x3 + 1 di titik (–1, 0)
d. f(x) = x2 – 3x – 7 di x = 4
2. Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = f(x) pada titik yang diketahui
jika gradien garis singgungnya diberikan
oleh persamaan berikut.
a. f '(x) = 4x – 4 di (1,–2)
b. f '(x) = 2 – 6x di (0,0)
c. f '(x) = 3x2 – 2 di (–1,1)
d. f '(x) = 3 – 3x2 di (2,–2)
3. a. Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = 2x2 – 3x yang sejajar garis
y = x.
b. Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = x2 – 4x + 5 yang tegak lurus
y = –2x + 3.
c. Tentukan koordinat pada kurva
y=x2 + 3x – 10 agar garis singgung kurva
di titik itu mempunyai gradien 7.
d. Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = x –
1
x2
di titik potong kurva
itu dengan sumbu-x.
4. Garis y = x + 1 memotong parabola y = x2 +
2x + 1 di titik A dan B. Tentukan persamaan
garis singgung parabola itu di titik A dan B.
5. Garis singgung kurva y =
1
4
x2 di titik
(2,1) memotong sumbu-x di titik A dan
memotong sumbu-y di titik B. Tunjukkan
bahwa koordinat titik A dan B adalah
A(1,0) dan B(0,–1).
D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan
lintasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = f(x),
seperti pada Gambar 8.5.
Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian
bergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan f disebut naik
dalam daerah D f
= { x| a ≤ x ≤ b} sebab semakin besar nilai x
menyebabkan nilai fungsi
f semakin bertambah besar. Fungsi
f disebut turun dalam daerah D f
= { x| b ≤ x ≤ c} sebab semakin
besar nilai x menyebabkan nilai fungsi
f semakin kecil.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatu
fungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi f disebut
monoton turun?
Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.
Gambar 8.5
y
O
A C
B
a b c
216 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Definisi 8.1
Misalkan f terdefinisi pada selang I. Kita katakan bahwa:
• f monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a
dan b dalam I, a < b mengakibatkan f(a) < f(b);
• f monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan
a dan b dalam I, a < b menyebabkan f(a) > f(b).
Sekarang amati Gambar 8.7. Titik P1 adalah titik sebarang
pada grafik yang terletak pada selang (0, a), titik P2 adalah
titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (a, b)
dan titik P3 adalah titik sebarang pada grafik yang terletak
pada selang (b, c). Apabila Anda membuat garis singgung
di P1, P2, dan P3 yang diberi nama g1, g2, dan g3 seperti pada
Gambar 8.8 maka garis singgung g1 memiliki gradien positif
(condong ke kanan), garis singgung g2 memiliki gradien
negatif (condong ke kiri), dan garis singgung g3 memiliki
gradien positif (condong ke kanan).
Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,
mengapa g1 memiliki gradien positif, g2 memiliki gradien
negatif, dan g3 memiliki gradien positif.
Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik dapat
ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan
fungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi f
dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b).
• Jika f '(x) > 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka
fungsi f naik pada selang (a, b).
• Jika f '(x) < 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka
fungsi f turun pada selang (a, b).
Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.
1. f(x) = –x2 pada selang (0,1)
2. f(x) = 10x – x2 pada selang (0,10)
Jawab:
1. f(x) = –x2 maka f '(x) = –2x.
Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.
f '(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x2 pada selang
(0, 1) merupakan fungsi turun.
2. f(x) = 10x – x2 maka f '(x) = 10 – 2x.
Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.
f '(p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f '(p) = 10 – 2p < 0 untuk
p > 5. Dengan demikian, f(x) = 10x – x2 pada selang (0, 10)
merupakan fungsi naik dan fungsi turun.
Contoh 8.22
Gambar 8.6
Gambar 8.7
Gambar 8.8
y
x
turun
naik
y
x
B
C
D
P2
PA 3
O a b c
P1
y
x
B
C
D
P2
P3
A
O a b c
P1
g2
g1
g3
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 217
Periksa naik atau turunnya fungsi f(x) = cos x pada selang-selang
berikut.
a. 0
2
,
􀂤 􀁐
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
b. 􀁐, 􀁐
3
2
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
Jawab:
f(x) = cos x maka f '(x) = –sin x.
a. f(x) = cos x pada selang 0
2
,
􀂤 􀁐
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
Misalkan, p adalah anggota 0
2
,
􀂤 􀁐
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
sehingga 0 < p < 􀁐
2
.
f '(p) = –sin p < 0 untuk 0 < p < 􀁐
2
sehingga f(x) = cos x
pada selang 0
2
,
􀂤 􀁐
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
merupakan fungsi turun.
b. f(x) = cos x pada selang 􀁐, 􀁐
3
2
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
.
Misalkan, p anggota 􀁐, 􀁐
3
2
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
sehingga π < p <
3
2
π.
f '(p) = –sin p > 0 untuk π < p <
3
2
sehingga f(x) = cos x
pada selang 􀁐, 􀁐
3
2
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
merupakan fungsi naik.
Contoh 8.23
Tentukan pada interval (0, 2π) di mana tempat fungsi f(x) = cos
(x + π) merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
Jawab:
f(x) = cos ( x + π), maka f '(x) = –sin (x + π).
• Agar fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik maka
f '(x) > 0 sehingga –sin (x + π) > 0. Untuk menyelesaikan
pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan
berikut: –sin (x + π) = 0
–sin (x + π) = sin 0 􀂙 x + π = 0 ± k 2π, k bilangan bulat
x = –π ± k 2π
Oleh karena x 􀂌 (0, 2π) maka nilai x yang memenuhi adalah
x1 = π sehingga diperoleh diagram tanda berikut.
0 π 2π
Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan
–sin (x + π) > 0 adalah 0 < x < π.
Contoh 8.24
218 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval
0 < x < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.
• Fungsi f(x) = cos(x + π) merupakan fungsi turun, jika f '(x) < 0
sehingga f '(x) = –sin (x + π) < 0.
Dengan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasilkan
–sin(x + π) < 0 adalah π < x < 2.
Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi turun pada interval
π < x < 2π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Periksalah, apakah fungsi-fungsi berikut
pada selang [0,1],[–1.1],[–1,0] merupakan
fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x) = 3x2 – 12x + 9
b. f(x) = x2 – 16x + 12
c. f(x) = 4 + 10x – x2
d. f(x) = 1 + x3
e. f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f. f(x) = x3 – 3x2 – 24x + 7
2. Periksalah, apakah fungsi-fungsi f(x) pada
selang [0, 􀁐
2
], [ 􀁐
2
, π],[π,
3
2
􀁐 ], [
3
2
􀁐 , 2π]
merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x) = sin x
b. f(x) = cos(x – 􀁐
2
)
c. f(x) = sin (x + 􀁐
2
)
d. f(x) = sin (x – π)
e. f(x) = cos (x + π)
f. f(x) = cos 2x
3. Tunjukkan bahwa untuk setiap x bilangan
real, fungsi f (x) = 3 1􀀍x selalu turun.
4. Jika f (x) merupakan fungsi naik pada suatu
interval I, tunjukkan bahwa
a. f(x) + c dengan c konstanta juga naik;
b. –f(x) merupakan fungsi turun.
5. Konsentrasi K(t), suatu obat dalam darah
pasien memenuhi persamaan
K
t
t
􀀈t􀀉􀀝
􀀋 t 􀀋
􀀜t 􀀜
0 16
4t 4
024 2
,
,
dengan t menunjukkan waktu (dalam jam)
setelah pemberian obat. Tentukan interval di
mana konsentrasi obat naik, dan interval di
mana konsentrasi obat turun.
E. Maksimum dan Minimum Fungsi
Anda telah mempelajari fungsi kuadrat dan grafiknya di
Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Anda
telah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titik
ekstrim minimum dari fungsi kuadrat melalui proses aljabar
bilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidak
dapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim fungsifungsi
yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakan
turunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenis
fungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu.
Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut.
x
y
–1
1
π

􀁐
2
3
2
􀁐
Gambar 8.9
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 219
Gambar 8.10 memperlihatkan grafik y = f(x) = x2 – 2.
Anda mungkin memahami bahwa fungsi y = f(x) = x2 – 2
mempunyai nilai minimum pada x = 0 sebab f(x) = f(0) =
02 – 2 = –2. Turunan fungsi f(x) = x2 – 2 adalah f '(x) = 2x.
Anda dapat memeriksa bahwa f '(x) < 0 untuk x < 0 dan f '(x) > 0
untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x)
turun untuk x < 0 dan f (x) naik untuk x > 0. Bagaimana dengan
fungsi di x = 0, apakah naik atau turun? Fungsi f(x) di x = 0
tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner.
Definisi 8.2
Jika fungsi fmencapai titik ekstrim pada (a, f(a)) dan terdiferensialkan
pada titik itu maka titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner atau
f '(x) = 0.
Jika Anda amati grafik y = f(x) = x2 – 2, tampak adanya
perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari turun menjadi
naik.
Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadi
naik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempat
terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik
x = 0 fungsi bernilai minimum, yaitu f(x) = f(0) = –2.
Sekarang, selidiki grafik y = f(x) = 2 – x2 pada Gambar 8.11.
Mudah diselidiki bahwa fungsi y = f(x) = 2 – x2 mempunyai
nilai maksimum pada x = 0 sebab f(0) = 2 – 02 = 2.
Turunan fungsi f(x) = 2 – x2 adalah f '(x) = –2x. Anda dapat
menyelidiki bahwa f '(x) > 0 untuk x < 0 dan f '(x) < 0 untuk
x > 0 serta f '(0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) naik
untuk x < 0, f(x) turun untuk x > 0, dan x = 0 adalah titik
stasioner. Jika Anda amati grafik y = f(x) = 2 – x2, tampak
adanya perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari naik
menjadi turun.
Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjadi
turun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempat
terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik
x = 0 fungsi bernilai maksimum, yaitu f(x) = f(0) = 2.
Pembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan minimum
dengan memeriksa fungsi f(x) = x3 dan f(x) = |x|. Kedua
grafik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.12.
• Turunan pertama fungsi f(x) = x3 adalah f '(x) = 3x2. Anda
dapat memeriksa bahwa f '(x) > 0 untuk x 0 dan f '(x) = 0
pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) naik untuk x < 0 atau
x > 0 dan x = 0 adalah titik stasioner. Akibatnya, titik
y
x x 2 x1
–2
O
f '(0) = 0
f '(x1) < 0 f '(x2) > 0
y = x2 – 2
Gambar 8.10
Gambar 8.11
y
x x 2 x1
2
O
f '(0) = 0
f '(x1f '(x ) < 0 2) > 0
y = 2 – x2
(a)
y
x
y = x3
f'(x2) > 0
x2
x1
f '(x2) > 0
220 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimum
atau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar
8.12(a) bahwa grafik y = x3 selalu naik di sekitar x = 0.
• Pada gambar 8.12(b), f(x) = |x| =
x jika x
jik
􀁱
􀀍x jika x 􀀞
􀂪􀂫 􀂭
􀂪
􀂭 􀂫
􀂭
􀂬 􀂭
􀂫􀂭
􀂬􀂬 􀂭
0
0
sehingga f '(x) = –1 < 0 untuk x < 0 dan f '(x) = 1 > 0
untuk x > 0. Adapun untuk menentukan f '(0) digunakan
konsep limit, yaitu sebagai berikut.
f '(0) = lim lim lim
x x
f f
x
x
x
x
􀁬 x
􀀈x􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀝
􀀍
􀀍
􀀝
0 0 x􀁬0 0
0
0
Dari Bab 7 tentang pengertian limit telah diterangkan
bahwa limit fungsi tersebut tidak ada.
Jadi, f '(0) tidak ada atau f tidak terdiferensialkan. Oleh
karena itu, f(x) turun untuk x < 0, f(x) naik untuk x > 0, dan
x = 0 bukan merupakan titik stasioner sehingga pada x = 0
fungsi bernilai minimum.
Sekarang amati Gambar 8.13.
Diketahui, fungsi f(x) terdefinisi pada interval a ≤ x ≤ d
serta f '(b) = f '(c) = 0.
Dari Gambar 8.13. diperoleh uraian berikut.
a. Untuk D f = [ a, p] atau D f
= { x | a < x < p},
• nilai maksimum fungsi
f(x) adalah f(b) sehingga
x = b menyebabkan f '(b) = 0;
• nilai minimum fungsi f(x) adalah f(a) dan x = a
merupakan titik ujung kiri interval D f .
Nilai f(b) > f(x) untuk x anggota D f
= [ a, p] sehingga
f(b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilai
maksimum global. Oleh karena f(a) < f(x) untuk x
anggota D f = [ a, p] maka f(a) disebut nilai minimum
mutlak atau nilai minimum global.
b. Untuk D f = [ p, d] atau D f
= { x | p ≤ x ≤ d},
• nilai maksimum fungsi
f(x) adalah f(d) dan x = d
merupakan titik ujung kanan interval Df
D; • nilai minimum fungsi f(x) sama dengan
f(c) dan
x = c menyebabkan f '(x) = 0.
Untuk D f
= [ p, d] nilai maksimum dan minimum
fungsi f(x) merupakan
nilai maksimum dan minimum
global.
c. Untuk D f = [ a, d] atau D f
= { x | a ≤ x ≤ d},
• nilai balik maksimum
f(b) bukan merupakan nilai
maksimum fungsi f(x), tetapi dinamakan nilai
maksimum lokal atau maksimum relatif;
• nilai balik minimum f(c) bukan merupakan nilai
minimum fungsi f(x) akan tetapi dinamakan nilai
minimum lokal atau minimum relatif.
Gambar 8.13
(b)
Gambar 8.12
0
y
x
f '(x2f '(x ) > 0 2) < 0
f '(x) = |x|
y
x
a 0 b p c d
f (x)
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 221
Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsi
f(x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai
f(x) untuk nilai x sebagai titik ujung interval domain fungsi
f(x) dan nilai x yang menyebabkan f '(x) = 0. Kemudian,
bandingkan nilai-nilai tersebut.
Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 2x2 – x, untuk:
a. D f = { x | –1 ≤ x ≤ 2},
b. D f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}.
Jawab:
f(x) = 2x2 – x 􀂙 f '(x) = 4x – 1
4x – 1 = 0 􀂙 x =
1
4
.
a. x =
1
4
anggota D f = { x | 1 ≤ x ≤ 2}
f
1
4
2
1
4
1
4
1
8
2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍 􀀝 􀀍 ....(1)
f(–1) = 2 (–1)2 – 1
= 1 ....(2)
f(2) = 2 (2)2 – 2
= 6 ....(3)
Dari (1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 adalah nilai maksimum
dan f
1
4
1
8
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀝􀀍 merupakan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 – x
dengan
D f = { x | –1 ≤ x ≤ 2}.
b. x =
1
4
bukan anggota D f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}
f(–6) = 2 (–6)2 – (–6) = 78
f(–4) = 2(–4)2 – (–4) = 36
Jadi, fungsi f(x) = 2x2 – x dengan D f = { x | –6≤ x≤ –4} mempunyai
nilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimum f(–4) = 36.
Contoh 8.25
Soal Terbuka
Arif memiliki kawat yang
panjangnya 28 cm kawat.
Ia akan membuat bingkai
berbentuk persegipanjang.
Tentukan ukuran bingkai
yang mungkin. Tentukan pula
ukuran bingkai yang akan
memberikan luas maksimum.
Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan
volume 8.000π cm3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar
aluminium yang digunakan seminimal mungkin.
Jawab:
Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000π cm3.
Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium
minimal.
Contoh 8.26
222 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
(a)
(b)
Gambar 8.14
(a) Selembar aluminium.
(b) Silinder yang akan dibuat.
Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan
oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam
memenuhi persamaan
Q(v) = 􀀍
1
65
v2 + 2v + 2.500 liter
Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat
tahun.
Jawab:
Q(v) = 􀀍
1
65
v2 + 2v + 2.500 liter
Nilai stasioner Q(v) diperoleh jika Q'(v) = 0 sehingga
Q’(x) = 􀀍
2
65
v + 2 = 0 􀂙 􀀍
2
65
v = 2 􀂙 v = 65
Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah
Q(65) = 􀀍
1
65
(65)2 + 2(65) + 2.500 = 2.565 liter
Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah
4 × 2.565 = 10.260 liter.
Contoh 8.27
Pengerjaan:
Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas
silinder = r, dan luas permukaan silinder = L (r).
V (r) = luas alas × tinggi
= π r2 × t = 8.000π
sehingga t =
8 000 8 000
2 2
.000􀁐 8.
􀁐r r
􀀝 ....(1)
L (r) = luas alas + luas selubung = π r² + 2πrt ....(2)
Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperoleh
L (r)= 􀁐r 􀁐􀁐r 􀁐
r
2 rt
2
2 2
8 000
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀝 􀁐r2 􀀋 .
Nilai stasioner L (r) diperoleh jika nilai L' (r) = 0 sehingga
L' (r) = 2
16 000
2 􀁐
􀁐
r
r
􀀍
.
􀂙 􀀍 􀀝
􀂙 􀀝
􀂙 􀀝
2
16 000
0
2
16 000
8 000
2
2
3
􀁐
􀁐
r
r
.
.
.
􀂙 r = 20 ....(3)
Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleh
t =
8 000 8 000
400
20 2
.000 8.
r
􀀝 􀀝
Jadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alas r = 20 cm.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 223
Tes Kompetensi Subbab E
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum
fungsi-fungsi berikut untuk domain yang
diberikan.
1. f(x) = x3 – 6x2 + 9x dengan
a. D f = {x | –3 ≤ x ≤ 0}
b. D f = {x | 0 ≤ x ≤ 3}
c. D f = {x | 3 ≤ x≤ 5}
d. D f = {x | 5 ≤ x ≤ 7}
2. f(x) = 4x7 – x4 dengan
a. D f = {x | –1 ≤ x ≤ 0}
b. D f = {x | 0 ≤ x ≤ 1}
c. D f = {x | 1 ≤ x ≤ 2}
d. D f = {x | 2 ≤ x ≤3}
3. f(x) = (x –2)2(x – 5) dengan
a. D f = {x | 0 ≤ x ≤ 2}
b. D f = {x | 2 ≤ x ≤ 4}
c. D f = {x | 3 ≤ x ≤ 5}
d. D f = {x | 5 ≤ x ≤ 7}
4. Jika fungsi f (x) = x3 + px + 3 dengan daerah asal
D f = {x | –1 ≤ x ≤ 1} mencapai nilai minimum
relatif di x = 1, tentukan nilai f (1) dan p.
5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8.
Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar
jumlah kuadratnya minimum.
6. Menurut Departemen Riset sebuah
perusahaan, biaya produksi x unit barang
jenis A sebesar 2x3 – 4.000x2 + 6.000.000x
rupiah per hari. Jika barang diproduksi,
tentukan jumlah unit per hari yang harus
diproduksi agar biaya produksi per unitnya
minimum.
7. Dari selembar seng berbentuk persegipanjang,
akan dibuat talang air. Kedua
tepinya dilipat selebar x, seperti pada gambar
di samping. Jika lebar seng tersebut 40 cm,
x
x
P
Q
R
S
a. tunjukkan bahwa luas penampang
talang adalah L (x) = 40x – 2x2;
b. tentukan ukuran penampang L (x) =
40x – 2x2.
8. Luas sebuah juring lingkaran yang berjarijari
r adalah 4cm2.
a. Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah
K(r) cm dengan K(r) = 2
4
r
r
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 .
b. Tentukan nilai minimum K.
9. Suatu perusahaan membuat kaleng
berbentuk tabung tertutup dengan volume
V. Upah buruh (c) berbanding langsung
dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu
jumlah tinggi kaleng dengan dua kali
keliling alas kaleng.
a. Jika tinggi kaleng t dan jari-jari alas r,
buktikan bahwa c = k
V
r
r
􀁐
􀁐 2 􀀋 4
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
dengan k = konstanta.
b. Buktikan bahwa upah buruh (c)
paling murah jika tinggi kaleng sama
dengan keliling alasnya.
10. Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri
setelah t menit diberikan oleh persamaan
N(t) = 1000 + 30t2 – t3, 0 < t < 20
Tentukan kapan pertumbuhan bakteri
tersebut
a. menurun,
b. meningkat, dan
c. mencapai maksimum.
11. Setelah satu jam x miligram obat tertentu
diberikan kepada seseorang, perubahan
temperatur (dinyatakan dalam
Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan
oleh persamaan
T(x) = x2 1
9
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
x , 0 ≤ t ≤ 6
Rata-rata perubahan T(x) bersesuaian
dengan ukuran dosis x. T(x) disebut
sensitivitas tubuh terhadap dosis obat.
224 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat?
b. Kapan sensitivitas tubuh menurun?
c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas
tubuh?
12. Kecepatan suatu reaksi kimia yang
bergantung pada jumlahnya memenuhi
persamaan v = k (300x – 2x2), dengan k
adalah konstanta. Tentukan jumlah zat
tersebut agar kecepatan reaksi minimum.
13. Jika impedansi suatu rangkaian listrik
memenuhi persamaan Z= R2 2 􀀋􀀈 x 􀀉 1 c x 􀀍 ,
tentukan X C agar Z minimum. (Diketahui:
R = 1.500 Ω dan X L
= 1.000 Ω ) F. Turunan Kedua
Anda telah mempelajari turunan pertama fungsi yang
dinotasikan dengan
dy
dx
atau y' atau df
dx
atau f '(x)
Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsi
turunan kedua yang dinotasikan dengan
d
dx
dy
dx
d y
dx
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
2
2 atau ditulis y"
d
dx
df
dx
d f
dx
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
2
2
atau ditulis f "(x)
Turunan kedua fungsi f(x)
d y
dx
2
2 atau y" atau
d f
dx
2
2 atau f "(x)
Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut.
a. f(x) = 2x4 – 5x b. f(x) = x sin x
Jawab:
a. f(x) = 2x4 – 5x
f ‘(x) = 8x3 – 5
f “(x) = 24x2
Turunan kedua fungsi f(x) = 2x4 – 5x adalah f''(x) = 24x².
b. f(x) = x sin x
f '(x) = 1
2
1
x 2
􀀍 sin x + x cos x =
1
2 x
sin x + x cos x
Contoh 8.28
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 225
f "(x) = 􀀍
1 􀀍
4
3
x 2 sin x + 1
2
1
x 2
􀀍 cos x = 1
2
1
x 2
􀀍 cos x – x sin x
= 􀀍
1
4x x
sin x +
1
x
cos x – x sin x
Turunan kedua dari f(x) = x sin x adalah
f "(x) = 􀀍
1
4x x
sin x +
1
x
cos x – x sin x.
Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan (s) memenuhi
persamaan t3 – 6t2 + 30t. Dalam hal ini, s dalam meter dan t dalam
detik.
a. Hitunglah panjang lintasan pada saat t = 3 dan t = 5.
b. Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah t = 4 detik.
c. Hitunglah laju pada waktu percepatannya nol.
Jawab:
a. Pada saat t=3, panjang lintasannya adalah
s(3) = 33 – 6 32 + 30 3 = 63 meter
Pada saat t = 5, panjang lintasannya adalah
s(5) = 5³– 6 5² + 30 5 =125 meter
b. s = t³ – 6t2 + 30t
Kecepatan v =
ds
dt
= 3t2– 12t + 30
Kecepatan pada t = 4 sekon adalah v(4) = 3 42– 12 4 + 30
= 30 m/detik
Pecepatan a = d s
dt
dv
dt
2
2 􀀝 = 6t – 12
Percepatan pada t = 4 sekon adalah a(4) = 6 4 – 12
= 12 m/detik2
c. a = 0 maka 6t – 12 = 0􀂙t = 2
v(t) = 3t ² – 12t + 30, untuk t = 2 maka v(2) = 3 2² – 12 2 + 30
= 18 m/detik
Contoh 8.29
Teorema L’ Hopital
Jika x = a disubstitusikan ke bentuk lim
x a
f
g
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
diperoleh
bentuk tak tentu 0
0
atau


, Anda dapat menggunakan
teorema L' Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertama
oleh Marquis L' Hopital, seorang matematikawan Prancis
(1661–1704 M).
226 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
x
x
􀁬 x
􀀍 x􀀋
2 􀀍
2 4x4
2
b. lim
cos
x sin
x
􀁬0 x x
4x􀀍1
Jawab:
a. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x
􀁬 x
􀀍 x􀀋
􀀍
􀀝
􀀈 􀀉 􀀈 􀀉􀀋
􀀝
2
2 2 4x4
2
􀀍4 4
2􀀍2
0
0
(bentuk tak tentu)
Dengan teorema L' Hopital, diperoleh
lim lim
x x
x
x
x
􀁬
􀀍 x􀀋
􀀝
􀀍 x􀀋
2
2
2
4x4
2
2x 4 4
1
= 2(2) – 4 = 0.
b. Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh
lim
cos
sin
cos
x . i
x
􀁬 x x
􀀝 􀀝 􀀝
0
4x􀀍1 0􀀍1
0.sin 0
1􀀍1
0
0
0
(bentuk tak tentu)
lim
cos
sin
si
x cos sin
x
x x
x
􀁬 x x x
􀀝
􀀍
0 􀀋
4x􀀍1 4 sin 4
= lim
cos
x cos i cos
x
􀁬 x x
􀀍
0 􀀍x sin x􀀋
16 4
=
􀀍
􀀍 􀀋
􀀝
􀀍
􀀍 􀀋
16 0
00 0
16 1
10 1
cos
cos i cos
.
= –8
Contoh 8.30
Definisi 8.3
Jika lim , li
x a x
a
f g
􀀈x􀀉􀀝 0, limg􀀈􀀈􀀈x􀀉􀀉􀀉􀀝 0 , serta lim
x a '
f '
g'
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
ada, baik terhingga
atau tak hingga maka lim lim
x a x a '
f
g
f '
g'
􀀈x􀀉
􀀈􀀈x􀀉􀀉
􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
.
Perluasan teorema L'Hopital adalah
lim lim
'
lim
x a x
a x a
f
g
f '
g'
f '' x
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
􀀝
􀀈 􀀉􀀉
􀀈 􀀉
􀀝
􀀈
􀀉
g 􀀈
􀀉
f '' x􀁬a g lim
'''
(Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk
0
0
).
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 227
Tes Kompetensi Subbab F
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan turunan kedua dari fungsi aljabar
berikut.
a. f(x) = x5 + 7x3 + 2x2 + 12x + 8
b. f(x) = 2 x + 5x2 – 3x
c. f(x) = 6x4 + 12
2
3 x
x
􀀍
d. f(x) =
2
4 4 􀀈x􀀋 􀀉
e. f(x) = (3x– 4)10
f. f(x) = (x2 + 5)(2x³ – 3x + 9)
g. f(x) = 2
2 1
x 5
x
􀀋
h. f(x) =
4
3
x
􀀋 x
2. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi
berikut.
a. f(x) = tan x
b. f(x) = sin 3x
c. f(x) = cos x
d. f(x) = x – cos x
e. f(x) = sin x – cos x
f. f(x) = tan x2
g. f(x) = sin x cos x
h. f(x) = sin2 2x
3. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi
berikut.
a. f(x) = x3 – 3x + 2
b. f(x) = x3 (1+ x)
c. f(x) = (1 – x)(1+ x)3
d. f(x) = sin2 x, 0 ≤ x ≤ 2π
e. f(x) = sin
􀁐
2
􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
x , 0 ≤ x ≤ 2π
f. f(x) = tan2 x, 0 ≤ x ≤ 2π
g. f(x) = x cos x, 0 ≤ x ≤ 2π
h. f(x) = x tan x, 0 ≤ x ≤ 2π
4. Kerjakan soal-soal berikut.
a. Jika f(x) = 3x􀀋 7 , hitunglah f ''(3)
b. Jika f(x) = 3 2x􀀋6 , hitunglah f ''(1)
c. Jika f(x) =
6
2x 1
, hitunglah f ''(2)
d. Jika f(x) = (x2 + 1)3, hitunglah f ''(4)
e. Jika f(x) = x 3􀀋 x ,hitunglah f ''(1)
f. Jika f(x) = 64 x 􀀋 3 hitunglah f ''(1)
g. Jika f(x) = cos x – sin x , hitunglah
f '' 􀁐
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
h. Jika f(x) = x cos x, hitunglah f '' 􀁐
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
5. Sebuah mobil bergerak lurus. Setelah
bergerak t sekon, perpindahannya dinyatakan
dengan rumus s(t) = 25t + 10t2, s(t)
dalam meter. Berapa m
s2 percepatan
mobil itu?
228 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
G. Nilai Stasioner
1. Pengertian Nilai Stasioner Fungsi
Gambar 8.16 merupakan grafik fungsi f(x) = –(x – 1)2 + 4.
Turunan pertama dari fungsi f(x) = –(x – 1)2 + 4 adalah
f '(x) = –2(x – 1). Untuk x = 1, diperoleh f '(1) = –2(1 – 1) = 0.
Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi f(x) = –(x – 1)2 + 4
mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner
f(1) = –(1 – 1)2 + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titik
stasioner.
Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertian
nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda
sendiri. Konsep nilai stasioner fungsi yang telah Anda pelajari
tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.
Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada
x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah
pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke
atas pada x > 2.
Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan
dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik
(0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0)
merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian
nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner
fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.
Definisi 8.4
Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan
(diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c)
jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.
1. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = 3x2 – 6x + 5.
2. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi
f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2.
Jawab:
1. f(x) = 3x2 – 6x + 5􀂜f '(x) =6x – 6
Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga
f '(x) = 0
6x – 6 = 0
x = 1.
Contoh 8.31
y
0 1 2 3
1
2
3
4
(1,4)
f (x) = – (x – 1)2 + 4
x
Gambar 8.16
x
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 229
f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2
Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x2 – 6x + 5 adalah f(1) = 2
2. f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2
f '(x) = 3x2 + 8x – 3
untuk f '(x) = 0
3x2 + 8x – 3 = 0
(3x – 1) (x + 3) = 0
x =
1
3
atau x = –3
􀂙 f '
1
3
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = 0 dan f '(–3) = 0
sehingga untuk x =
1
3
diperoleh
f 1
3
1
3
4
1
3
3
3 2 􀂤 􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
1
3
2 1
13
27
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋􀀝
untuk x = –3 diperoleh f(–3) = (–3)3 + 4 (3)2 – 3.3 + 2 = 2
Jadi, nilai stasioner f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2 adalah f
1
3
1
13
27
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
dan f(–3) = 2.
Titik
1
3
1
13
27
,
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner.
Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval f '(x) di
samping.
Untuk mengetahui nilai f '(x) pada selang x < –3, –3 < x <
1
3
, dan
x >
1
3
, substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut pada
f '(x) sehingga diperoleh
• untuk x = –4, f '(–4) = 13 > 0 sehingga f(x) naik untuk
x < –3;
• untuk x = 0, f '(0) = –3 < 0 sehingga f(x) turun untuk interval
–3 < x < 1
3
;
• untuk x = 1, f '(1) = 8 > 0 sehingga f(x) naik untuk x >
1
3
.
Jadi, nilai f '(x) dapat digambarkan pada selang interval di
samping.
Dari gambar untuk selang interval tersebut
• titik (–3, 2) adalah titik maksimum,
• titik
1
3
1
13
27
,
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂴
􀂵 􀂵 􀂵 adalah titik minimum.
f '(x) > 0 f '(x) < 0 f '(x) > 0
–3 1
3
(3, 2)
f '(x)
1
3
1
13
27
,
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
f '(x)
–3 1
3
230 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Menentukan Nilai Stasioner Suatu
Fungsi
Anda telah mempelajari cara menentukan nilai stasioner
dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, fungsi f(x) = x3
– 3x2 dengan f '(x) = 3x2 – 6x. Untuk f '(x) = 0 diperoleh titiktitik
stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titik
balik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balik
minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilai
stasioner suatu fungsi dan penerapannya menggunakan turunan
kedua.
Dengan menggunakan turunan kedua jenis titik stasioner
dapat ditentukan sebagai berikut.
• Jika f "(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x)
dan titik (c, f(c)) adalah titik balik maksimum lokal grafik
fungsi f(x).
• Jika f "(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x)
dan titik (c, f(c)) adalah titik balik minimum lokal grafik
fungsi f(x).
• Jika f "(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenis
nilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan
pertama.
Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 dan f(x)
= x4 – 4x3 dengan menggunakan uji turunan kedua.
Jawab:
• Untuk fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f '(x) = 3x2 – 12x + 9 = 3(x – 1) (x – 3)
f "(x) = 6x – 12
Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu
3(x – 1) (x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3
untuk x = 1, f "(1) = –6 < 0, sedangkan
untuk x = 3, f "(3) = 6 > 0 sehingga
f(1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x), yaitu f(1) = 5
f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = 1
• Untuk fungsi f(x) = x4 – 4x3
f '(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x – 3)
f "(x) = 12x2 – 24x
Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3
untuk x = 0, f "(0) = 0 dan
untuk x = 3, f "(3) = 36 > 0 sehingga
Contoh 8.32
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 231
Tes Kompetensi Subbab G
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan nilai stasioner, titik stasioner, dan
jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut.
a. f (x) =
1
3
x3 + x2 – 3x
b. f (x) = x3 + 5
2
x2 – 2x
c. f (x) = x3 + 1
2
x2 – 2x + 1
d. f (x) = x3 (1 – x)
e. f (x) = 3x4 + 4x3
f. f (x) = (x² – 3x – 4)2
2. Tentukan nilai p jika fungsi-fungsi berikut
mencapai stasioner untuk nilai x yang
diberikan.
a. f (x) = x2 – px + 4, x = 2
b. f (x) = px2 + 4x – 21,x = -2
c. f (x) = p (x – 2)2 –1, x = 2
d. f (x) = x3 – px, x = 1
e. f (x) = px3 – 3x + 1, x = –1
f. f (x) = 2x3 – px2 – 12x, x = –1
g. f (x) = px4 – 4x3 + 2, x = 1
h. f (x) = 2
1
2
2
x
􀀋 x
, x = 0
3. Tentukan f '(x) serta nilai stasioner dan
jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut jika
0 ≤ x ≤ 2π.
a. f (x) = 2sinx – x
b. f (x) =
x􀀋cos x
2
c. f (x) = sin x – cos x
d. f (x) = cos 2x
e. f (x) = 2 sin 2x
f. f (x) = x – 2 cos 2x
4. Tentukan nilai maksimum dan minimum
lokal fungsi-fungsi berikut, menggunakan
uji turunan kedua.
Sekarang, amati diagram di samping.
Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas
pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke
bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f
cekung ke atas pada x > 2.
Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan
dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik
(0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2,
0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?
Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga cara
menentukan nilai stasioner suatu fungsi? Cobalah nyatakan
dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda
pelajari tersebut membawa kita pada definisi berikut.
Definisi 8.5
f cekung ke atas pada [a, b] jika f "(x) > 0 dan f cekung ke bawah
jika f "(x) < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok.
f '(x) < 0 f '(x) < 0 f '(x) > 0
0 2
f(x)
f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = –27.
Untuk x = 0 dengan f "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan
dengan uji turunan pertama.
232 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
H. Menggambar Grafik Fungsi
Aljabar
Di Kelas X, Anda telah mempelajari bagaimana
menggambar grafik fungsi y = ax2 + bx +c dengan langkahlangkah
sebagai berikut.
1. Menentukan titik potong grafik y = ax2 + bx +c dengan
sumbu-x.
2. Menentukan titik potong grafik y = ax2 + bx +c dengan
sumbu-y.
3. Menentukan koordinat titik balik fungsi.
4. Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi.
Langkah-langkah tersebut mudah dilakukan untuk
menggambar fungsi parabola y = ax2 + bx +c. Akan tetapi
untuk fungsi yang lebih kompleks, Anda tidak menggunakan
cara tersebut.
Sekarang, Anda akan mempelajari cara lain untuk
menggambar grafik fungsi, yaitu dengan menggunakan
turunan. Titik stasioner dan jenisnya adalah alat yang ampuh
untuk menggambar grafik fungsi tersebut khususnya untuk
mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri
grafik. Untuk memudahkan pengerjaan, berikut ini adalah
langkah-langkah yang harus dilakukan.
Langkah 1: Menganalisis f(x)
a. Menentukan daerah asal fungsi f(x).
b. Menentukan daerah nilai fungsi pada ujung interval
daerah asal.
a. f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
b. f (x) = x3 – 9x2 + 24x – 10
c. f (x) = 3x – x3
d. f (x) = 2x2 – x4
e. f (x) = x4 – 3x2 + 5
f. f (x) = 2x5 – 3
5. Sebuah perusahaan komputer mengadakan
penelitian pasar untuk produk barunya.
Mereka memperoleh suatu kesimpulan
bahwa hubungan antara harga h (juta per
unit) dan permintaan x (unit per minggu)
memenuhi persamaan
h = 1.296 – 0, 12x2, 0 < x < 80.
Dengan demikian, penghasilan pada akhir
minggu dapat ditentukan dengan pendekatan
rumus
R(x) = 1.296x – 0, 12x3.
Tentukan nilai maksimum dan minimum
lokal fungsi tersebut.
7. Misalkan, persamaan biaya produksi
perusahaan pada soal nomor 6 adalah
C(x) = 830 + 306x.
a. Tentukan persamaan yang menyatakan
keuntungan perusahaan tersebut.
b. Tentukan nilai maksimum dan minimum
lokal dari fungsi keuntungan
tadi.
Petunjuk: Keuntungan diperoleh dari pendapatan
dikurangi biaya produksi.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 233
Buatlah sketsa grafik fungsi f(x) = x3 + 3x2.
Jawab:
Langkah 1: Menganalisis f(x)
a. Fungsi f(x) = x3 + 3x2 terdefinisi untuk semua bilangan real.
Jadi, daerah asal f(x) adalah {x | x 􀂌 R}.
b. Daerah nilai f(x) = {f(x) | f(x) 􀂌 R}.
c. Titik potong dengan sumbu koordinat.
• Titik potong dengan sumbu-y.
Titik potong dengan sumbu-y diperoleh untuk x = 0
f(x) = x3 + 3x2
f(0) = 0
Fungsi f(x) memotong sumbu-y di y = 0.
• Titik potong dengan sumbu-x.
Titik potong dengan sumbu-x diperoleh untuk y = 0.
f(x) = x3 + 3x2
y = f(x)
x3 + 3x2 = 0
x2 (x + 3) = 0
x = 0 atau x = –3
Fungsi f(x) memotong sumbu-x di x = 0 atau x = –3.
Langkah 2: Menganalisis f '(x)
f(x) = x3 + 3x2
f '(x) = 3x2 + 6x
Contoh 8.33
c. Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
• Titik potong dengan sumbu-x (diperoleh untuk y = 0
atau f(x) = 0).
• Titik potong dengan sumbu-y (diperoleh untuk x = 0
atau f (0)).
Langkah 2: Menganalisis f '(x)
a. Menentukan titik stasioner.
b. Menentukan interval di mana fungsi naik atau turun.
c. Menentukan titik balik maksimum dan minimum lokal
(jika ada).
d. Menentukan titik belok fungsi.
Langkah 3: Membuat sketsa grafik
a. Menyajikan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 dan
2 pada bidang Cartesius.
b. Membuat sketsa grafik denganmenghubungkan titik-titik
tersebut.
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁏􀁐􀁕􀁂􀁔􀁊 􀀭􀁆􀁊􀁃􀁏􀁊􀁕􀁛
􀁴􀀁 􀁕􀁖􀁓􀁖􀁏􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁈􀁓􀁂􀁅􀁊􀁆􀁏
􀁴􀀁 􀁏􀁊􀁍􀁂􀁊 􀁔􀁕􀁂􀁔􀁊􀁐􀁏􀁆􀁓
234 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
a. Titik stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0.
f '(x) = 0 􀂙 3x2 + 6x = 0
􀂙3x (x + 2) = 0 􀂙x = 0 atau x = –2
Titik stasioner diperoleh dengan menyubstitusikan x = 0
dan x = –2 pada fungsi f(x) = x3 + 3x2 sehingga diperoleh
f(0) = 0 dan f(–2) = 4
Jadi, (0, 0) dan (–2,4) adalah titik-titik stasioner.
b. Interval fungsi naik diperoleh jika f '(x) > 0 dan interval
fungsi turun diperoleh jika f '(x) < 0. Interval-interval
tersebut diperoleh dengan menentukan nilai-nilai x yang
disubstitusikan pada fungsi f ‘(x). Substitusikan x = –3 untuk
x < –2, x = –1 untuk –2 < x < 0 dan x = 1 untuk x > 0
pada fungsi
f '(x) = 3x2 + 6x sehingga diperoleh
f '(–3) = 9 > 0, f '(–1) = –3
f '(1) = 9 > 0
yang dapat digambarkan sebagai diagram di samping.
f '(x) f '(–3) = 9 f '(–1) = –3 f '(1) = 9
Dari diagram tanda tersebut diperoleh interval berikut.
• Interval fungsi naik pada x < –2 dan x > 0.
• Interval fungsi turun pada –2 < x < 0.
c. Titik balik maksimum dan minimum lokal dapat ditentukan
dari diagram tanda.
• Pada x = –2, f(x) berubah dari fungsi naik menjadi
fungsi turun sehingga x = –2 adalah titik balik
maksimum lokal.
f(x) = x3 + 3x2 􀂙 f(–2) = 4
Titik (–2, 4) adalah titik balik maksimum lokal.
• Pada x = 0, f(x) berubah dari fungsi turun menjadi
fungsi naik sehingga x = 0 adalah titik balik minimum
lokal f(x) = x3 + 3x2􀂙f(0) = 0
Titik (0, 0) adalah titik balik minimum lokal.
Langkah 3: Membuat sketsa grafik
Hasil sketsa grafik tampak pada Gambar 8.17.
positif negatif positif
–2 0
f(x)
Gambar 8.17
titik balik
maksimum lokal
titik balik
minimum lokal
turun
naik
1 2 3 x
–1
–2 –1
–2
–3
y
4
3
2
1
0
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 235
Tes Kompetensi Subbab H
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut.
1. f(x) = x3 – x2 – 14x + 11
2. f(x) = x3 – 6x2 9x + 1
3. f (x) = x5 – x4 + 14x3 + 6x2 – 45x – 3
• Beberapa turunan fungsi aljabar
a. f (x) = k; k adalah konstanta fi f ' (x) = 0
b. f (x) = x fi f ' (x) = 1
c. f (x) = xn; n OE R fi f ' (x) = n · xn – 1
• Beberapa turunan fungsi trigonometri
a. f (x) = sin x fi f ' (x) = cos x
b. f (x) = cos x fi f ' (x) = –sin x
c. f (x) = tan x fi f ' (x) = sec2x
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman diatas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 8,
1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telah
dipahamai,
2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di buku
latihan Anda.
Refleksi
236 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 8
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika f(x) = 5
1
x
􀀋 x
maka f '(2) = ....
a.
1
4
d.
7
9
b.
5
6
e.
5
9
c.
1
2
2. Diketahuif(x)=
sin
sin cos
x
x􀀋x
. Nilai f
1
12
􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
adalah ....
a.
1
3
d.
3
2
b.
2
3
e. 3
c. 1
3.
d
dx
x
x
x
3
2 1
􀀍
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = ....
a. 3x2 +
x2
2
􀀋1
􀀈x2 􀀍1􀀉
b. 3x2 –
x2
2
􀀍1
􀀈x2 􀀍1􀀉
c. x2 + 3 1
2
x 􀀋
􀀈x2 􀀍1􀀉
d. x2 – 3 1
2
x 􀀋
􀀈x2 􀀍1􀀉
e. 3x2 –
3 1
2
x 􀀋
􀀈x2 􀀍1􀀉
4. Titik balik maksimum kurva y =
1
3
x3 – 2x2
+ 3x adalah ....
a. (–3 , –36) d. (3 , –18)
b. (–1 , –5
1
3
) e. (3 , 0)
c. (1 , 1
1
3
)
5. Ditentukan f(x) = 2
1􀀍 x
dan f "(x) adalah
turunan kedua dari f(x). Nilai dari f "(–2)
adalah ....
a.
3
25
d.
4
27
b.
5
29
e.
6
27
c.
6
29
6. Turunan pertama f(x) = (2x – 1) cos (3x + 1)
adalah ....
a. (2x – 1) sin (3x + 1) + 2cos (3x + 1)
b. (2x – 1) cos (3x + 1) – 2 sin (3x + 1)
c. 2 sin(3x + 1) + 2(6x – 3) cos (3x + 1)
d. 2 cos (3x + 1) + (2x – 1) sin (3x + 1)
e. 2 cos(3x + 1) – (6x – 3) sin (3x + 1)
7. Turunan pertama fungsi f(x) = cos5 (4x – 2)
adalah ....
a. 5 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2)
b. –5 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2)
c. – 20 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2)
d. 10 cos3 (4x – 2) sin (8x – 2)
e. –10 cos3 (4x – 2) sin (8x – 2)
8. Pada daerah asal 0 < x < 2, grafik fungsi
y = x3 – 2x2 + 1 bersifat ....
a. selalu naik
b. selalu turun
c. naik, lalu turun
d. turun, lalu naik
e. turun naik berulang-ulang
9. Luas semua sisi balok 96 cm2. Jika alasnya
berbentuk persegi, paling besar balok itu
dapat dibuat dengan volume ... cm3.
a. 0
b. 54
c. 64
d. 64 2
e. 80
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 237
10. Diketahui luas lingkaran merupakan fungsi
dari kelilingnya. Jika keliling sebuah
lingkaran adalah x, laju perubahan luas
lingkaran terhadap kelilingnya adalah ....
a. πx d.
x
􀁐
b. 2πx e.
2x
􀁐
c. x
2􀁐
11. Turunan pertama fungsi f(x) = cos3 (5 – 4x)
adalah ....
a. –12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x)
b. 12 cos (5 – 4x) sin (5 – 4x)
c. 12 sin2 (5 – 4x) sin (5 – 4x)
d. –6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
e. 6 cos (5 – 4x) sin (10 – 8x)
12. Nilai maksimum dari f(x) = x3 – 6x2 + 9x
pada interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah ....
a. 16 d. 1
b. 4 e. 0
c. 3
13. f(x) = x3 – 4x2 + 4x + 6 naik pada interval ....
a. –2 < x < – 2
3
b. 2
3
< x < 2
c. x < –2 atau x > 2
3
d. x < 2
3
atau x > 2
e. x < – 2
3
atau x > 2
14. Nilai maksimum dari f(x) = 2x3 – 6x2 – 48x
dalam interval –3 < x < 4 adalah ....
a. –160 d. –99
b. –155 e. –11
c. –131
15. Turunan pertama dari f(x) =
􀀈x􀀋 􀀉
􀀈 􀀍 x􀀉
3
2 ,
untuk x = –3 adalah ....
a. 0,000024 d. 0,024
b. 0,00024 e. 0,24
c. 0,0024
16. Turunan dari y = (1 – x)2 (2x + 3) adalah ....
a. (1 – x) (3x + 2)
b. (x – 1) (3x + 2)
c. 2(1 + x) (3x + 2)
d. 2(x – 1) (3x + 2)
e. 2(1 – x) (3x + 2)
17. f(x) =
1
3
x3 – 3x2 + 5x – 10 turun dalam
interval ....
a. –5 < x < – 1
b. x < – 1
c. x < 1
d. 1 < x < 5
e. x < 1 atau x > 5
18. Kurva y = x3 – 6x2 + 9x + 1 turun pada
interval ....
a. x ≤ 1 atau x ≤ 3
b. –2 ≤ x ≤ 1 atau 3 ≤ x ≤ 6
c. 1 < x < 3
d. 1 ≤ x ≤ 3
e. –1 ≤ x ≤ 1
19. Nilai minimum relatif
f(x) = 1
3
x3 – x2 – 3x + 4 adalah ....
a. –5
b. –2
2
3
c. –
1
3
d.
1
3
e. 4
20. Jika f(x) = sin cos
sin
x x
x
􀀋 dan sin x ≠ 0 maka
f '
􀁐
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = ....
a. –2
b. –1
c. 0
d. 1
e. 2
238 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Gunakan konsep limit untuk menentukan
turunan fungsi-fungsi berikut.
a. f(x) = sin 2x
b. f(x) = cos (1–3x)
c. f(x) = tan x
d. f(x) = 2x4 – 7
e. f(x) = 5x3 – 5x
f. f(x) = 2 x – 2x
2. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke
atas dengan kecepatan awal 10 m/detik.
Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi
persamaan h(t) = 60t – 7t² dengan
h(t) adalah tinggi peluru yang diukur
dalam meter.
a. Tentukan kecepatan peluru pada saat
3,5 detik.
b. Kapan peluru berhenti?
3. Diketahui f(x) = x x
x
x
x
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1 1 􀂴
􀂴􀂤 􀂤
.
Buktikan bahwa f ‘(x) =
5 3
2
4
5
x
x
􀀋
.
4. Tentukan interval yang membuat fungsifungsi
berikut merupakan fungsi naik atau
fungsi turun.
a. f(x) = 5 + 8x – 2x2
b. f(x) = 2x2 – 8x + 9
c. f(x) = 9 + 3x – 4x2
d. f(x) = x3 – 18x2 + 10x – 11
e. f(x) = 10 – 12x + 6x2 – x3
f. f(x) = x4 – 24x2 + 10x – 5
5. Sebuah kotak tanpa tutup, alasnya
berbentuk persegi dengan sisi x cm,
volumenya 32 cm3. Jika kotak tersebut
terbuat dari karton,
a. tunjukkan bahwa luas karton yang
diperlukan untuk membuat kotak itu
L(x) = x2 +
128
x
;
b. tentukan ukuran kotak agar karton yang
digunakan sesedikit mungkin.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 239
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika f(x) = sin x maka f –1 􀁐
4
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = ....
a. 52 d. 0,71
b. 41 e. 0,5
c. 0,90
2. Jika f (x) = 4x – 5 dan g(x) = 3x
maka f (g(2)) = ....
a. 27 d. 31
b. 9 e. 33
c. 3
3. Jika p(x) = 4x – 6 dan p(a) = 0 maka a = ....
a. –6 d.
2
3
b. 2 e. –
3
2
c.
3
2
4. Jika g(x) = x
x
2
2x􀀋1
maka g(p3) = ....
a.
p
p
6
2 p3 􀀋1
d.
2
2 1
6
3
p
p 􀀋
b.
p
p
6
3 􀀋2 e.
p
p
3
2 p6 􀀋1
c. 2
1
6
3
p
p 􀀋
5. Jika g(x) = 3x + 2 dan g(f(x)) = x maka
f(2) = ....
a. 2 d. 8
b. 6 e. 1
c. 0
6. Jika f (x) = 2x2– x maka
f(2x –1) – 4 f(x) + f(x) = ....
a. –2x d. 2x² + 7x – 3
b. 2x² – 7x + 3 e. 2x² + 7x + 3
c. 2x² + 3
7. Jika h(x) = f (g(x)), f (x) = 4 – x dan
g(x) = 2x + 1 maka h-1(x) = ....
a.
3
2
􀀋 x d.
2
2
􀀋 x
b.
x 􀀍 3
2
e.
x 􀀋 2
2
c.
3
2
􀀍 x
8. Invers dari y = 2log x adalah ....
a. y = x2 d. y = 2x
b. y = 2x e. 2x+1
c. y = kx
9. Diketahui f(x) = x + 1 dan (f o g) (x) = 3x2 + 4
maka nilai g(4) = ....
a. 15 d. 52
b. 16 e. 57
c. 51
10. Jika y = f(x) =
1
2
x + 3, z =
1
3
y + 2
w = f (z) =
1
4
z + 1 maka fungsi komposisi
dari x ke w adalah ....
a. 1
24
(x +42) d. 1
24
(4x +18)
b. 1
24
(2x + 7) e.
1
12
(6x + 18)
c. 1
24
(3x = 21)
11. lim
x
x
􀁬 x
􀀍 x􀀋
2 􀀍
3x2 11x10
2
= ....
a. –2 d. 2
b. –1 e. 3
c. 1
12. lim
x
x x
􀁬 x
􀀍
3 􀀍
2
2
6
9
= ....
a. 2 5
6
d.
1
6
b. 1 5
6
e. – 5
6
c. 5
6
Tes Kompetensi Semester 2
240 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
13. Jika lim
x􀁬3 f (x) = 2 dan lim
x􀁬3 g(x) = –4
maka lim
x
f
􀁬 g
􀀈x􀀉􀀋
3 􀀈x􀀉
2 5
3
= ....
a. – 3
4
d. 3
4
b. –
1
2
e.
1
2
c.
1
4
14. Diketahui f (x) =
4 3
5
x x
x
􀂪􀂫 􀂭
􀂪
􀂭 􀂫
􀂭
􀂬 􀂭
􀂫􀂭
􀂬􀂬 􀂭
jika ≠ 3
jika = 3
maka
nilai lim
x􀁬3
g(x) = ....
a. 5 d. 15
b. 9 e. 18
c. 12
15. lim
cos
x
x
􀁬 x
􀀍
0
1
= ....
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
16. lim
sin i
x
x s x
􀁬0 x
3 sin 2 = ....
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
17. Jika f (x) = x
ax b
2
2 􀀋
maka f '(–1) = ....
a.
2b
a􀀋b
d. – 2b
a􀀋b
b.
2
2
b
􀀈a􀀋b􀀉
e. –
2
2
b
􀀈a􀀋b􀀉
c. –
a b
b
􀀋
2
18. Jarak suatu titik dari suatu posisi P untuk
setiap waktu t dirumuskan s(t) = A sin t,
A > 0. Kecepatan terbesar diperoleh pada
waktu t = ....
a. 2k π, k = 0, 1, 2,...
b. 2k π, k = 1, 3, 5,...
c. 2k π, k = 0, 2, 4,...
d. k π, k =
1
2
,
5
2
,
9
2
, ...
e. k π, k =
3
2
,
7
2
,
11
2
, ...
19. Jika f (x) = x
x
2
2 􀀍4
maka f '(1) = ....
a. –
8
9
d.
8
9
b. – 5
9
e. 1 5
9
c. 5
9
20. Nilai maksimum dari f(x) = x3– 6x2+ 9x pada
interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah ....
a. 16 d. 1
b. 4 e. 0
c. 3
21. Jika f (x) = x
x
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍 1 3
maka
df
dx
= ....
a. 􀀍 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 3 􀂵
1
1
1 4
2 x
x􀂶 􀂦 x
b. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴 􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
3
1
1
1 4
x􀂶 􀂦 x2
c. 􀀍 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂵 􀂵 􀂵􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
3
1
1
1 4
2 x
x􀂶 􀂦 x
d. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤􀂤􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
3
1
1
1 4
x􀂶 􀂦 x2
e. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂤􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
3
1
1
1 4
x􀂶 􀂦 x2
22. Turunan pertama fungsi f (x) = cos² (5 – 4x)
adalah ....
a. –12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x)
b. 8 cos (5 – 4x) sin (5 – 4x)
c. 12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x)
d. – 6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
e. 6 cos (5 – 4x) sin (10 – 8x)
23. Jika f (x) = x
x
2 􀀋 4 maka f ‘(4) = ....
a. 1
4
b. 3
4
Tes Kompetensi Semester 2 241
c. 9
4
d.
11
4
e. 15
4
24. Nilai maksimum dari
f (x) = 2
3
x2 – 2x2– 6x + 5
dalam interval –2 ≤ x ≤ 4 adalah ....
a. 13 d. 6
b. 12 e. 5
c. 8
25. Jika f (x) = x
x
2
2
3 10
9
􀀋 3x􀀍
􀀋
maka f '(x) = ....
a.
􀀍 􀀋 􀀋
􀀈 􀀋 􀀉
3 2 38 27
2
􀀋􀀋 38x
b.
3 2 38 27
2
x 􀀋 38x􀀋
􀀈x2 􀀋9􀀉
c.
􀀍 􀀋
􀀈 􀀋 􀀉
3 2 38 􀀍27
2
􀀋􀀋 38x
d.
􀀍
􀀈 􀀋 􀀉
3 2 38 􀀍27
2
x 􀀍38x
e.
􀀍 􀀋
􀀈 􀀋 􀀉
3 2 38 27
2
x 􀀍38x
26. Jika f (x) =
1
2
sin2 maka f '(x) = ....
a. sin x + cos x
b. sin x – cos x
c. sin
cos
x
x
d. sin x cos x
e. sin x (1 – cos x)
27. Jika f (x) = (2 – 4x)5 adalah f '(x) = ....
a. 20(2 – 4x)4
b. 20(2 – 4x)6
c. 1
6
(2 – 4x)4
d. – (2 – 4x)4
e. –20(2 – 4x)4
28. Jika f (x) = – cos x + sin x maka df
dx
= ....
a. sin x + cos x
b. sin x – cos x
c. sin
cos
x
x
d. x2 sin x
e. x sin x2
29. Turunan pertama dari f (x) = 5 sin x cos x
adalah ....
a. 5sin 2x
b. 5cos 2x
c. 5sin2 x cos x
d. 5sin x cos2 x
e. 5sin 2x cos x
30. Fungsi f yang dirumuskan dengan
f(x) = 5 + 3x + 4x2 turun pada interval ....
a. –
1
3
< x < 3
b. –3 < x <
1
3
c. x < –3 atau x >
1
3
d. x < –
1
3
atau x > 3
e. x <
1
3
atau x > 3
31. Jika f (x) = –
1
2
cos x2 maka f '(x) = ....
a. x sin x d. x2 sin x2
b. x2 sin x e. sin x2
c. x sin x2
32. Suku banyak f (x) = x3 – 2x2 + px + 6
habis dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan
(x + 3)(x + 1), sisanya adalah ....
a. 16x + 24 d. 24x – 16
b. 16x – 24 e. –24x + 16
c. 24x + 16
33. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 1)
sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh (x –2)
sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak P(x)
oleh (x2 – 3x + 2) adalah ....
a. 12x + 23 d. 23x – 12
b. 12x – 23 e. –23x + 12
c. 23x + 12
242 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Diketahui g(x) = x
x
􀀍
􀀍
1
3
dan [(f ° g)]–1 =
5 3
3
􀀋
􀀋
x
x
. Tentukan nilai:
a. f(0)
b. f(5)
c. f(–2)
2. Tentukan hasil bagi dan sisa suku banyak
3x3 + 10 x2 – 8x + 3 dibagi x2 + 3x – 1.
3. Tentukan jenis nilai stasioner fungsifungsi
berikut, menggunakan uji turunan
kedua.
a. f (x) = 2x2 – 8x + 6
b. f (x) = 2x3 – 3x2 + 12x – 5
c. f (x) = x3 – 18x2 + 10x – 11
d. f (x) = x4 – 8x2 + 10
e. f (x) = x4 – 24x2 + 10x – 5
f. f (x) = 7 + 3x + 4x3 – x4
4. Misalkan, s = f(t) = 24t2 + 4t merupakan
persamaan posisi mobil. Kecepatan mobil
pada saat t = 1 jam dapat diperoleh dari
limit kecepatan rata-rata dalam selang t = 1
sampai t = 1 + Δt, dengan mengambil
Δt􀁬 0. Pernyataan ini dapat ditulis sebagai
berikut.
V
s
t
f t f
t 􀀈t􀀝 􀀉 􀀤t􀁬 􀀤t􀁬
􀀝
􀀤
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋􀀤 􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀤 1 0 0
1 1
lim lim
Tentukan kecepatan mobil pada saat t = 1.
5. Dengan menggunakan konsep limit,
tentukan gradien singgung pada kurva
berikut.
a. f(x) = 5x2 di titik x = –2
b. f(x) = x2 + x – 5 di titik x = –1
c. f(x) =
1
x2
di titik x = –2
d. f(x) = x 􀀋 x di titik x = 4
6. Hitunglah lim
h
f x h f x
􀁬 h
􀀈 􀀋 􀀉􀀍 􀀈 􀀉
0
untuk
fungsi berikut.
a. f(x) = 2cos( x – π)
b. f(x) = –cos x – π
c. f(x) = 2tan 3 x
7. Buatlah sketsa grafik fungsi berikut
f(x) = x4 – 3x3 – 9x2 + 23x + 8
Tes Kompetensi Akhir Tahun 243
1. Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang
muncul mata dadu bilangan prima atau mata
dadu bilangan 4 adalah ....
a.
1
12
d.
2
3
b.
1
3
e. 2
c. 1
2
2. Jika titik (–5, k) terletak pada lingkaran
x2 + y2 + 2x – 5y –21 = 0, maka nilai k
adalah ....
a. –1 atau –2 d. 0 atau 3
b. 2 atau 4 e. 1 atau –6
c. –1 atau 6
3. Agar garis y = x + C menyinggung lingkaran
x2+ y2 = 25, maka nilai C adalah ....
a. ± 1 d. ±5 2
b. ±2 2 e. ±6 2
c. ±3 2
4. Titik pusat lingkaran x2 + y2 – ax + by + 9 = 0
terletak pada garis 2x + 3y = 0 di kuadran
keempat. Jika jari-jari lingkaran itu sama
dengan 1 maka nilai a dan b berturut-turut
adalah ....
a. –6 dan 4 d. 3 dan –2
b. 6 dan 4 e. –3 dan 2
c. 6 dan –4
5. Salah satu koordinat fokus
5x2 + 4y2 – 20x + 8y + 4 = 0 adalah ....
a. (1, –1) d. (2, –2)
b. (2, –1) e. (–2, 1)
c. (3, –1)
6. Persamaan lingkaran yang menyinggung
x – 2y + 2 = 0 dan 2x – y – 17 = 0 serta
melalui titik (6, –1) adalah ....
a. x y
􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵􀂶
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
58
9
13
9
500
81
2 2 Tes Kompetensi Akhir Tahun
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
b. x y
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵􀂶
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
54
9
15
9
482
81
2 2 c. x y
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵􀂶
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
50
9
12
9
400
81
2 2 d. x y
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵􀂶
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
48
9
11
9
386
81
2 2 e. x y
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂤􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵􀂶
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
47
9
10
9
348
81
2 2 7. Persamaan garis singgung yang melalui titik
(5, 1) pada lingkaran x2 +y2 – 4 x+ 6y – 12 = 0
adalah ....
a. 3x + 4y – 19 = 0
b. 3x – 4y – 19 = 0
c. 4x – 3y + 19 = 0
d. x + 7y – 26 = 0
e. x – 7y – 26 = 0
8. Lingkaran x2 + y2 – 2 px + 6y + 49 = 0
menyinggung sumbu–x untuk a ....
a. 10 d. 1
b. 7 e. –2
c. 4
9. (x–5)2 + y2 = 9 bersinggungan dengan
lingkaran ....
a. x2 + y2 = 1 d. x2 + y2 = 4
b. x2 + y2 = 2 e. x2 + y2 = 5
c. x2 + y2 = 3
10. Lingkaran x2 + y2 = 36 berpotongan di dua
titik yang berbeda dalam garis ....
a. x = 4 d. x = 10
b. x = 6 e. x= 12
c. x = 8
11. Suku banyak f (x) = x3 – 2x2 + px + 6 habis
dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan (x + 3)
(x + 1) sisanya adalah ....
a. 16x + 24 d. 24x – 16
b. 16x – 24 e. –24x + 16
c. 24x + 16
244 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
12. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 1)
sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh
(x –2) sisanya 1. Sisa pembagian suku
banyak P(x) oleh (x2 – 3x + 2) adalah ....
a. 12x + 23 d. 23x – 12
b. 12x – 23 e. –23x + 12
c. 23x + 12
13. Sisa bagi dari (4x4 + 3x3 – x + 4) : (x2 + x –2)
adalah ....
a. 12x + 22 d. –12x – 22
b. 12x – 22 e. 22x – 12
c. –12x + 22
14. Diketahui suku banyak
f(x) = x3 + ax2 + bx – 6.
Jika suku banyak ini habis dibagi oleh
(x – 3) dan (x – 2) maka sisa pembagian
f(x) oleh x2 + 5x + 6 adalah ....
a. 60(x + 1) d. –60(x – 1)
b. –60(x + 1) e. 60(1 – x)
c. 60(x – 1)
15. Diketahui P(x) = x3 + 3x2 + px + q. Jika P(x)
dibagi (x2 + 2x – 3) sisanya 7x +3 maka
nilai p dan q berturut-turut adalah ....
a. 3 dan 2 d. –6 dan 0
b. –3 dan 2 e. 6 dan 0
c. –2 dan 3
16. Sebuah suku banyak berderajat n berbentuk
Pn(x)=anxn+an–1xn–1+...+a1x + a0,
dengan an ≠ 0, dan n bilangan positif dan
n ≠ 0. P3(x) – P4(x) adalah suku banyak
berderajat ....
a. –1 d. 4
b. 1 e. 7
c. 3
17. Salah satu faktor dari 2x3 – 5x2 – px + 3
adalah (x + 1). Faktor linear yang lain dari
suku banyak tersebut adalah ....
a. x – 2 dan x – 3
b. x + 2 dan 2x – 1
c. x + 3 dan x + 2
d. 2x + 1dan x – 2
e. 2x – 1dan x – 3
18. Persamaan 2x3 + px2 + 7x + 6 = 0
mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar
persamaan itu adalah ....
a. –9 d. 4
1
2
b. 2 1
2
e. 9
c. 3
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Pada tes calon pramugari, tercatat hasil tes
bahasa Inggris sebagai berikut.
Frekuensi 7 9 12 5 3 3 2
Nilai 50 55 60 65 70 75 80
Seorang peserta dinyatakan lulus jika
nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rataan
hitung dikurangi 0,6. Berapa peserta yang
dinyatakan lulus?
2. Ada 4 buah kartu as, kemudian diambil
dua buah kartu. Berapa macam yang dapat
dipilih jika:
a. kartu yang pertama terambil tidak
disimpan lagi;
b. kartu yang pertama terambil disimpan
lagi.
3. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel,
tentukanlah nilai dari
a. sin 165° d. cos 285°
b. sin 255° e. tan 375°
c. cos 195° f. tan 405°
4. Tentukan persamaan lingkaran yang
melalui titik berikut.
a. (0,3), (0,7), dan (2,7)
b. (–2,–1), (7,2), dan (–1,–4)
c. (–6,–5), (12,7), dan (–5,–10)
d. (4,3), dan (–1,8), dan (2,7)
5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8.
Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar
jumlah kuadratnya minimum.
Tes Kompetensi Akhir Tahun 245
DaftarPustaka
Anton, Howard. 2004. Aljabar Linier Elementer. Edisi kedelapan. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Barnett A. Raymond, Ziegler R. Michael. 2008.Applied Calculus for Business, Economics, Life Sciences,
and Social Sciences. Eleven Edition. New Jersey: Prentice Hall.
Bridgman, Roger. 2000. Jendela IPTEK, Elektronika. Jakarta: Balai Pustaka.
Dodge, Howard P. 2008. Barron’s How to Prepare for SAT II: Mathematics Level IIc. Edisi Kedelapan.
New York: Barron’s Educational Series.
Gribbin, Mary, dan John Gribbin. 2000. Jendela IPTEK, Ruang dan Waktu. Jakarta: Balai Pustaka.
Negoro, ST dan B. Harahap. 2006. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia.
O ‘Brien, Paul. 1995. Understanding Year 11 Maths. First Edition. Turramura NSW.
Parker, Steve. 1997. Jendela IPTEK, Listrik. Jakarta: Balai Pustaka.
Peng Yee, L., et all. 2003. New Syllabus Mathematics. Singapura: Shing Lee.
Purcell, E. J, Varberg, D. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I dan II. Edisi Kedelapan. Jakarta:
Erlangga.
Rawuh, R, Hong, G. K, dan Tat, T. B. 1975. Ilmu Ukur Ruang Teori dan Soal-Soal Jilid I. Bandung:
Terate.
Ruseffendi, E. T. 1989. Dasar-Dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Edisi Keempat.
Bandung: Tarsito.
Sullivan, M. 2007. Precalculus. Edisi Kedelapan. Chicago: Prentice Hall.
——–. 1982. The Official Guide to GMAT. USA: Educational Testing Service Princeton.
Tim Redaksi Oxford Ensiklopedia Pelajar. 1995. Oxford Ensiklopedia Pelajar, Listrik – Origami, Jilid 5.
Jakarta: Widyadara.
Washington, A. J. 2004. Basic Technical Mathematics with Calculus. Edisi Kedelapan. California:
Addison Wesley Publishing Company.
246 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Daftar Simbol
• n! :n faktorial
• P(n, k) :permutasi k unsur dari n unsur
• C(n, k) :kombinasi k unsur dari n unsur
• P(A) :peluang peristiwa A
• fH :frekuensi harapan
• Ac :komplemen dari kejadian A
• OE :elemen atau anggota
• f :fungsi
• Df :domain fungsi
• Rf :range fungsi
• Δ :himpunan kosong
• f –1 :invers dari f
• m :gradien
• x :rata-rata
• S :jumlah total
• » :gabungan
• « :irisan
• Dx :perubahan x
• x :nilai mutlak x

dx
dy
:turunan pertama x terhadap y

d x
dy
2
2 :turunan kedua x terhadap y
• lim
xÆa
:limit x menuju a
• sin :sinus
• cos :kosinus
• tan :tangen
Tes Kompetensi Akhir Tahun 247
Indeks
A
antarkuartil 7, 8, 9, 8, 9, 10, 21, 22, 40, 247
B
baku 31, 32, 33, 34, 35, 39, 40, 34, 31, 98,
103, 115, 116, 247
bijektif 150, 247
D
data 1, 247, 248, 249
desil 2, 24, 28, 29, 248
diagram 11, 12, 15, 231, 234, 247
F
faktorial 44, 45, 56, 69, 246, 247
fungsi 227, 228, 230, 231, 232, 233, 234,
235, 236, 237, 238, 239, 240, 242,
246, 247, 248
fungsi Invers 119, 145, 154, 155, 157
fungsi Komposisi 119, 156, 239
G
garis 14, 20, 19, 14, 13, 95, 96, 98, 102, 99,
102, 103, 104, 105, 106, 109, 105,
106, 107, 108, 107, 108, 109, 110, 111,
112, 113, 114, 95, 111, 127, 147, 162,
185, 194, 195, 197, 195, 196, 197,
201, 213, 214, 215, 214, 216, 243,
247, 248, 249, 243
H
histogram 18, 20, 17, 38, 247
I
injektif 149, 150, 248, 151, 152, 165, 248,
247
invers 119, 145, 146, 145, 160, 161, 162,
246, 162, 161, 162, 163, 164, 165,
169, 165, 246, 247
J
jangkauan 7, 8, 9, 8, 9, 10, 21, 37, 38, 40,
247
K
kejadian majemuk 41, 64, 69, 247
kombinasi 41, 2, 5, 53, 55, 54, 52, 246, 56,
41, 72, 69, 246, 247
komplemen 42, 64, 145, 246, 247, 248
komposisi 239, 247
kuartil 2, 247
L
langkah 13, 14, 15, 16, 23, 184, 186, 189,
192, 188, 171, 179, 187, 193, 220,
226, 232, 233, 234
limit fungsi 181, 182, 178, 176, 178, 183,
247
M
mean 2, 21, 22, 36, 38, 34, 118, 247
median 4, 24, 35, 36, 37, 38, 250
modus 24, 38, 247
N
naik 229, 233, 234, 236, 237, 238, 247
nilai stasioner 247, 228, 229, 230, 231, 242,
250
notasi Leibnitz 247
P
pagar dalam 247
pagar luar 247
peluang 63, 246, 247
pencilan 247
permutasi 246, 247
permutasi siklis 247
persamaan garis singgung kurva 247
R
rata-rata 242, 246, 247
relasi 247
ruang sampel 247
S
simpangan 247
statistik lima serangkai 247
surjektif 247, 248
T
tabel distribusi frekuensi 19, 247
teorema limit 247
titik belok 228, 231, 233, 247
turun 229, 233, 234, 236, 237, 238, 241, 247,
234
turunan 227, 230, 231, 232, 235, 236, 238,
242, 246, 247, 248
turunan fungsi 235, 238, 247
turunan kedua 227, 230, 231, 236, 242, 246,
247, 227
248 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
A
Algoritma: prosedur matematika untuk
memecahkan masalah matematis di
langkah-langkah terbatas • 119
Aljabar:cabang matematika yang menggunakan
benda-benda dan huruf-huruf untuk
menggambarkan atau mewakili angkaangka
• 152
Analisis: penyelidikan terhadap suatu kejadian
untuk mengetahui keadaan yang sebenarnya
• 242
Aturan Sturgess: aturan yang menjelaskan cara
membagi data berukuran besar ke dalam
kelas-kelas tertentu • 15
B
Binomial Newton:persamaan yang menggambarkan
penjabaran bentuk aljabar dua
suku yang dipangkatnya • 54
Bijektif: perpetaan f dari himpunan A pada
himpunan B yang bersifat injektif dan
surjektif • 76
D
Data:kumpulan informasi atau fakta, baik berupa
angka maupun kategori • 1
Datum: informasi atau data tunggal • 3
Derajat: satuan ukuran sudut • 75
Desil:nilai yang membagidata menjadi 10 kelompok
sama banyak • 32
Diferensial: teknik numerik untuk memperkirakan
turunan f (x) dari suatu fungsi • 130
F
Faktorial: hasil kali bilangan asli secara berurutan
• 47
Frekuensi: jumlah (kekerapan) pemakaian
unsur • 17
Senarai
G
Gradien: kemiringan garis • 96
Grafik: lukisan pasang surut suatu keadaan
dengan garis atau gambar • 11
H
Horizontal: garis datar atau mendatar • 12
I
Imajiner: hanya terdapat di angan-angan
(tidak nyata) • 102
Invers: pembalikan posisi/arah • 145
K
Komplemen: sesuatu yang melengkapi atau
menyempurnakan • 68
Koefisien: bagian suku yang berupa bilangan
atau konstan yang biasanya dituliskan
sebelum lambang peubah • 33
Konstanta: lambang untuk menyatakan
objek yang sama dikeseluruhan operasi
matematika • 121
P
Polinom: suku banyak • 125
Populasi: keseluruhan objek yang hendak
diteliti • 20
R
Relatif: tidak mutlak (nisbi) • 15
S
Sampel: bagian dari populasi statistik yang
cirinya dipelajari untuk memperoleh
informasi tentang seluruhnya • 3
Senarai 249
Stasioner: tetap atau tidak berubah tentang
jumlah nilai dan sebagainya • 228
Statistik: hasil analisis dan pengolahan suatu
data • 1
Stokastik: mempunyai unsur peluang atau
kebolehjadian • 73
Sudut: bangun yang dibuat oleh dua garis yang
berpotongan di seluruh titik potongnya
itu • 75
Suku: bilangan yang menjadi bagian dari
jajaran bilangan • 119
T
Teorema: pernyataan yang harus dibuktikan
kebenarannya • 83
Tembereng: bagian dari lingkaran yang
terbatas sebagian dari keliling lingkaran
• 95
Trigonometri: ilmu ukur tentang sudut dan
sepadan segitiga • 75
U
Unsur: bagian terkecil dari suatu benda • 52
V
Variabel: faktor atau unsur ikut menentukan
perubahan • 121
Variansi: besaran yang menunjukkan besarnya
penyebaran data pada suatu kelompok
data • 36
Vertikal: membentuk garis tegak lurus • 12
250 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Kunci Jawaban
Bab 1 Statistika
Tes Kompetensi Bab 1
A. 1. a 5. d 9. a 13. a
3. e 7. b 11. a 15. b
B. 1. a. ukuran terkecil = 48
ukuran terbesar = 80
median = 65
Q1 = 50, Q3 = 75, J = 32,
Jk = 25
3. c. Triwulan ke I tahun1994
5. Anak tertua 42 tahun
Anak termuda 11 tahun
Bab 2 Peluang
Tes Kompetensi Bab 2
A. 1. b 5. e
3. a 7. b
B. 1. 720 cara
3. 170 cara
5. a.
6a0ra
189
b. 40
189
Bab 3 Trigonometri
Tes Kompetensi Bab 3
A. 1. d 9. c 17. a
3. b 11. c 19. c
5. e 13. a
7. c 15. e
B. 1. a. 􀀝 i 􀀋cos sin
􀁐
􀁑
􀁐
􀁑
4 4
􀀍 i 􀀋cos sin
􀁐
􀁑
􀁐
􀁑
4 4
= 2 cos 􀁐
􀁑
4
sin
= 􀀍2
1
2
2 sin􀁑
= 2 sin􀁑 􀁬 terbukti
3. tan 2x = 4 3
Bab 4 Lingkaran
Tes Kompetensi Bab 4
A. 1. c 9. c 17. c
3. c 11. b 19. a
5. e 13. e
7. c 15. d
B. 3. 4y – 3x + 25 = 0 atau
3y – 4x – 25 = 0
5. 85
Tes Kompetensi Semester 1
A. 1. c 11. d 21. b
3. c 13. b 23. e
5. c 15. d 25. e
7. a 17. b 27. e
9. a 19. d 29. d
B. 1. a. Mean = 5,3
Modus = 5
Median = 5
d. Mean = 3,92
Modus = 2,7 dan 4,8
Median = 3,7
3. 15
19
5. a. 3
Bab 5 Suku Banyak
Tes Kompetensi Bab 5
A. 1. e 9. c
3. e 11. a
5. e 13. c
7. c 15. e
B. 1. f(–2) = –7 fff
(–1) = –4 fff
(0) = –1 fff
(1) = 2 fff
f(2) = 5
3. a. 2x3 + x2 + 6x + 17,
sisanya 52
Bab 6 Fungsi Komposisi
dan Fungsi Invers
g
Tes Kompetensi Bab 6
A. 1. a 11. a 21. b
3. a 13. c 23. d
5. b 15. b 25. c
7. e 17. e 27. b
9. a 19. c 29. e
B. 1. a. n = 4 dan n = 5
c. n = 9
3. p = 22,9 dan q = –5,9
Bab 7 Limit
Tes Kompetensi Bab 7
A. 1. a 9. a
3. a 11. d
5. b 13. a
7. c 15. e
B. 1. a. 12 d. 1
c.
1
2
g. 18
5. a. 3
4
c. 1 e. 1
Bab 8 Turunan Fungsi dan
Aplikasinya g
Tes Kompetensi Bab 8
A. 1. e 9. c 17. d
3. a 11. d 19. a
5. d 13. d
7. c 15. d
B. 1. a. 2 cos 2x
b. 2
3
sin
cos
x
x
3. f–1(x) =
5 3
2
4
x5
􀀋
5. a. terbukti
b. x = 4 cm
Tes Kompetensi Semester 2
A. 1. d 11. c 21. d
3. c 13. a 23. a
5. c 15. e 25. e
7. c 17. a 27. d
9. b 19. b 29. c
B. 1. a. f(0) = –1
3. a. nilai stasioner 4x – 8 = 0
x = 2 atau x = –2
f(2) = 4 merupakan nilai ffbalik maksimum
f(–2) = –2 merupakan
nilai balik minimum
c. nilai stasioner 2x2 – 36x
+ 10 = 0
x = 11,7 atau x = 0,3
f(11,7) = –756,4
merupakan nilai balik
maksimum
f(0,3) = –0,62 ffmerupakan nilai balik
minimum.
Tes KompetensiAkhir Tahun
A. 1. d 5. b 13. a 17. b
3. d 11. b 15. d
B. 1. 13 orang
3. a. 1
4􀀈 6 2􀀉
b. 􀀍 􀀈
􀀋 􀀉
1
4
2c.
1
3
3
1
1
3
3
􀀍
􀀋
5. a = 4 dan b = 4

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments0